精品解析：山东省淄博市张店区淄博实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

数学试题 命题人：赵金明 审核人：李君 2024年11月 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选择题，共92分；满分150分，考试时间为120分钟. 2.客观题请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上，主观题用0.5mm黑色签字笔答题. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 设正四面体的棱长为 ，， 分别是，的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A. 外离 B. 外切 C. 内切 D. 相交 4. 已知点、、，则外接圆的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 6. 若直线与直线交于点，则到坐标原点距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①若直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则 ②若向量，满足，且，则在方向上的投影向量为 ③若，则，的夹角是钝角 ④已知正四面体的棱长为1，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 已知是椭圆的两个焦点，满足的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18.0分.在每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分；部分选对按选项均分分值，有选错的不得分） 9. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为4，则（ ） A. 椭圆的短轴长为 B. 的最大值为8 C. 离心率为 D. 椭圆上不存在点，使得 10. 已知实数x，y满足方程，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 11. 如图，在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的有（ ） A. 当，，时，对任意的点，都有三棱锥的体积为定值 B. 当，，时，存在点，使得 C. 当，，时，存在唯一点，使得 D. 当时，的最小值是 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，共15.0分） 12. 已知向量，，且与互相垂直，则 的值是______. 13. 已知直线过点，且与直线垂直，则直线在轴上的截距为_________. 14. 如图所示，椭圆的左焦点为F，A，B两点在椭圆上，且四边形为菱形，则该椭圆的离心率为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， （1）若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； （2）若，，求的面积． 16. 在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为， 的角平分线所在的直线方程为. （1）求点的坐标； （2）求直线的方程. 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点. （1）求证：平面PBD； （2）求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值； （3）求D到平面APM的距离. 18. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的 ，两点，且直线PM，PN均不与 轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 19. 如图，为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆 的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面 （3）若点 为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点 到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 命题人：赵金明 审核人：李君 2024年11月 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选择题，共92分；满分150分，考试时间为120分钟. 2.客观题请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上，主观题用0.5mm黑色签字笔答题. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角即可. 【详解】设直线的倾斜角为， 若向量是直线的一个方向向量， 则直线的斜率为， 因为，所以. 故选：A. 2. 设正四面体的棱长为，，分别是 ，的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算以及数量积的定义即可求解. 【详解】依题意，由 ，， 故, 所以 ． 故选:A． 3. 已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A. 外离 B. 外切 C. 内切 D. 相交 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆心及半径，再应用圆心间距离与半径和及半径差的关系判断圆与圆的位置关系. 【详解】圆的面积被直线平分， 所以在直线上，所以， 所以圆心，半径， 圆，圆心，半径， ， 则圆与圆的位置关系是相交. 故选：D. 4. 已知点、、，则外接圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设外接圆的方程为，将三个顶点代入圆的方程，求出、、的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】设外接圆的方程为， 由题意可得，解得， 因此，外接圆的方程是. 故选：B. 5. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 6. 若直线与直线交于点，则到坐标原点距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得直线分别过定点和且垂直，可得交点的轨迹是以 为直径的圆（挖去点），利用数形结合即可求解. 【详解】因为，所以两直线垂直， 又直线过定点，直线过定点， 所以， 故交点的轨迹是以 为直径的圆（挖去点）， 如图所示，其中圆心，半径为1， 所以线段的最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题是隐形圆问题，根据题意得到直线分别过定点和且垂直，推断出的轨迹是以 为直径的圆（挖去点）是解决本题的关键. 7. 下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①若直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则 ②若向量，满足，且，则在方向上的投影向量为 ③若，则，的夹角是钝角 ④已知正四面体的棱长为1，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算判断直线与平面的位置关系，即可判断①；利用投影向量的计算公式判断②；根据向量夹角与数量积的关系判断③；利用正四面体的几何性质结合空间向量的运算转化求解即可判断④，从而得结论. 【详解】对于①，若直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是， 则，所以或，故①不正确； 对于②，若向量，满足，且， 则在方向上的投影向量为，故②正确； 对于③，若，，的夹角是钝角或平角，故③不正确； 对于④，已知正四面体的棱长为1， 则 ， 故④正确； 综上，正确命题的个数为2个. 故选：C. 8. 已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知：点在以为直径的圆上，即，根据得到离心率的取值范围即可. 【详解】因为，所以点在以为直径的圆上，即， 由题意可知，圆在椭圆内部，故， 所以， 所以. 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题，共18.0分.在每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分；部分选对按选项均分分值，有选错的不得分） 9. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为4，则（ ） A. 椭圆的短轴长为 B. 的最大值为8 C. 离心率为 D. 椭圆上不存在点，使得 【答案】BD 【解析】 【分析】根据通径可得，即可求解A，根据椭圆定义结合焦点三角形的性质即可求解B，根据离心率公式即可求解C，根据余弦定理求解最大角，即可求解D. 【详解】 易知当轴时，即线段 为通径时，最短，，解得，椭圆方程为， 对于，椭圆的短轴长为，故A错误； 对于，因为的周长为，且，故B正确； 对于C，离心率，故C错误； 对于，易知当点位于短轴顶点时，最大，此时，又为三角形内角，椭圆上不存在点，使得，故D正确， 故选:BD. 10. 已知实数x，y满足方程，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，表示的几何图形为单位圆位于轴右侧的部分（包括轴上两点），几何意义为上的点到的距离的平方，数形结合得到最值，得到取值范围；B选项，几何意义为上的点与的连线的斜率，数形结合得到最值，得到取值范围；C选项，设，则，为直线与轴的交点的纵坐标，画出图形，数形结合得到最值，得到答案；D选项，的几何意义为上的点到的距离，画出，数形结合得到最值，得到答案. 【详解】A选项，，两边平方得， 故方程表示的几何图形为单位圆位于轴右侧的部分（包括轴上两点）， 其中，， 几何意义为上的点到的距离的平方， 故为最小值，最小值为1， 或取得最大值，最大值为， 所以的取值范围为，A正确； B选项，几何意义为上的点与的连线的斜率， 设过点的直线为， 则，解得，此时为最小斜率， 直线的斜率为最大值，即， 的取值范围是，B正确； C选项，设，则，为直线与轴的交点的纵坐标， 当与的图形相切于时，取得最小值，取得最大值， 由，解得（负值舍去）， 当过点时，取得最大值，取得最小值， ，解得， 的取值范围是，C错误； D选项，的几何意义为上的点到的距离， 过点作⊥直线于点，与的图形交于点， 则即为上的点到的距离最小值， 其中，故， 过点作⊥直线于点， 则即为上的点到的距离最大值， 最大值为， 故的取值范围是， 的取值范围为，D错误. 故选：AB 11. 如图，在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的有（ ） A. 当，，时，对任意的点，都有三棱锥的体积为定值 B. 当，，时，存在点，使得 C. 当，，时，存在唯一点，使得 D. 当时，的最小值是 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，判断点在直线上，利用棱锥体积公式判断即可；对于B，先利用空间向量夹角余弦公式判断，即可求解；对于C，利用列方程，判断方程是否有解即可；对于D，先判断四点共面，利用“等积变换”求解即可. 【详解】建立如图所示直角坐标系，取为 中点，交于点， 以，，，，， ， 由，所以， ，即， 当时，则，故，点在直线上， 所以点到直线 的距离为1，三角形面积为， 又因为到平面的距离为， 所以是定值，故A正确； 当时，则， 则，， 因为，故，即， 即不存在点，使得，故B错误； 当时，则， 若，则， 解得 或，又因为，故存唯一点使得，故C正确； 若时，则四点共面， 当与平面垂直时，的最小， 利用等体积法，则， 则可求解到的距离为， ，则，则的最小值为，故D错误. 故选：AC. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，共15.0分） 12. 已知向量，，且与互相垂直，则的值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】向量的垂直用坐标表示为，代入即可求出答案. 【详解】， ， 因为与互相垂直， 所以, 即， 解得：. 故答案为： 13. 已知直线过点，且与直线垂直，则直线在轴上的截距为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由垂直关系求得直线的斜率，再由点斜式写出方程，化为斜截式即可求. 【详解】由直线，得， 设直线的斜率为，则由直线与直线垂直， 则，则直线为，即， 即直线在轴上的截距为. 故答案为： 14. 如图所示，椭圆的左焦点为F，A，B两点在椭圆上，且四边形为菱形，则该椭圆的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合椭圆的对称性，用椭圆的半焦距c表示出点的坐标，再代入椭圆方程求解即得. 【详解】由四边形为菱形，得轴，由椭圆对称性得点关于y轴对称，连接， 令椭圆半焦距为c，则，因此是正三角形，即， 则点，即有，于是，即， 整理得，而，解得， 所以该椭圆的离心率为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， （1）若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程，求出即可得出答案； （2）设，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解 【小问1详解】 椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以， 由，解得， 双曲线的标准方程为 【小问2详解】 设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理， 得， 所以， 则的面积， 16. 在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为， 边上的中线所在的直线方程为，的角平分线所在的直线方程为. （1）求点的坐标； （2）求直线 的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设点B的坐标为， 中点M的坐标为，点B在直线上，点M在直线上，列方程求解即可； （2）点A关于直线的对称点为，根据对称列方程求解点的坐标为，再由点斜式即可得解. 【详解】（1）设点B的坐标为则 中点M的坐标为 依题意可知，点B在直线上，点M在直线上 则有解得， 即点B的坐标为 （2）设点A关于直线的对称点为， 则在直线 上 设点的坐标为，则点的中点坐标为 则有解得 即点的坐标为 直线的斜率为 所以直线的直线方程为 化简得： 即直线 的方程为. 【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，涉及中点坐标的运算及点线对称的求解，属于中档题. 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点. （1）求证：平面PBD； （2）求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值； （3）求D到平面APM的距离. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，M为BC的中点， 所以， 因为四棱锥的底面是矩形， 所以， 所以，所以， 而，即， 因为底面ABCD，底面ABCD， 所以，而平面PBD， 所以平面PBD； 【小问2详解】 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 因为因为四棱锥的底面是矩形， 所以，建立如下图所示的空间直角坐标系， ， 因为平面ABCD， 所以平面ABCD的法向量为， 设平面APM的法向量为， ，， 于是有， 平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为； 【小问3详解】 由（2）可知平面APM的法向量为，， 所以D到平面APM的距离为 18. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． 【小问1详解】 由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面 （3）若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设交于点，连接，利用三角形相似证得，从而证得，进而证得直线平面； （2）通过平面，证得平面，所以平面平面； （3）建立空间直角坐标系，设，通过向量和平面的法向量建立直线与平面所成角的正弦值的关系式，并利用基本不等式，即可求最值. 【小问1详解】 如图，设交于点，连接，由圆锥的性质可知底面， 因为平面，所以， 又因为是底面圆的内接正三角形，由，可得， ，解得， 又，，所以，即，， 又因为，所以， 所以，即， 又平面，直线平面，平面， 所以直线平面． 【小问2详解】 因为平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； 【小问3详解】 易知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设，可得， 设直线与平面所成的角为， 则， 即， 令， 则， 当且仅当时，等号成立，所以当时，有最大值， 即当时，的最大值为1，此时点， 所以， 所以点到平面的距离， 故当直线与平面所成角的正弦值最大时，点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $