圆与方程专题训练-2025届高考数学一轮复习

圆与方程专题训练-2025年高考数学一轮复习 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•杭州期中）已知圆的标准方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝9，则圆心坐标为（　　） A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1） 2．（2024秋•洛阳期中）已知圆C1：x2+y2+6x﹣7＝0圆C2：x2+y2﹣6y﹣27＝0，则两圆的公切线的条数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024•北京）圆x2+y2﹣2x+6y＝0的圆心到x﹣y+2＝0的距离为（　　） A． B．2 C．3 D．3 4．（2024秋•洛阳期中）若直线l：ax+by+1＝0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1＝0的周长，则（a﹣2）2+（b﹣7）2的最小值为（　　） A． B．5 C． D．20 5．（2024•山东模拟）在直角坐标系xOy内，圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，若直线l：x+y+m＝0绕原点O顺时针旋转90°后与圆C存在公共点，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（2023秋•北海期末）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2（a＞0），A（﹣3，0），若圆C上存在点P，使得|PA|＝2|PO|，则正数a的取值范围为（　　） A．（0，1] B．[1，2] C． D． 7．（2024秋•寻甸县校级期中）已知点A（﹣1，0），B（0，3），点P是圆（x﹣3）2+y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最小值为（　　） A．6 B． C． D． 8．（2024秋•乐平市校级期中）在平面直角坐标系xOy中，点F的坐标为（2，0），以线段FP为直径的圆与圆O：x2+y2＝3相切，则动点P的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024秋•凉州区期中）已知圆M的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25，则下列说法正确的是（　　） A．圆M的圆心为（4，﹣3） B．点（1，0）在圆内 C．圆M的半径为5 D．点（﹣3，1）在圆内 （多选）10．（2024秋•桦南县校级期中）已知圆C1：（x﹣1）2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y+4＝0，则（　　） A．圆C2的半径为4 B．y轴为圆C1与C2的公切线 C．圆C1与C2公共弦所在的直线方程为x+2y﹣1＝0 D．圆C1与C2上共有6个点到直线2x﹣y﹣2＝0的距离为1 （多选）11．（2024秋•温江区校级期中）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）的曼哈顿距离d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，则下列结论正确的是（　　） A．若点P（1，3），Q（2，4），则d（P，Q）＝2 B．若对于三点A，B，C，则“d（A，B）+d（A，C）＝d（B，C）”当且仅当“点A在线段BC上” C．若点M在圆x2+y2＝4上，点P在直线x﹣2y+8＝0上，则d（P，M）的最小值是 D．若点M在圆x2+y2＝4上，点P在直线x﹣2y+8＝0上，则d（P，M）的最小值是 三．填空题（共3小题） 12．（2024秋•启东市期中）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则该圆的标准方程为 　 　． 13．（2024秋•清远期中）已知直线y＝kx﹣2与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 　 　． 14．（2024•浙江模拟）P是圆C：x2+（y﹣2）2＝1上一动点，A（2，0），Q为AP的中点，O为坐标原点，则|OQ|的最大值为 　 　． 四．解答题（共5小题） 15．（2024秋•成都期中）已知圆C：x2+（y﹣2）2＝32，点A（6，0）．点P在圆C上运动，B为线段AP的中点． （1）求点B的轨迹方程E，并说明其轨迹； （2）若过点（1，2）的直线l被曲线E（点E为轨迹中心）截得的弦长为4，求直线l的方程． 16．（2024秋•雨花区校级月考）已知动圆P过点A（﹣2，0）且与圆B：（x﹣2）2+y2＝36内切． （1）求动圆圆心P的轨迹E的方程； （2）设动圆C1：，C1与E相交于A，B，C，D四点，动圆C2：与E相交于A′，B′，C′，D′四点．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，求的值． 17．（2024秋•开福区校级月考）已知O为坐标原点，P是圆A：x2+y2+2x+1﹣4a2＝0（a＞1）上一点，且B（1，0），线段PB的垂直平分线交线段PA于点M，设动点M的轨迹为曲线C，且曲线C与直线y＝相切． （1）求C的方程； （2）过点（0，4）且斜率为k的直线l与曲线C交于D，E两点，求△ODE面积的最大值． 18．（2024秋•郫都区月考）已知点A（﹣2，0），B（2，0），点P在以AB为直径的圆C上运动，PD⊥x轴，垂足为D，点M满足点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E，F． （1）求W的方程； （2）若直线l的倾斜角为60°，求直线l被圆C截得的弦长； （3）设直线AE，BF的斜率分别为k1，k2，证明为定值，并求出该定值． 19．（2024•吴兴区校级模拟）已知直线l：ax﹣y+1＝0与圆C：x2+y2﹣6x+4y+4＝0交于A，B两点，过点Q（5，﹣1）的直线m与圆C交于M，N两点． （1）若直线m垂直平分弦AB，求实数a的值； （2）已知点S（﹣6，﹣2），在直线SC上（C为圆心），存在定点T（异于点S），满足：对于圆C上任一点P，都有为同一常数，试求所有满足条件的点T的坐标及该常数． 圆与方程专题训练-2025年高考数学一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•杭州期中）已知圆的标准方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝9，则圆心坐标为（　　） A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1） 【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣2）2+（y+1）2＝9，表示以C（2，﹣1）为圆心，半径为3的圆． 即该圆的圆心坐标为（2，﹣1），B项符合题意． 故选：B． 2．（2024秋•洛阳期中）已知圆C1：x2+y2+6x﹣7＝0圆C2：x2+y2﹣6y﹣27＝0，则两圆的公切线的条数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：圆C1：x2+y2+6x﹣7＝0的圆心C1（﹣3，0），半径r1＝4， 圆C2：x2+y2﹣6y﹣27＝0的圆心C2（0，3），半径r2＝6， 圆心距|C1C2|＝＝3∈[6﹣4，6+4]， 所以这两个圆相交，所以两圆的公切线有两条． 故选：B． 3．（2024•北京）圆x2+y2﹣2x+6y＝0的圆心到x﹣y+2＝0的距离为（　　） A． B．2 C．3 D．3 【解答】解：圆x2+y2﹣2x+6y＝0的圆心（1，﹣3）， 圆x2+y2﹣2x+6y＝0的圆心到x﹣y+2＝0的距离：d＝＝3． 故选：D． 4．（2024秋•洛阳期中）若直线l：ax+by+1＝0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1＝0的周长，则（a﹣2）2+（b﹣7）2的最小值为（　　） A． B．5 C． D．20 【解答】解：因为直线l：ax+by+1＝0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1＝0的周长，可得直线l过圆的圆心，而圆M的圆心M（﹣2，﹣1）， 所以﹣2a﹣b+1＝0，即b＝1﹣2a， 所以（a﹣2）2+（b﹣7）2＝（a﹣2）2+（1﹣2a﹣7）2＝5a2+20a+40＝5（a+2）2+20， 当a＝﹣2时，（a﹣2）2+（b﹣7）2最小，且最小值为：20， 故选：D． 5．（2024•山东模拟）在直角坐标系xOy内，圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，若直线l：x+y+m＝0绕原点O顺时针旋转90°后与圆C存在公共点，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：直线l：x+y+m＝0绕原点O顺时针旋转90°后得到直线x﹣y+m＝0， 若该直线与圆C存在公共点，则圆心C（2，2）到直线x﹣y+m＝0的距离d＝≤1， 解得﹣≤m≤，即实数m的取值范围是[﹣，]． 故选：A． 6．（2023秋•北海期末）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2（a＞0），A（﹣3，0），若圆C上存在点P，使得|PA|＝2|PO|，则正数a的取值范围为（　　） A．（0，1] B．[1，2] C． D． 【解答】解：设点P的坐标为（x，y），由|PA|＝2|PO|，可得，整理得x2+y2﹣2x﹣3＝0， 可化为（x﹣1）2+y2＝4，若圆C上存在这样的点P，只需要圆C与圆（x﹣1）2+y2＝4有交点， 有 a+2，解得． 故选：D． 7．（2024秋•寻甸县校级期中）已知点A（﹣1，0），B（0，3），点P是圆（x﹣3）2+y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最小值为（　　） A．6 B． C． D． 【解答】解：已知两点A（﹣1，0），B（0，3）， 则， 直线AB方程为y＝3x+3， 圆（x﹣3）2+y2＝1的圆心C（3，0），半径r＝1， 点C到直线AB：3x﹣y+3＝0的距离， 因此点P到直线AB距离的最小值为， 所以△PAB面积的最小值是． 故选：D． 8．（2024秋•乐平市校级期中）在平面直角坐标系xOy中，点F的坐标为（2，0），以线段FP为直径的圆与圆O：x2+y2＝3相切，则动点P的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知：圆O：x2+y2＝3的圆心为O（0，0），半径， 设F1（﹣2，0），以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为R， 若圆M与圆O外切，则|PF1|＝2|OM|＝2（r+R），|PF|＝2R， 可得； 若圆M与圆O内切，则|PF1|＝2|OM|＝2（R﹣r），|PF|＝2R， 可得； 综上所述：， 可知动点P的轨迹是以F1，F为焦点的双曲线，且，则， 所以动点P的轨迹方程为． 故选：B． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024秋•凉州区期中）已知圆M的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25，则下列说法正确的是（　　） A．圆M的圆心为（4，﹣3） B．点（1，0）在圆内 C．圆M的半径为5 D．点（﹣3，1）在圆内 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，圆M的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25，其圆心为（4，﹣3），A正确； 对于B，由于（1﹣4）2+（0+3）2＜25，点（1，0）在圆内，B正确； 对于C，圆M的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25，其半径为5，C正确； 对于D，由于（﹣3﹣4）2+（1+3）2＞25，点（﹣3，1）在圆外，D错误． 故选：ABC． （多选）10．（2024秋•桦南县校级期中）已知圆C1：（x﹣1）2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y+4＝0，则（　　） A．圆C2的半径为4 B．y轴为圆C1与C2的公切线 C．圆C1与C2公共弦所在的直线方程为x+2y﹣1＝0 D．圆C1与C2上共有6个点到直线2x﹣y﹣2＝0的距离为1 【解答】解：对于A项，由圆． 配方得（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4，知圆C2的半径为2，故选项A错误； 对于B项，因圆心C1（1，0）到y轴的距离为1，等于圆C1 的半径，故圆C1与y轴相切， 同理圆心C2（2，2）到y轴的距离等于圆C2的半径，圆C2与y轴相切，故y轴为圆C1与C2的公切线，故选项B正确； 对于C项，只需要将（x﹣1）2+y2＝1 与x2+y2﹣4x﹣4y+4＝0左右分别相减，即得圆C1与C2的公共弦所在的直线方程为x+2y﹣2＝0，故选项C错误； 对于D项，如图，因直线2x﹣y﹣2＝0同时经过两圆的圆心，依题意可作两条与该直线平行且距离为1的直线l1与l2， 其中l1与l2和圆C1都相切，各有一个公共点，l1与l2和圆C2都相交，各有两个交点，故圆C1与C2上共有6个点到直线 2x﹣y﹣2＝0 的距离为1，故选项D正确． 故选：BD． （多选）11．（2024秋•温江区校级期中）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）的曼哈顿距离d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，则下列结论正确的是（　　） A．若点P（1，3），Q（2，4），则d（P，Q）＝2 B．若对于三点A，B，C，则“d（A，B）+d（A，C）＝d（B，C）”当且仅当“点A在线段BC上” C．若点M在圆x2+y2＝4上，点P在直线x﹣2y+8＝0上，则d（P，M）的最小值是 D．若点M在圆x2+y2＝4上，点P在直线x﹣2y+8＝0上，则d（P，M）的最小值是 【解答】解：对于A选项：由定义可知d（P，Q）＝|2﹣1|+|4﹣3|＝2，故A正确； 对于B选项：设点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）， 则d（A，B）+d（A，C）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|+|x1﹣x3|+|y1﹣y3|， d（B，C）＝|x2﹣x3|+|y2﹣y3|， 显然，当点A在线段BC上时， |x1﹣x2|+|x1﹣x3|＝|x2﹣x3|，|y1﹣y2|+|y1﹣y3|＝|y2﹣y3|， 所以d（A，B）+d（A，C）＝d（B，C）成立， 如图：过点B作BE⊥y轴，过点C作EE⊥x轴，且相交于点E， 过点A作AD⊥BE于D，过点A作AF⊥CE于F， 由图可知，|x1﹣x2|+|y1﹣y2|+|x1﹣x3|+|y1﹣y3| ＝BD+AD+AF+CF＝BE+CE＝|x2﹣x3|+|y2﹣y3|， 显然此时点A不在线段BC上，故B不正确； 对于CD选项：因为当a＞0，b＞0时，， 所以想要d（P，M）最小，点M到直线距离最小时取得， 所以过原点O作OM垂直于直线x﹣2y+8＝0，交圆于M，如图， 设M（a，b），则，所以， 设点P（x0，y0），则， 又因为当ab＝0，， ①当时，由， 得； ②当时，由， 得， 又因为， 所以d（P，M）的最小值为，故C错误，D正确． 故选：AD． 三．填空题（共3小题） 12．（2024秋•启东市期中）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则该圆的标准方程为 　（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25或（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1　． 【解答】解：由题意可得所求的圆在第一象限， 设圆心为（a，a），则半径为a，a＞0． 故圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2， 再把点（2，1）代入，求得a＝5或1， 故所求的圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25或（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1． 故答案为：（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25或（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1． 13．（2024秋•清远期中）已知直线y＝kx﹣2与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 　[﹣2，﹣）∪（，2]　． 【解答】解：当x≥0时，曲线即＝x﹣1， 两边平方，整理得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，（x≥1）， 表示以C1（1，1）为圆心，半径r1＝1的圆的右半圆； 当x＜0时，曲线即＝﹣x﹣1， 两边平方，整理得（x+1）2+（y﹣1）2＝1，（x≤﹣1）． 表示以C2（﹣1，1）为圆心，半径r2＝1的圆的左半圆． 直线kx﹣y﹣2＝0即y＝kx﹣2，表示经过定点A（0，﹣2）、斜率为k的直线． 因此，直线kx﹣y﹣2＝0与曲线有两个不同的交点， 就是直线kx﹣y﹣2＝0与两个半圆组成的图形有两个交点， 当直线kx﹣y﹣2＝0与右半圆C1有两个交点时，记点B（1，0）， 可得直线到圆心的距离小于半径，且直线的斜率小于或等于AB的斜率， ∴＜1且k≤kAB＝＝2，解得＜k≤2； 当直线kx﹣y﹣2＝0与左半圆C2有两个交点时，同理解得﹣2≤k＜﹣． 综上所述，实数k的取值范围是＜k≤2或﹣2≤k＜，即k∈[﹣2，﹣）∪（，2]． 故答案为：[﹣2，﹣）∪（，2]． 14．（2024•浙江模拟）P是圆C：x2+（y﹣2）2＝1上一动点，A（2，0），Q为AP的中点，O为坐标原点，则|OQ|的最大值为 　　． 【解答】解：设Q（a，b）， A（2，0），Q为AP的中点， 则P（2a﹣2，2b）， 点P是圆C：x2+（y﹣2）2＝1上一动点， 则（2a﹣2）2+（2b﹣2）2＝1，即， 故点Q的轨迹方程是以（1，1）为圆心，为半径的圆， 故|OQ|的最大值为＝． 故答案为：． 四．解答题（共5小题） 15．（2024秋•成都期中）已知圆C：x2+（y﹣2）2＝32，点A（6，0）．点P在圆C上运动，B为线段AP的中点． （1）求点B的轨迹方程E，并说明其轨迹； （2）若过点（1，2）的直线l被曲线E（点E为轨迹中心）截得的弦长为4，求直线l的方程． 【解答】解：（1）圆C：x2+（y﹣2）2＝32的圆心C（0，2），半径， 设B（x，y），因为B为线段AP的中点，A（6，0）， 所以＝x，＝y， 可得xP＝2x﹣6，yP＝2y， 即P（2x﹣6，2y）， 又因为点P在圆C上，所以（2x﹣6）2+（2y﹣2）2＝32， 即（x﹣3）2+（y﹣1）2＝8，且轨迹E为以（3，1）为圆心，以2为半径的圆； （2）由（1）知，点E到直线l的距离， 点E到直线x＝1的距离为2，因此直线l的方程可以为x＝1； 当直线l的斜率存在时，设其方程为y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2＝0， 于是，解得，此时直线l的方程为3x﹣4y+5＝0， 所以直线l的方程为x＝1或3x﹣4y+5＝0． 16．（2024秋•雨花区校级月考）已知动圆P过点A（﹣2，0）且与圆B：（x﹣2）2+y2＝36内切． （1）求动圆圆心P的轨迹E的方程； （2）设动圆C1：，C1与E相交于A，B，C，D四点，动圆C2：与E相交于A′，B′，C′，D′四点．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，求的值． 【解答】解：（1）由题意如图所示： 设动圆半径为r，则|PA|＝r，|PB|＝rB﹣r＝6﹣r（内切）， 因为|PA|+|PB|＝6＞4＝|AB|，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆， 且6＝2a，即a＝3，AB＝2c＝4，即c＝2， 所以b2＝a2﹣c2＝5， 则动圆圆心P的轨迹E的方程为：； （2）由题意如图所示： 设A（x，y），A′（x2，y2），由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等， 得4|x1||y1|＝4|x2||y2|，故， 因为点A，A′均在椭圆上，所以， 由t1≠t2，知x1≠x2，整理可得：， 同理可得， 因此． 17．（2024秋•开福区校级月考）已知O为坐标原点，P是圆A：x2+y2+2x+1﹣4a2＝0（a＞1）上一点，且B（1，0），线段PB的垂直平分线交线段PA于点M，设动点M的轨迹为曲线C，且曲线C与直线y＝相切． （1）求C的方程； （2）过点（0，4）且斜率为k的直线l与曲线C交于D，E两点，求△ODE面积的最大值． 【解答】解：（1）由题意可知圆A：（x+1）2+y2＝4a2（a＞1）， 所以圆心A（﹣1，0），半径r＝2a＞2， 因为B（1，0），线段PB的垂直平分线交线段PA于点M， 所以|MB|＝|MP|，又|MA|+|MP|＝2a，所以|MA|+|MB|＝2a＞2＝|AB|， 即点M的轨迹是以点A，B为左、右焦点的椭圆， 所以曲线， 因为曲线C与直线相切，故，解得a＝2， 所以C的方程为； （2）由题意得直线l：y＝kx+4， 由，得（3+4k2）x2+32kx+52＝0， 令Δ＝322k2﹣4×52×（3+4k2）＝48（4k2﹣13）＞0，所以，即或， 设D（x1，y1），E（x2，y2），则＝， 所以＝＝， 令，则4k2+3＝t2+16，则， 当且仅当即时，等号成立，所以△ODE面积的最大值为． 18．（2024秋•郫都区月考）已知点A（﹣2，0），B（2，0），点P在以AB为直径的圆C上运动，PD⊥x轴，垂足为D，点M满足点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E，F． （1）求W的方程； （2）若直线l的倾斜角为60°，求直线l被圆C截得的弦长； （3）设直线AE，BF的斜率分别为k1，k2，证明为定值，并求出该定值． 【解答】解：（1）由题意，点P在圆x2+y2＝4上运动，设M（x，y），P（x0，y0），D（x0，0）， 由得x＝x0，，又， 所以， 所以W的方程为． （2）直线l的方程为，即， 圆心（0，0）到直线的距离为， 所以直线l被圆C截得的弦长为． （3）证明：由题意，直线l斜率不为0，设直线l的方程为，E（x1，y1），F（x2，y2）， 联立，消去x得， 所以， 故， 所以． 19．（2024•吴兴区校级模拟）已知直线l：ax﹣y+1＝0与圆C：x2+y2﹣6x+4y+4＝0交于A，B两点，过点Q（5，﹣1）的直线m与圆C交于M，N两点． （1）若直线m垂直平分弦AB，求实数a的值； （2）已知点S（﹣6，﹣2），在直线SC上（C为圆心），存在定点T（异于点S），满足：对于圆C上任一点P，都有为同一常数，试求所有满足条件的点T的坐标及该常数． 【解答】解：（1）依题意，圆C方程x2+y2﹣6x+4y+4＝0变形为（x﹣3）2+（y+2）2＝9， 圆心C（3，﹣2），半径r＝3， 又直线l的方程即为y＝ax+1， 因为m垂直平分弦AB， 所以圆心C（3，﹣2）必在直线m上， 所以m过点Q（5，﹣1）和C（3，﹣2），斜率， 所以kl＝a＝﹣2； （2）依题意，直线SC的方程为y＝﹣2，设存在定点T（t，﹣2）满足题意，则设P（x，y）， ，得|PS|2＝λ2|PT|2（λ＞0），且（y+2）2＝9﹣（x﹣3）2， ∴（x+6）2+（y+2）2＝λ2（x﹣t）2+λ2（y+2）2， ∴（x+6）2+6x﹣x2＝λ2（x﹣t）2+λ2（6x﹣x2）， 整理得，（18+2tλ2﹣6λ2）x+（36﹣λ2t2）＝0， 上式对任意x∈[0，6]恒成立， ∴18+2tλ2﹣6λ2＝0且36﹣λ2t2＝0， 得或， 解得或， 又当t＝﹣6，λ＝1时，点T（﹣6，﹣2）与S重合，故舍去， 综上可知，在直线SC上存在定点T（2，﹣2），使得为常数3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$