3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质 同步检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册

3.2.2　第1课时　双曲线的简单几何性质（同步检测） 一、选择题 1.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是(　　) A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4 C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4 2.已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于(　　) A. B. C. D. 3.若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为(　　) A.y＝±2x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 4.设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 5.已知P为双曲线－x2＝1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|·|PB|的值为(　　) A.4 B.5 C. D.与点P的位置有关 6.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c,0)关于直线y＝－x的对称点Q在该双曲线上，则双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 7.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　) A. B.2 C. D.2 8.(多选)已知一组直线x±2y＝0，则以该组直线为渐近线的双曲线有(　　) A.x2－4y2＝1 B.4y2－x2＝1 C.x2－＝1 D.－y2＝1 9.(多选)若双曲线C的一个焦点为F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是 (　　) A.C的方程为－＝1 B.C的离心率为 C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2 二、填空题 10.以y＝±x为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______________ 11.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为___________ 12.已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1(m>0，n>0)．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________ 13.已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为______. 三、解答题 14.求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分； (2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6. 15.求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； (2)过点(2,0)，与双曲线－＝1的离心率相等． 16.已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率． 参考答案及解析： 一、选择题 1.A 解析：令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)， ∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，即双曲线方程为x2－y2＝8. 2.C 解析：由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝＝. 3.B 解析：∵e＝，∴＝，即＝3，∴b2＝2a2，∴双曲线方程为－＝1， ∴渐近线方程为y＝±x. 4.C 解析：由双曲线的几何性质可得，双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，又因为渐近线方程为3x±2y＝0，即y＝±x，故a＝2. 5.C 解析：设点P(x0，y0)，则有－x＝1，所以y－4x＝4.易知双曲线－x2＝1的渐近线方程为2x±y＝0，所以|PA|·|PB|＝·＝＝. 6.B　解析：设双曲线的左焦点关于bx＋ay＝0的对称点为Q(x，y)，由题意可得解得x＝，y＝，即Q，而点Q在双曲线上，则－＝1，整理可得(c2－2a2)2－4a4－a2c2＝0，即c4＝5a2c2，所以c2＝5a2，即离心率e＝＝，故选B． 7.D 解析：∵e＝＝＝，∴＝1.∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0. ∴点(4,0)到C的渐近线的距离d＝＝2. 8.ABD　解析：x2－4y2＝1的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故A项符合题意；4y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故B项符合题意；x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，即2x±y＝0，故C项不符合题意；－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故D项符合题意，故选ABD． 9.AD 解析：由双曲线C的一个焦点为F(5,0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以＝，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为－＝1，A正确；离心率为e＝，B不正确；焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确；|PF|的最小值为c－a＝2，D正确． 二、填空题 10.答案：－＝1　 解析：以y＝±x为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)，代入点(2,0)得λ＝4，∴x2－y2＝4，即－＝1． 11.答案：y＝±x 解析：∵＝，∴＝＝，∴＝，∴＝，∴＝. 又∵双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， ∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴所求双曲线的渐近线方程为y＝±x. 12.答案：－1，2 解析：椭圆、双曲线都关于x轴、y轴对称，所以只需考虑第一象限内的情况． 记双曲线N的一条渐近线与椭圆M在第一象限的交点为P，椭圆左焦点为Q，右焦点为F，连接PQ，如图． 由题意知，△OPF为正三角形，边长设为2，则高为，所以椭圆半焦距为2,2a＝|PQ|＋|PF|＝2＋2，a＝＋1，椭圆M的离心率为＝－1.双曲线N的一条渐近线斜率为＝tan 60°＝，e2＝＝1＋＝4，所以双曲线N的离心率为2. 13.答案：32 解析：根据题意，双曲线C：－＝1的左焦点F(－，0)， 所以点A(，0)是双曲线的右焦点，P，Q为双曲线C右支上的两点．虚轴长为6， 所以|PQ|＝12.双曲线图象如图． |PF|－|AP|＝2a＝4，① |QF|－|QA|＝2a＝4，② ①＋②得|PF|＋|QF|－|PQ|＝8，所以周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝8＋2|PQ|＝32. 三、解答题 14.解：(1)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3. 由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6， 于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. (2)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，即－＝1(λ≠0)，由题意得a＝3. 当λ>0时，＝9，λ＝36，双曲线方程为－＝1； 当λ<0时，＝9，λ＝－81，双曲线方程为－＝1. 故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 15.解：(1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 由题意知2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a， 代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为－＝1. (2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)， 将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1； 当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)， 将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去)． 综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 16.解：设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±. 由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|， 所以＝2c，所以b2＝2ac，所以c2－2ac－a2＝0，所以2－2×－1＝0， 即e2－2e－1＝0，所以e＝1＋或e＝1－(舍去)， 所以双曲线的离心率为1＋. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$