双曲线单元测试-2025届高三数学一轮复习

双曲线单元测试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选个选项中，只有一项是符合题意要求的。 1．已知双曲线的离心率是，则其渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线方程为，则（ ） A．实轴长为，虚轴长为2 B．实轴长为，虚轴长为4 C．实轴长为2，虚轴长为 D．实轴长为4，虚轴长为 3．双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 4．双曲线的离心率（ ） A．不确定 B．等于2 C．等于 D．等于 5．设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则（ ） A． B． C． D． 6．双曲线的虚轴长是（ ） A．2 B． C．4 D． 7．双曲线的左焦点与右顶点之间的距离等于（ ） A．6 B．8 C．9 D．10 8．已知双曲线，过其左焦点作轴的垂线，交双曲线于，两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆内，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选个选项中，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知双曲线，下列选项正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的实轴长为8 C．双曲线的焦距为 D．双曲线的离心率为 10．已知双曲线的左右焦点分别为，，点是上一点，经过点作斜率为的直线与交于，两点，则下列结论正确的有（   ） A．左焦点到渐近线距离为 B．若，则或1 C．若，则，两点位于的两支 D．点不可能是线段的中点 11．已知，分别为双曲线的左、右顶点，离心率为，为双曲线上位于第一象限内任意一点，设，，的面积为，则下列说法正确的是（   ） A．的值随着的增大而减小 B．是定值 C． D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若三个点，，中恰有两个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为_______. 13．已知双曲线的一条渐近线方程为，若其右顶点到这条渐近线的距离为，则双曲线方程为______． 14．已知圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，若四边形的面积为，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程。 15．已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点. （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，求. 16．已知抛物线关于轴对称，顶点在坐标原点，直线经过抛物线的焦点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若抛物线的焦点是对称轴为坐标轴的双曲线的一个焦点，并且双曲线的离心率为2，求双曲线的标准方程. 17．已知抛物线C的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的右顶点 （1）求抛物线C的方程； （2）若直线与抛物线相交于A、B两点，求证： 18．已知双曲线C的焦点坐标为，，实轴长为6． （1）求双曲线C标准方程； （2）若双曲线C上存在一点P使得，求的面积． 19．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点． （1）求双曲线的方程． （2）若点在双曲线上，求证：点M在以为直径的圆上． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 双曲线单元测试解析 1．【答案】A依题意，所以渐近线方程为，即. 2．【答案】B双曲线方程化为标准方程为， 可得，所以双曲线的实轴长为，虚轴长为4. 3．【答案】B令，解得，所以双曲线的渐近线方程是． 4．【答案】D由已知得，即，又因为，所以， 此时双曲线方程为，因此所以离心率. 5．【答案】C依题意得，，所以. 6．【答案】D因为双曲线的标准方程为，所以虚轴长. 7．【答案】B由已知得左焦点的坐标为，右顶点的坐标为，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8. 8．【答案】C由于双曲线，则直线方程为，因此， 设，所以，解之得,得, 因为双曲线的右顶点在以为直径的圆内，所以，即, 所以，所以，即,即, 所以离心率,故选C. 9．BD【详解】因为，，焦点在轴上， 所以双曲线的渐近线方程为，实轴长为8，故A错误，B正确； 因为，所以双曲线的焦距为， 离心率为，故C错误，D正确．故选：BD. 10．ACD【详解】对于选项A，由双曲线，得渐近线为，即. 左焦点，左焦点到渐近线距离，所以选项A正确. 对于选项B，根据双曲线定义，又，则， 当时，；当时，. 但是，所以舍去，，选项B错误. 对于选项C，当时，直线的方程为. 联立，消去得， 展开并整理得，即. ， 所以方程有两个不同的实根，设两根为，，，即两根异号， 所以直线与双曲线相交于两支上，选项C正确. 对于选项D，由，得到. 展开. 整理得. ，. 设，，若是中点，则，则， 所以，代入与前面矛盾. 所以点不可能是线段的中点，选项D正确. 故选：ACD. 11．ABD【详解】双曲线的左顶点为，右顶点为，渐近线为， 在中，由正弦定理可知， 显然均为锐角且随着的增大分别减小与增大，即随着的增大分别减小与增大且均为正数， ∴的值随着的增大而减小，故A正确； 因为， 由于，∴，∴为定值，故B正确； 因为，而， ∴，故C错误； 因为， ， ∴， 又，∴，解得，则， 又，∴，故D正确．    故选：ABD． 12．【答案】 因为三个点，，中恰有两个点在双曲线上，又双曲线的图象关于原点对称,所以点， 在双曲线上，所以，解得，所以其渐近线方程为：. 13．【答案】右顶点到渐近线的距离，解得：， 由双曲线方程知其渐近线方程为，，解得：，双曲线方程为. 14．【答案】.因为双曲线的渐近线方程为， 圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点， 不妨设点位于第一象限，则 根据圆与双曲线的对称性可得，四边形为矩形，且，， 又四边形的面积为，所以，解得，则， 又点在圆上，则，解得. 15．【答案】（1）；（2）. （1）设双曲线方程为：，将点的坐标代入双曲线的方程得， 所以所求双曲线方程为； （2）易知双曲线右焦点的坐标为，设点、， 直线的方程为，联立，可得， ，由韦达定理可得，. 因此，. 16．【答案】（1）抛物线的方程为;（2）双曲线的方程为 （1）解：因为抛物线关于轴对称，则焦点在 轴上. 因为焦点在直线上，则令 ，解得，所以焦点坐标为. 设抛物线的方程为，则，即，所以抛物线的方程为. （2）解：由题意知，双曲线的焦点为，即，因为离心率为2， 所以，解得，所以.所以双曲线的标准方程为. 17．【答案】（1）；（2）证明见解析； （1）解：，故其右顶点为， 设抛物线方程为，所以解得则抛物线的方程为， （2）证明：联立直线与抛物线方程得 消去得，设， ， ，，． 18．【答案】（1） （2） （1）由条件得，，，∴，∴双曲线方程为：． （2）由双曲线定义知且， 联立解得，∴的面积为：． 19．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点． （1）求双曲线的方程． （2）若点在双曲线上，求证：点M在以为直径的圆上． 【答案】（1）；（2）证明见详解. （1）因为离心率，双曲线为等轴双曲线．可设其方程为， 则由点在双曲线上，可得，双曲线方程为． （2）证明：因为点在双曲线上，，， 又双曲线的焦点为，， ， ，点M在以为直径的圆上．即证. 学科网（北京）股份有限公司 $$