北京市西城区重点中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

2024-2025学年10月质量检测试题 九年级数学 一、选择题：本题共8小题，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.二次函数的最小值是(    ) A. B. C. D. 3.抛物线的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 4.如图，点、、在上，为等边三角形，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.关于的一元二次方程有实数根，则满足(    ) A. B. 且 C. 且 D. 6.如图，在中，，于点，如果，，那么的值为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是(    ) A. B. C. D. 无法确定 8.如图，在中，，，动点，分别从，两点同时出发，点从点开始沿边向点以每秒个单位长度的速度移动，点从点开始沿向点以每秒个单位长度的速度移动．设运动时间为，点，之间的距离为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是(    ) A. 正比例函数关系，一次函数关系 B. 正比例函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，正比例函数关系 D. 一次函数关系，二次函数关系 二、填空题：本题共8小题，共16分。 9.若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为______． 10.若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ． 11.反比例函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为______． 12.如图，在中，，两点分别在，边上，，如果，，那么______． 13.如图所示，是绕点顺时针方向旋转后所得的图形，点恰好在上，，则的度数是          ． 14.已知二次函数，当时，函数值的取值范围为______． 15.抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的两根为______． 16.平面直角坐标系中，，，为轴上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，当点在轴上运动，取最小值时，点的坐标为          ． 三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解方程： ； ． 18.本小题分 已知是方程的一个根，求代数式的值． 19.本小题分 已知关于的一元二次方程 求证：此方程总有两个实数根； 若此方程恰有一个根小于，求的取值范围． 20.本小题分 画出反比例函数的大致图象，结合图象回答： 当时，的值； 当时，的取值范围； 当且时，的取值范围． 21.本小题分 已知二次函数． 求该二次函数的顶点坐标； 在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； 结合函数图象，直接写出时，自变量的取值范围； 结合函数图象，直接写出当时，的取值范围． 22.本小题分 某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场，如图所示，已知空地长，宽，矩形冰场的长与宽的比为，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？ 23.本小题分 在平面直角坐标系中，直线：与双曲线相交于点． 求点坐标及反比例函数的表达式； 若直线与轴交于点，点在反比例函数的图象上，当的面积为时，求点的坐标． 24.本小题分 为了在校运动会的推铅球项目中取得更好的成绩，小石积极训练，铅球被推出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从铅球出手点处到落地的过程中，铅球的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系． 小石进行了两次训练． 第一次训练时，铅球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 竖直高度 根据上述数据，求出满足的函数关系，并直接写出小石此次训练的成绩铅球落地点的水平距离； 第二次训练时，小石推出的铅球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系记小石第一次训练的成绩为，第二次训练的成绩为，则______填“”，“”或“”． 25.本小题分 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． 求抛物线的顶点坐标用含的式子表示； 若，总有： 当时，的取值范围是：_________． 当时，求的取值范围． 26.本小题分 已知抛物线． 点，在抛物线上，总有，求的取值范围； 点，在抛物线上，当时，总有，求的取值范围． 27.本小题分 在平面直角坐标系中，已知矩形，其中点，，给出如下定义：若点关于直线：的对称点在矩形的内部或边上，则称点为矩形关于直线的“关联点”． 例如，图中的点，点都是矩形关于直线：的“关联点”． 如图，在点，，，中，是矩形关于直线：的“关联点”的为______； 如图，点是矩形关于直线：的“关联点”，且是等腰三角形，求的值； 若在直线上存在点，使得点是矩形关于直线：的“关联点”，请直接写出的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟知定义． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键由顶点式可知当时，取得最小值． 【解答】解：， 当时，取得最小值， 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了求抛物线的顶点坐标．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标． 【解答】 解：顶点式，顶点坐标是， 抛物线的顶点坐标是． 故选A． 4.【答案】  【解析】解：为等边三角形， ， ． 故选：． 先根据等边三角形的性质得到，然后根据圆周角定理求的度数． 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的性质． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键． 由方程有实数根可知根的判别式，结合二次项的系数非零，可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【解答】 解：由已知得：， 解得：且． 故选：． 6.【答案】  【解析】解：如图，在中，，， ， 又，， ，则． 故选：． 根据射影定理得到：，把相关线段的长度代入即可求得线段的长度． 本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 7.【答案】  【解析】【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，如图，取的中点，连接，证明，再利用三角形的三边关系解决问题． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，则， ， ， ， ， ． 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查一次函数、二次函数，理解一次函数、二次函数的意义是正确解答的前提，求出与，与的函数关系式是正确判断的关键． 求出与，与满足的函数关系式，再根据函数的类型进行判断即可． 【解答】 解：由题意得，，， ， 即， ， 因此是的一次函数，是的二次函数， 故选：． 9.【答案】  【解析】解：把代入方程得， 解得． 故答案为：． 把代入方程得，然后解关于的方程即可． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 10.【答案】  【解析】解：，，， ， 解得：． 故答案为． 关于的方程有两个不相等的实数根，即判别式即可得到关于的不等式，从而求得的范围． 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系： 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根． 11.【答案】  【解析】解：由题意，反比例函数在每一象限内，随的增大而减小， 反比例函数的图象经过点，，，， ， 故答案为：． 根据反比例函数图象所在象限以及增减性判断即可． 本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数性质是关键． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 由，推出，可得，由此即可解决问题． 【解答】 解：， ， ， ， ， 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】由旋转的性质可得，进一步即可求得结果． 【详解】解：是绕点顺时针方向旋转后所得的图形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转变换的性质，属于基础题型，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 14.【答案】  【解析】解：由题意得，，对称轴， 当时，随的增大而增大， 当时，；时，， 当时，函数值的取值范围为， 故答案为：． 根据题意得当时，随的增大而增大，求得当时，；时，，即可求解． 本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，关键是二次函数性质的应用． 15.【答案】，  【解析】解：根据图象可得：图象与轴的一个交点是，对称轴是：， 关于的对称点是：， 则抛物线与轴的交点是：和， 关于的一元二次方程的两根为：，． 故答案为：，． 根据抛物线的对称性即可求解． 本题考查了二次函数的性质，理解二次函数与轴的交点的横坐标就是对应的方程的解是解题关键． 16.【答案】  【解析】【分析】本题考查坐标与图形的变化旋转，勾股定理，全等三角形的判定和性质，两点间的距离等知识，分三种情况：当点在轴正半轴时；当点在原点时；当点在轴负半轴时，利用三角形全等的判定与性质、旋转的性质、两点间的距离公式，分别进行求解即可得到答案，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想解题． 【详解】解：当点在轴正半轴时，如图，作轴于，设，则，， ，， ，， 将绕点顺时针旋转得到，， ， ， 在和 当点在原点时，如图， ，， 将绕点顺时针旋转得到， ； 当点在轴负半轴时，如图，作轴于， 设，则 ，， 将绕点顺时针旋转得到，， 在和中， 点在第四象限， ， ， 综上所述，当时，取到最小值，最小值为， 点， 故答案为：． 17.【答案】解：， ， 或， ，； ， ， ， ，．  【解析】利用因式分解法解方程即可； 利用公式法解方程即可． 本题考查的是解一元二次方程，掌握因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 18.【答案】解：是方程的一个根， 把代入方程，得， ， ．  【解析】根据一元二次方程的解的定义得到，则，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 本题考查一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式求值． 19.【答案】证明：， 此方程总有两个实数根； 解：， ， 或， 解得：，， 此方程恰有一个根小于， ， 解得：．   【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； 解一元二次方程得出，，再结合此方程恰有一个根小于得出，计算即可得解． 20.【答案】解：作出反比例函数的图象，如图所示， 把代入得：； 当时，；当时，， 根据图象得：当时，的取值范围为； 当时，；当时，， 根据题意得：当且时，的取值范围为或．  【解析】作出反比例函数图象，如图所示， 把代入反比例解析式求出的值即可； 分别求出与时的值，结合图象确定出的范围即可； 分别求出与时的值，结合图象确定出的范围即可． 此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象，熟练掌握反函数的图象是解本题的关键． 21.【答案】解：， 顶点坐标为； 列表： 描点、连线， 抛物线与轴交于点，， 当时，的取值范围为； 根据图象当时，的取值范围为．  【解析】将二次函数表达式化为顶点式，即可进行解答； 通过列表、描点、连线，即可画图； 即抛物线在轴下方部分，根据图象即可进行解答； 根据图象找范围时抛物线对应的范围即可进行解答． 本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与不等式，关键是掌握二次函数顶点式坐标的求法及二次函数与不等式的关系． 22.【答案】解：设预留的上、下通道的宽度是米，则矩形冰场的宽为米，长为米， 依题意得：， 整理得： 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． ， 左、中、右通道的宽度为： ， ， ， ， ， ， 米． 答：预留的上、下通道的宽度为米，左、中、右通道的宽度为米．  【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设预留的上、下通道的宽度是米，则矩形冰场的宽为米，长为米， 根据两个矩形冰场的面积之和是原空地面积的，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出预留的上、下通道的宽度，再将其代入中即可求出预留的左、中、右通道的宽度． 23.【答案】解：把代入中得，． 则， 在双曲线的图象上， ， 反比例函数的表达式为． 把代入得到，解得， ， ， 的面积为， ， ， 把代入求得， 把代入求得， 的坐标为或．  【解析】由直线解析式求得的坐标，然后利用待定系数法即可解决问题； 根据三角形的面积求得的纵坐标，代入反比例函数解析式求得横坐标，即可求得的坐标． 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型． 24.【答案】  【解析】解：把，，代入得： ， 解得， ， 由表格可知，当时，， 小石此次训练的成绩为； 在中，令得： ， 解得或小于，舍去， ，， ， 故答案为：． 用待定系数法误差函数关系式，观察表格可得训练成绩； 求出，结合比较可得答案． 本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 25.【答案】解：， 抛物线顶点坐标为． 解：抛物线的对称轴为直线， 又， 当时，取最大值，且最大值为， 要使时，总有，则的取值必须使的最小值为，符合题意， 当时，， 此时， 即， 解得：或， 此时； 当时，，不符合题意； 当时，， 此时， 即， 解得：或， 此时； 综上分析可知：或； 当时，， 要使时，总有，则的取值必须使的最小值为，符合题意， 当时，， 此时， 即， 解得：， 此时没有符合题意的的值； 当时，，，不符合题意； 当时，， 此时， 即， 解得：， 此时； 综上分析可知：．   【解析】【分析】将二次函数解析式化为顶点式求解即可； 先求出当时，取最大值，且最大值为，得出要使时，总有，则的取值必须使的最小值为时，符合题意，分三种情况：当时，当时，当时，求出结果即可； 当时，，得出要使时，总有，则的取值必须使的最小值为，符合题意，分三种情况：当时，当时，当时，求出结果即可． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，二次函数的性质，图象上的点的特征，解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 26.【答案】解：由， 可知，抛物线的开口向下，对称轴为直线， ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 解得； ， ， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当即时，点到对称轴的距离小于点得到对称轴的距离， ，不符合题意； 当即时，点关于直线对称的点的坐标为， 当时，随的增大而减小， 当即时，总有， ，即； 当即时，点到对称轴的距离大于点得到对称轴的距离， 成立， 综上，满足条件的的取值范围为．  【解析】根据二次函数的开口向下，离对称轴越远函数值越小列不等式求解即可； 分类讨论：当，，时，根据二次函数性质求解即可． 本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握根据抛物线的函数值大小和增减性求参数取值范围是解题的关键． 27.【答案】，  【解析】解：点关于的对称点为，此点不在矩形内部或边上， 点不是直线：的“关联点”； 关于的对称点为，此点在矩形内部或边上， 点是直线：的“关联点”； 关于的对称点为，此点在矩形内部或边上， 点是直线：的“关联点”； 关于的对称点为，此点不在矩形内部或边上， 点不是直线：的“关联点”； 故答案为：，； 点关于的对称点为， 点是矩形关于直线：的“关联点”， ， ， 是等腰三角形， 分三种情况： 当时，， 解得或舍， ； 当时，， 解得舍或， ； 当时，， 解得； 综上所述：的值为或或； 直线上任取两点，关于直线的对称点分别为，， 设直线关于直线的对称直线解析式为， ， 解得， ， 当直线经过点时，； 当直线经过点时，； 的取值范围为：． 根据定义分别求出各点的对称点，进行判断即可； 由题意先求出的取值范围，再由等腰三角形的边的情况，分类讨论即可； 求出直线关于关的对称直线解析式，只需求出该对称直线与矩形有交点时的取值范围即可． 本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，理解定义，会求点关于直线的对称点，直线关于直线的对称直线解析式是解题的关键． 第12页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$