精品解析：湖北省孝感市汉川市2024-2025学年九年级上学期数学期中试卷

2024-2025学年度上学期期中质量测评 九年级数学试卷 温馨提示： 1.答题前，考生务必将自己所在学校，姓名，考号填写在试卷上指定的位置． 2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案，必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效． 3.本试卷满分120分，考试时间120分钟． 一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂，错涂或涂的代号超过一个，一律得0分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. x2﹣5x＝0 B. x+1＝0 C. y﹣2x＝0 D. 2x3﹣2＝0 2. 我国古代数学许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是　　 A. B. C. D. 4. 方程的左边配成完全平方后所得方程为（ ） A. B. C. D. 5. 将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ） A. y=x2﹣1 B. y=x2+1 C. y=（x﹣1）2 D. y=（x+1）2 6. 如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（　　） A 65 B. 75 C. 85 D. 130 7. 若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 8. 某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，到第三天统计得出三天共揽件662件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形中，，，、，则四边形的面积是（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 10. 如图，已知二次函数的部分图象与轴的正半轴的交点位于和之间（不包含端点），对称轴为直线．以下结论正确的是（ ） A B. C. D. 二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 请写出一个过点（0，1）且开口向上的二次函数解析式_____________． 12. 关于一元二次方程的一个根是4，则的值是___________． 13. 如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为___________m． 14. 如图，抛物线的顶点为A，抛物线的顶点为B，过点A作轴于点C．点B作轴于点D，则阴影部分的面积为______． 15. 如图中，，D是斜边的中点，将绕点A按顺时针方向旋转得到，点在的延长线上，若，，则的长为___________． 三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共9小题，满分75分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置） 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 已知二次函数． （1）求该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴； （2）当时，直接写出取值范围． 18. 喜迎新学期，学校要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成，围成的花圃是如图所示的矩形．设边的长为x米，矩形的面积为S平方米． （1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围） （2）求花圃的最大面积． 19. 平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为，，． （1）进行如下操作（只画出图形）： ①画出以为旋转中心，顺时针旋转的； ②画出关于原点成中心对称的； （2）已知点为中其中一边上任一点，若点在（1）①中边上的对应点为，则点的坐标为__________． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，满足，且为整数，求的值． 21. 如图，将正方形绕点C顺时针旋转得到正方形，交于点P． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件元，月销量为件，月销售利润为元． （1）写出与的函数解析式和与的函数解析式； （2）商店要在月销售成本不超过10000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元； （3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 23. 在中，，将绕点逆时针旋转得到，与交于点，与交于点，与交于点F，当B、D、F重合时停止旋转． （1）如图1． ①求证：； ②当平分时，求证：； （2）如图2，若，，在旋转过程中，当是等腰三角形时，则该等腰三角形底边的长为__________． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求A，B两点的坐标； （2）当时，动直线与抛物线交于点P，与直线BC交于点Q． ①设线段的长为d，求d关于m的函数解析式； ②若，连接PB，PC构成，当m为何值时，最大，并求出其最大值； （3）我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点，试结合函数图象直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上学期期中质量测评 九年级数学试卷 温馨提示： 1.答题前，考生务必将自己所在学校，姓名，考号填写在试卷上指定的位置． 2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案，必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效． 3.本试卷满分120分，考试时间120分钟． 一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂，错涂或涂的代号超过一个，一律得0分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. x2﹣5x＝0 B. x+1＝0 C. y﹣2x＝0 D. 2x3﹣2＝0 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】A、是一元二次方程，故A正确； B、是一元一次方程，故B错误； C、是二元一次方程，故C错误； D、是一元三次方程，故D错误； 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意； D. 是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3. 抛物线的顶点坐标是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵y=2x2+1=2（x-0）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（0，1）， 故选B． 4. 方程的左边配成完全平方后所得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】∵x2+2x= 1 ∴x2+2x+1= 2 ∴(x+1)2= 2 故选： C． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 5. 将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ） A. y=x2﹣1 B. y=x2+1 C. y=（x﹣1）2 D. y=（x+1）2 【答案】A 【解析】 【分析】据平移变化的规律，左右平移只改变横坐标，左减右加．上下平移只改变纵坐标，下减上加． 【详解】解：根据题意得：将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位， ∴平移以后的二次函数的解析式为：y=x2﹣1． 故选A． 6. 如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（　　） A. 65 B. 75 C. 85 D. 130 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行可知∠DAB=180°－95°=85°，故旋转了85°． 详解】∵DE∥AB， ∴∠DAB＝180°－∠D， ∵∠D=∠B=180°－20°－65°=95°， ∴∠DAB=180°－95°=85°， ∴n=85°， 故选：C． 【点睛】本题考查平行的性质，以及旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解决本题的关键． 7. 若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 而离直线的距离最远，在直线上， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 8. 某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，到第三天统计得出三天共揽件662件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据增长率问题可直接列出方程． 【详解】解：由题意可得方程为； 故选D． 9. 如图，四边形中，，，、，则四边形的面积是（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】作，，两线交于点，过点作，垂足为， 则四边形是矩形，进而得到，．利用证明，根据全等三角形的性质得到，，再利用三角形面积公式求解． 【详解】解：作，，两线交于点，过点作，垂足为，如下图， 则四边形是矩形， ，． ， ， ． 在和中 ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，矩形的判定和性质，作出辅助线，构建三角形全等是解答关键． 10. 如图，已知二次函数的部分图象与轴的正半轴的交点位于和之间（不包含端点），对称轴为直线．以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点问题，由函数图象可得，，，得出，即可判断A、B，根据二次函数与轴有两个交点，即可判断D，根据对称性可得另一个交点在与之间，即可判断C． 【详解】解：由二次函数的图象可得：，， 对称轴是直线， ， ， ，故A错误，不符合题意； ，故B错误，不符合题意； 二次函数与轴有两个交点，与轴的正半轴的交点位于和之间（不包含端点），对称轴为直线． ∴另一个交点在与之间， 可得当时，， ∴，故C正确，符合题意， 二次函数与轴有两个交点， ， ，故D错误，不符合题意； 故选：C． 二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 请写出一个过点（0，1）且开口向上的二次函数解析式_____________． 【答案】y＝x2＋1 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，开口向上，要求a值大于0即可． 【详解】解：∵开口向上， ∴a＞0， 且与y轴的交点为（0，1）． ∴函数解析式可为y=x2+ 1． 故答案为：y=x2+ 1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a值必须大于0． 12. 关于的一元二次方程的一个根是4，则的值是___________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；由题意可把代入进行求解即可． 【详解】解：由题意把代入方程得：， ∴； 故答案为16． 13. 如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为___________m． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用——投球问题．解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系． 球的落地点为，解一元二次方程即可． 【详解】时，， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴球掷出的水平距离OB为， 故答案为：10． 14. 如图，抛物线的顶点为A，抛物线的顶点为B，过点A作轴于点C．点B作轴于点D，则阴影部分的面积为______． 【答案】4 【解析】 【分析】过点作轴于点，将抛物线解析式化为顶点式得到，，由、两点关于原点对称，可得抛物线段绕点旋转后，与抛物线段重合，因此，以此即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 抛物线的顶点， 抛物线的顶点， 、两点关于原点对称， 两抛物线的二次项系数，即抛物线开口大小相同， 抛物线段绕点旋转后，与抛物线段重合， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查二次函数的性质、抛物线的旋转、正方形的面积公式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 15. 如图中，，D是斜边的中点，将绕点A按顺时针方向旋转得到，点在的延长线上，若，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、旋转的性质、直角三角形斜边中线定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理、直角三角形斜边中线定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，由旋转的性质可得，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵，D是斜边的中点，，， ∴，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共9小题，满分75分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置） 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据因式分解法可进行求解方程； （2）根据公式法可求解方程． 【小问1详解】 解： 或 解得：； 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∴， ∴． 17. 已知二次函数． （1）求该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把二次函数的解析式化为顶点式，然后问题可求解； （2）根据二次函数的开口方向和增减性可进行求解． 【小问1详解】 解：把二次函数配成顶点式得：， ∴，即开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：令时，则有， 解得：， 由（1）可知：开口向上，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，则x的取值范围是． 18. 喜迎新学期，学校要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成，围成的花圃是如图所示的矩形．设边的长为x米，矩形的面积为S平方米． （1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围） （2）求花圃的最大面积． 【答案】（1） （2）128 【解析】 【分析】本题考查了两个变量之间的函数关系式，二次函数求最值，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先用表示，再利用面积公式即可建立起函数关系式； （2）配方求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 【小问2详解】 解：， 而，， ∴当时，花圃的最大面积为． 19. 平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为，，． （1）进行如下操作（只画出图形）： ①画出以为旋转中心，顺时针旋转的； ②画出关于原点成中心对称的； （2）已知点为中其中一边上任一点，若点在（1）①中边上的对应点为，则点的坐标为__________． 【答案】（1）①图见详解；②图见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查图形与坐标—旋转，中心对称图形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）①分别得出点A、B、C绕点O顺时针旋转的对应点坐标，进而问题可求解；②根据中心对称图形的性质可进行作图； （2）根据（1）①中点的坐标特征可进行求解． 【小问1详解】 解：①所作如图所示； ②所作如图所示： 【小问2详解】 解：如图， 由图可得， ∴； 故答案为． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，满足，且为整数，求的值． 【答案】（1） （2）1或2 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，注意方程根的定义的运用． （1）由方程根的个数，根据根的判别式，可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围； （2）由根与系数的关系，用k表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围，再求其值即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，即， 解得， ∴取值范围为； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系知：，， ∵，满足， ∴， ∴， ∴， 又由（1）知， ∴， ∵k为整数， ∴k的值为1或2． 21. 如图，将正方形绕点C顺时针旋转得到正方形，交于点P． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键； （1）连接，由题意易得，然后可证，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后根据含30度直角三角形的性质可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ∵正方形绕点C顺时针旋转得到正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵正方形绕点C顺时针旋转得到正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件元，月销量为件，月销售利润为元． （1）写出与的函数解析式和与的函数解析式； （2）商店要在月销售成本不超过10000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元； （3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 【答案】（1）y=1000-10x；W=-10x2+1400x-40000；（2）销售价应定为每件80元；（3）销售价定为每件70元时会获得最大利润9000元． 【解析】 【分析】（1）根据题意一个月能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件，可得y=500-10（x-50），再利用一个月的销售量×每件销售利润=一个月的销售利润列出一个月的销售利润为W，写出W与x的函数关系式； （2）令W=8000，求出x的取值即可； （3）根据二次函数最值的求法求解即可． 【详解】解：（1）由题意得： y=500-10（x-50）=1000-10x， W=（x-40）（1000-10x）=-10x2+1400x-40000； （2）由题意得：-10x2+1400x-40000=8000， 解得：x1=60，x2=80， 当x=60时，成本=40×[500-10（60-50）]=16000＞10000不符合要求，舍去， 当x=80时，成本=40×[500-10（80-50）]=8000＜10000符合要求， ∴销售价应定为每件80元； （3）W=-10x2+1400x-40000， 当x=70时，W取最大值9000， 故销售价定为每件70元时会获得最大利润9000元． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出二次函数关系式是解题关键． 23. 在中，，将绕点逆时针旋转得到，与交于点，与交于点，与交于点F，当B、D、F重合时停止旋转． （1）如图1． ①求证：； ②当平分时，求证：； （2）如图2，若，，在旋转过程中，当是等腰三角形时，则该等腰三角形底边的长为__________． 【答案】（1）①见详解；②见详 （2）6或或 【解析】 【分析】（1）①利用旋转的性质求得，再利用三角形内角和定理求得，等量代换即可解决问题； ②利用证明，推出，据此即可证明结论成立； （2）利用面积相等求得，再分，，时，求解即可． 【小问1详解】 ①证明：∵将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ． ②证明：∵将绕点逆时针旋转得到， ， 平分， ， ， ， ， ． 小问2详解】 解：∵中，， ， 作，垂足为， ， 解得：， ， 当时，则， ； 当时，则， ； 当时，则， 综上，该等腰三角形底边的长度为6或或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求A，B两点的坐标； （2）当时，动直线与抛物线交于点P，与直线BC交于点Q． ①设线段的长为d，求d关于m的函数解析式； ②若，连接PB，PC构成，当m为何值时，最大，并求出其最大值； （3）我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点，试结合函数图象直接写出a的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②当时，有最大，最大值 （3）或 【解析】 【分析】（1）将函数解析式进行因式分解得，即可求出点的坐标； （2）当时，令，求出点D的坐标，设直线的解析式为， 将点B、C的坐标代入，可得直线的解析式，①结合题意设，，则可表示出的长度，进而即可求出d关于m的函数解析式； ②结合图象可知，，因此，当时，有最大，求出最大值即可 ； （3）分两种情况讨论：和，结合图象确定a的取值范围． 【小问1详解】 解：， 令，则， ， 或， ； 【小问2详解】 当时，， 令，则， ， 设直线的解析式为， 将点B、C的坐标代入，得 ， 解得， 直线的解析式为， 动直线与抛物线交于点P，与直线交于点Q， 设，， ①线段PQ的长为d， ， 即d关于m的函数解析式为； ②由题意可知，， ， ，且， 当时，有最大，最大值为； 【小问3详解】 时， ，解得：； 时， ，解得：； a的取值范围是或． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及求二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数与线段长度，二次函数与面积问题，二次函数上点的特征，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$