几何题解题思路总结(学案)2024--2025学年人教版八年级数学上册

解题思路总结 1、 角度问题 1. 内角和=180° 2. ∠2+∠3=∠1 3. 四边形内角和=360 ∠1+∠2=180° （注：常用于全等中证明两角相等）1 2 ∠1=∠5=∠6； ∠3=∠2=∠41 2 3 4 5 6 4.多边形外角和=360° 5.多边形内角和=（n-2）×360° 6.平行线→同位角，内错角，同旁内角 7.∠1=∠2 ，PD=PE(角平分线性质) 8、 段氏求角度法（长江P19第12题，P41例3） 如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，你发现的数量关系是（ ）。 A. ∠A=∠1+∠2 B. 2∠A=∠1+∠2 C. 3∠A=2∠1+∠2 D. 3∠A=2（∠1+∠2） 思路：因为折叠，所以A’E=AE、A’D=AD，得到∠1=2∠EAA’，∠2=2∠DAA’。又因为∠EAA’+∠DAA’=∠A，所以。。。 A’ 2、 中线 2.1面积 2.1.1 证明： S1=S2=S S1 S2 2.1.2证明：S1=S2=S3=S4=S5=S6 S1 S2 S3 S4 S5 S6 2.2倍长中线法 常用于题中要证明的结论中含有AB或2AB的情况，见例子： 如图：D是△ABC边上的中线，求证：AD＜（AB+AC）。 思路：延长AD至点E，使DE=AD，可得△BDE≌△ADC，得到AC=BE，题目就可转化为证明AB+BE＞AE，而AE=2AD。 E 3、 角平分线性质与三角形面积（将一个图形的面积转化为数个三角形面积相加）（长江P34题2、题6) 例：如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE=______cm． 思路：过点D，作DF⊥BC，根据角平分线性质，得DE=DF，再由△BDC与△BDA的面积之和等于△ABC的面积，进而求出DE． 4、 角平分线常用技巧 ①利用“角平分线性质”解题：角平分线上的点到两边的距离相等 例1（长江P40）如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）求证：CH平分∠AHE； （3）求∠CHE的度数．（用含α的式子表示） 解：（2）过点C分别作AD与BE的垂线段，如果CM=CN，则能说明CH平分∠AHE 例2（长江P62）如图，已知等腰三角形ABC，∠ACB=90°，AC=BC=4,D为△ABC的一个外角∠ABF的平分线上一点，且∠ADC=45°，CD交AB于E. （1）求证：AD=CD； （2）求AE的长． (1) 法一：角平分线的性质 (2) 过D点作DM⊥AB，DN⊥CB，垂足分别为M、N。证明△ADM≌△CDN 法二：利用角平分线的对称作用和等腰三角形两腰相等 辅助线：延长射线BF，在射线BF上取一点G，使BG=AB。 可得△ADB≌△BGD，得到AD=GD，接下来只需要证明GD=CD即可。 G 法三：作DG=BD，证明△ADB≌△CDG G 5、 直角坐标系中的直角问题 5.1如图，对直角坐标系中存在点A这样的点（其横纵坐标相等或互为相反数），且AB⊥AC，可得到下列结论（自己证明）： ①AB=AC（证明方法如图作辅助线）； ②OC+OB为定值，等于多少？ ③S四边形OBAC为定值，等于多少？ B C A（a,a） 5.2如图，OA⊥OB，OA=OB（或通过题目中其他条件可以得到该条件），可得到点B的坐标为（b,-a）,辅助线如下。 A（a,b） B 6、 “截长补短法”：证明线段之和或差。（长江P29） 如图2，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上，求证：BC=AB+CD． 法一：截长法（在BC上取一点F，使BF=AB） 法二：补短法（延长BA至点F，使BF=BC，连接EF） 若能证明△AFE≌△CDE即可得到AF=CD F 改编：如图2，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上，求证：点E是AD的中点． 7、 两角相等模型 1 蝴蝶型（在图形线条较多时，可以尝试去寻找这样的模型） 若∠A=∠C→∠B=∠D 2 相等的两角在一起 若∠1=∠2，则∠AOC=∠BODA O B C D 1 2 若∠1=∠2，则∠AOD=∠BOCA O B C D 1 2 ③直角三角形 ∠1=∠2，∠3=∠41 2 31 4 ∠3=∠41 31 4 ∠1=∠5，∠2=∠3=∠41 31 4 5 2 8、 三线合一（等腰三角形、等边三角形） 9、 构造等腰三角形或等边三角形 例1 如图所示，在△ABC中，AB =AC，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求证：DE=DF。（长江P53例2） 法一：过点E作EG∥AC交BC于点G，证明△EGD≌△CDF G 法二：过点F作FG∥AB交线段BC的延长线于点G，证明△EBD≌△GDF G 例2：已知在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，过点A作BD的延长线的垂线AE。求证：BD=2AE。（长江P53例3，P64题14） 法一：思路：BE平分∠ABC，同时BE⊥AE，这符合等腰三角形的特征，于是如下图延长AE与BC交于点F，得等腰△AFB。 法二：作DF∥BC，可得到等腰△DFB，过点F作FG⊥BD，证明△ADE≌△DFG。 F G 10、 利用30°，60°，90°直角三角形性质证明线段的“倍”“分”问题 例：已知在△ABC中，BD是AC边上的中线，DB⊥BC于B，且∠ABC=120°，求证：AB=2BC。 A B D C 思路：∠ABD=30°，若以AB为斜边的直角三角形，AB=2AE，若能证明AE=BC即可。 A B D C E 11、 对于求证类似AB+CD＞EF或AB-CD＜EF的题目，一般将AB、CD、EF转化为一个三角形的三条边。（如：前文中的“倍长中线法”） 12、 对于求AB+CD甚至AB+CD+EF等等（多条线段之和）的最小值时，常用“两点之间线段最短”，比如教材中的“最短路径问题”、长江作业P62题12。 （注：此类题型还常用到 ①轴对称，将点或线转化到对称轴的另一边 ②点到直线的垂线段最短） 学科网（北京）股份有限公司 $$