抛物线单元测试-2025届高三数学一轮复习

抛物线单元测试解析 1．C 由化为标准方程得，开口向上，则，即， 所以的焦点坐标是. 2．A 解：根据方程形式为，可得其图象关于轴对称，且， 故可得该抛物线对称轴为轴，开口朝右. 3．C 依题意抛物线，，准线方程为，结合抛物线的定义可知：抛物线上到其焦点距离为5的点的横坐标为，将代入，得，解得，所以抛物线上到其焦点距离为5的点有个. 4．B 因为抛物线的准线方程为，圆整理得，则圆心坐标为，半径为，则圆心到直线的距离为，因此被圆截得的弦长为. 5．B 由题意，的焦点，准线为，设抛物线上的动点， 根据抛物线的定义可知，，因为，所以， 故抛物线上的点与其焦点的距离的最小值为1. 6．A 过向轴作垂线，设垂足为，∵，，∴，，，将点的坐标代入，得，故的方程为. 7． B 由题得，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可知，点到焦点的距离等于它到准线的距离，所以点到轴的距离比它到准线的距离小3，于是得，所以． 8． 8．D 由可得，设，，由，可得，所以且， 所以，解得，所以，所以点M到y轴的距离为1. 9．AC【详解】因为点在第二象限，所以抛物线有开口向左或开口向上两种情况， 若抛物线开口向左，设抛物线方程为，代入抛物线方程， 有，解得，所以抛物线方程为，所以A正确； 若抛物线开口向上，设抛物线方程为，代入抛物线方程， 有，解得，所以抛物线方程为，所以C正确.故选：AC 10．ABD【详解】抛物线的焦点在轴上， 过作直线，可知，则，得，A选项正确； 抛物线方程为，直线的方程代入抛物线方程，得. 设，，由韦达定理有，， ，得，解得或， ，则或，C选项错误； 则，线段中点的横坐标为，D选项正确； ，，B选项正确.故选：ABD. 11．BCD 【详解】对于A选项，如下图所示： 抛物线的焦点为，准线为， 设点在直线上的射影点为，由抛物线的定义可得， 则， 当且仅当、、三点共线时，即当时，取最小值，A错； 对于B选项，若直线过焦点，则， 线段的中点到直线的距离为，所以，， 因此，以为直径的圆与相切，B对； 对于C选项，当时，直线的方程为， 联立可得，不妨取、，则， 此时，，C对； 对于D选项，线段的中点坐标为， 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以直线的斜率存在， 由题意可得， 由作差得， 所以，，D对. 故选：BCD. 12． 【解析】试题分析：设动点，设与直线的切点为，则，即动点到定点和定直线的距离相等，所以点的轨迹是抛物线，且以为焦点，以直线为准线，所以，所以动圆圆心的轨迹方程为. 13．(1，0) 抛物线的准线为， 把圆化成标准方程为，得圆心，半径， 圆心到准线的距离为，所以，即，所以焦点坐标为． 14． 解：不妨设（），则. 当时，取得最小值 15．（1）；（2）． （1）设所求椭圆方程为， 因为该椭圆过点，，所以，解得，， 因此所求椭圆方程为：； （2）因为抛物线求焦点在轴负半轴上，所以可设， 又焦点到准线的距离是，即，因此所求抛物线方程为． 16．（1），，；（2）． 【解析】解：（1）由题意，斜率不存在时，直线满足题意， 斜率存在时，设方程为，代入，可得， 当时，，满足题意， 当时，，，直线方程为， 综上，直线的方程为或或； （2）抛物线的焦点坐标为， 则过焦点作一条斜率为的直线方程为，联立， 解得或，不妨令，， ． 17．（1）；（2）． （1）双曲线方程可化为， 因此，所以双曲线的一个焦点是，于是抛物线的焦点为，则，故抛物线的方程为． （2）依题意，直线l的斜率一定存在，设其为k，则l的方程为． 由可得，设，则． 因为，所以，即． 设，则由得， 由于D在抛物线上，因此，可得． 18．（1）；（2）证明见解析. （1）因为椭圆的焦点为，依题意，，，所以： （2）设直线的方程为，与抛物线联立得， 设，，则， 由，则，即， 所以即， 整理得到， 所以， 化简得即，解得或. 当时，直线的方程为，即为，即直线过定点； 当时，直线的方程为，即为，即直线过定点，此时与点重合，故应舍去，所以直线过定点. 19．（Ⅰ）因为抛物线是焦点在轴正半轴的标准方程，所以，所以焦点为.准线方程为. （Ⅱ）设，（且）， 直线方程为（是实数），将其代入，得，于是，.由，得， 直线的方程为，令，得，同理可得， 所以 故. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 抛物线单元测试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选个选项中，只有一项是符合题意要求的。 1．抛物线的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 2．下列抛物线中，其方程形式为的是（ ） A． B． C． D． 3．抛物线上到其焦点距离为5的点有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 4．抛物线的准线被圆截得的线段长为（ ） A．4 B． C． D．2 5．抛物线上的点与其焦点的距离的最小值为（ ） A．2 B．1 C． D． 6．已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，为坐标原点，若，，则抛物线的方程为（ ） A． B． C． D． 7．已知点为抛物线：上一点，且点到轴的距离比它到焦点的距离小3，则（ ） A．3 B．6 C．8 D．12 8．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，点M，N分别在抛物线C上.若，则点M到y轴的距离为（ ） A． B． C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选个选项中，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 10．已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．或 D．线段中点的横坐标为 11．已知抛物线，为其焦点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．若点为抛物线上的一点，点坐标为，则的最小值为 B．若直线过焦点，则以为直径的圆与相切 C．若直线过焦点，当时，则 D．设直线的中点坐标为，则该直线的斜率与无关，与有关 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．动圆经过点，且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程是____________. 13．抛物线的准线截圆所得弦长为2，则抛物线的焦点坐标为_________． 14．已知抛物线方程为，点在此抛物线上运动，则点与点之间的距离的最小值为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程。 15．（1）求过点，的椭圆的标准方程． （2）求焦点在轴负半轴上，焦点到准线的距离是的抛物线的标准方程． 16．已知抛物线． （1）求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； （2）过焦点作一条斜率为的直线与抛物线交于两点，，求的长． 17．已知抛物线的焦点F恰好是双曲线的一个焦点，O是坐标原点． （1）求抛物线的方程； （2）经过焦点F作直线l，与抛物线相交于A，B两点，，若，且D在抛物线上，求实数m的值． 18．已知抛物线：的焦点是椭圆的一个焦点. （1）求抛物线的方程； （2）设，，为抛物线上的不同三点，点，且.求证：直线过定点. 19．已知抛物线的焦点是，准线是. （Ⅰ）写出的坐标和的方程； （Ⅱ）已知点，若过的直线交抛物线于不同的两点，（均与不重合），直线，分别交于点，.求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $$