精品解析：江苏省邗江中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

江苏省邗江中学2024-2025学年度第一学期 高二数学期中试卷 命题人：陈惠 王瑞丁 说明：本试卷分第I（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设为实数，已知直线：，：，若，则（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 5或 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，求出的值，再代入检验即可. 【详解】因为直线：与直线：平行， 所以，解得或， 当时直线：与直线：平行，符合题意； 当时直线：与直线：平行，符合题意. 综上可得：或. 故选：D 2. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将方程化简为标准形式，求出的值，根据定义求准线方程即可. 【详解】由方程，则，则，所以抛物线开口向下，所以准线方程为. 故选：C 3. 方程表示椭圆的充要条件是（ ）. A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助椭圆的标准方程与充要条件的定义计算即可. 【详解】若表示椭圆， 则，解得或. 故选：. 4. 点关于直线对称的点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点关于直线对称的点坐标为，利用对称点的连线被垂直平分建立方程组即可求解. 【详解】设点关于直线对称的点坐标为， 由题意可得：解得：， 所以点关于直线对称的点坐标为， 故选：A. 5. 设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则的离心率等于（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由题意设，，，然后分圆锥曲线为椭圆或双曲线分类求得曲线的离心率． 【详解】由题意可设：，，． 当圆锥曲线为椭圆时，，．离心率； 当圆锥曲线为双曲线时，，，离心率． 综上可知，圆锥曲线的离心率为或． 故选：． 6. 已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据可得，再根据韦达定理即可求出的坐标，进而可求解. 【详解】 抛物线的焦点， 设，假设， 显然弦所在的直线的斜率存在且不等于零， 设弦所在的直线方程为， 联立，消去可得，， 所以， 因为，所以，则， 所以，解得，所以， 所以， 所以弦的中点的坐标为， 所以弦的中点轴的距离为， 故选:C. 7. 已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据双曲线的定义求出，在中，利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式求出，利用勾股定理可求得，进而可求出答案. 【详解】因为，所以， 又因为点在上，所以， 即，所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 又，所以，故， 则，所以， 则，所以， 所以， 所以的方程为. 故选：B. 8. 已知圆和两点、，若圆上存在一点，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取，则为等边三角形，分析可知，满足条件的点一定在的外接圆上，求出的外接圆的圆心以及圆的半径，由圆与圆有公共点，可得出关于实数的不等式，结合可得出实数的取值范围. 【详解】取，则，同理可得，， 所以，，所以满足条件的点一定在的外接圆上， 的外接圆半径为， 所以，的外接圆圆心为，且， 要使得圆上存在一点，使得，所以圆与圆有公共点， 则，即， 又，解得． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 直线：，若，则； B. 直线的方程为：，直线过定点； C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为； D. 直线，两直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：由可判断，对于B：由可判断， 对于C：由截距为0的情况可判断，对于D：由平行线间距离公式可判断. 【详解】对于A：当，可得：，解得：，正确； 对于B：由方程，可得：，由， 解得：，过定点，正确； 对于C：过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线，当截距为0时，方程为：，故C错误； 对于D:由两平行线间距离公式可得：两直线的距离为，故正确； 故选：ABD 10. 已知点、动点满足，点的轨迹为曲线，点是直线上一点，过点作曲线的切线，切点为，直线与轴的交点为，则（ ） A. 曲线的方程为 B. 点到直线距离的最小值为 C. 的最小值为 D. 若点坐标为，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件化简即可得圆的方程判断A；根据圆心到直线的距离及圆的性质判断B；根据切线及圆的几何性质判断C；利用,，利用三点共线即可求解D. 【详解】因为、，设， 由，得，化简得：， 故曲线的方程为，故A正确； 曲线的圆心， 到直线的距离为， 可知直线与圆相离，从而圆上动点到直线距离的最小值为，故B错误； 在中，，故C正确； 在直线中，令，得，即， 设点，满足,故， 化简可得， 由于在，即， 故，， 故,因此，， ， 当且仅当在线段与圆的交点时取得最小值，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：根据，利用待定系数法求解，进而根据以及三点共线求解. 11. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.如下图，已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上、下顶点分别为，，左、右顶点分，，，，设C的离心率为e，则（ ） A. 若，则 B. 四边形的面积与的面积之比为 C. 四边形的内切圆方程为 D. 设条形阴影部分的面积为，点形阴影部分的面积为，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用两直线平行，得到、的比值即可判断A；根据题意分别求出四边形的面积与椭圆的面积，即可判断B；利用为直角三角形，在直角三角形中利用正弦值求出原点到四边形一条边的距离几即为半径，即可求解；根据 ，利用作差法即可判断D. 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 对于A选项，若，则 即 所以，故A正确； 对于B选项，，又， 所以四边形的面积与椭圆的面积之比为 故B正确； 对于C选项，因为原点到四边形的四条边的距离都相等， 都等于即为四边形内切圆的半径， 所以四边形内切圆的方程为， 即，故C错误； 对于D项，由题意 ， 所以 所以 ，而， 所以，所以，故D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用，通过作差法比较大小. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆和双曲线共焦点，则m的值为____________. 【答案】7 【解析】 【分析】由椭圆和双曲线标准方程可求. 【详解】由题意，焦点在轴， 所以，解得. 故答案为：7 13. 已知圆C经过两点A（0，2），B（4，6），且圆心C在直线：2x-y-3=0上，则圆C的方程为_______________； 【答案】 【解析】 【详解】设圆心，由可得， 解得，故圆的半径为， 故圆的方程为：， 故答案为：. 14. 已知椭圆的右焦点为是的中点，若椭圆上到点的距离最小的点有且仅有一个，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆的对称性得到右顶点到的距离最小，再利用两点距离公式与二次函数的性质得到，从而得解. 【详解】因为椭圆的右焦点， 而是的中点，则 因为椭圆C上到点的距离最小的点有且仅有一个， 又无论该点是在轴上方还是下方，由于椭圆的对称性都会有2个最小点， 而左右顶点中，右顶点更靠近点， 所以右顶点到的距离最小， 设是椭圆上的点，， ， 对于，其开口向上，对称轴为，定义域为， 要使在处取得最小值， 则在上单调递减， 所以，即，则， 又，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，点在轴上，且. （1）求直线的斜率； （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据、点的位置画出直线，根据已知点在轴上且，结合图形求出直线与轴非负半轴所夹角度，即为直线的倾斜角，进而求出直线斜率； （2）由（1）求出直线的斜率进而求出直线的方程，根据直线的方程求出点坐标，然后根据点和点坐标求解直线方程即可. 【小问1详解】 如图，，，可知直线平行于轴， 已知点在轴上且，可知直线与轴非负半轴所夹角度为， 即直线的倾斜角为，故直线的斜率. 【小问2详解】 由（1）可知，可得直线的方程为，即， 将代入，即求得点坐标为. 已知，，可得直线的方程为， 化简得. 16. 经过双曲线的左焦点作斜率为2的弦AB，求： （1）线段的长； （2）设点为右焦点，求的周长. 【答案】（1）30 （2）64 【解析】 【分析】（1）联立直线与双曲线方程，由弦长公式求解， （2）由双曲线的定义转化后求解． 【小问1详解】 由题意得直线AB的方程为, 代入双曲线方程可得, 设，则 即的长为 【小问2详解】 由双曲线的定义得=， 则的周长为 =. . 17. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为，． （1）当时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程； （2）对于，若圆C上存在点M，使，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分直线l的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合点到直线得距离公式即可得解； （2）要使得，则M在线段的中垂线上，从而可得线段的中垂线与圆C有公共点，则有圆心到直线得距离小于等于半径，从而可得出答案. 【小问1详解】 当时，圆C的方程为， 圆心，半径， ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，满足条件； ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 由直线l与圆C相切，则，解得， 所以l的方程为，即， 综上得，直线l的方程为或； 【小问2详解】 圆心，， 则线段的中垂线的方程为，即， 要使得，则M在线段的中垂线上， 所以存在点M既要在上，又要在圆C上， 所以直线与圆C有公共点， 所以，解得， 所以． 18. 已知抛物线经过点，焦点为，过作两条直线与抛物线交于四点，其中在第一象限，且在的左侧． （1）求的方程； （2）若直线与轴交于点，求直线与轴的交点坐标； （3）设直线与的斜率分别为，若，试问：直线是否过定点，若过请求出定点坐标；若不过，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）直线过定点，且定点为 【解析】 【分析】（1）将点代入即可求解， （2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，即可根据点斜式求解直线方程，令，求解直线与轴交点，，,即可代入化简求解， （3）根据两点斜率公式可得，即可根据点斜式求解直线方程，进而代入化简即可得直线方程为，进而可求解定点. 【小问1详解】 将代入可得，解得， 故 【小问2详解】 设直线， 联立与可得， 设,， 故，同理可得， 故直线，令可得， 同理可得与轴的交点横坐标, 由于， 故，同理可得， 由于，故，所以， 故直线与轴的交点坐标为 【小问3详解】 由题意可得， 由于， 故故，进而， 直线，即， 由于， 故直线， 故直线恒过点 【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点; 若直线方程为 (为定值),则直线过定点 19. 法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆：，，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的蒙日圆为圆. （1）求圆的方程； （2）已知点是椭圆上的任意一点，点为坐标原点，直线与圆相交于、两点，求证：； （3）过点作互相垂直的直线、，其中交圆于、两点，交椭圆于、两点，求四边形面积的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：如图， 设，则， 又、， ， 同理， ， . （3） 【解析】 【分析】（1）根据蒙日圆定义及椭圆方程直接得解； （2）设，根据椭圆方程，焦点坐标直接计算，再由圆的几何性质计算即可得证； （3）分类讨论，当斜率存在且不为0时，根据可得，分别求出，利用换元法求出的取值范围即可. 【小问1详解】 椭圆：中，， 所以所求圆的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①当斜率不存在，斜率为0时，方程为，原点到的距离为， 所以，， 所以四边形面积； ②当斜率存在，斜率不为0时，设的方程为， 则的方程为即， 则原点到的距离为， 所以， 设、，联立与的方程，即， 消去得， 由于在椭圆内部，所以直线与必相交且， 所以 ， 因为, 所以四边形面积， 令，则， 故 ， ，， 令，则， 则在单调递减， 当时；当时，，所以. 综上：. 【点睛】关键点点睛：表示出四边形的面积后，能够恰当经过两次换元，转化为二次函数求最值，是解题的关键，对运算能力要求较高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省邗江中学2024-2025学年度第一学期 高二数学期中试卷 命题人：陈惠 王瑞丁 说明：本试卷分第I（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设为实数，已知直线：，：，若，则（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 5或 2. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 方程表示椭圆的充要条件是（ ）. A. B. 或 C. D. 4. 点关于直线对称的点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则的离心率等于（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或 6. 已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 4 7. 已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆和两点、，若圆上存在一点，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 直线：，若，则； B. 直线的方程为：，直线过定点； C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为； D. 直线，两直线的距离为 10. 已知点、动点满足，点的轨迹为曲线，点是直线上一点，过点作曲线的切线，切点为，直线与轴的交点为，则（ ） A. 曲线的方程为 B. 点到直线距离的最小值为 C. 的最小值为 D. 若点坐标为，则的最小值为 11. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.如下图，已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上、下顶点分别为，，左、右顶点分，，，，设C的离心率为e，则（ ） A. 若，则 B. 四边形的面积与的面积之比为 C. 四边形的内切圆方程为 D. 设条形阴影部分的面积为，点形阴影部分的面积为，则 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆和双曲线共焦点，则m的值为____________. 13. 已知圆C经过两点A（0，2），B（4，6），且圆心C在直线：2x-y-3=0上，则圆C的方程为_______________； 14. 已知椭圆的右焦点为是的中点，若椭圆上到点的距离最小的点有且仅有一个，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，点在轴上，且. （1）求直线的斜率； （2）求直线的方程. 16. 经过双曲线的左焦点作斜率为2的弦AB，求： （1）线段的长； （2）设点为右焦点，求的周长. 17. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为，． （1）当时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程； （2）对于，若圆C上存在点M，使，求实数的取值范围． 18. 已知抛物线经过点，焦点为，过作两条直线与抛物线交于四点，其中在第一象限，且在的左侧． （1）求的方程； （2）若直线与轴交于点，求直线与轴的交点坐标； （3）设直线与的斜率分别为，若，试问：直线是否过定点，若过请求出定点坐标；若不过，请说明理由． 19. 法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆：，，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的蒙日圆为圆. （1）求圆的方程； （2）已知点是椭圆上的任意一点，点为坐标原点，直线与圆相交于、两点，求证：； （3）过点作互相垂直的直线、，其中交圆于、两点，交椭圆于、两点，求四边形面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $