随机变量及其分布专项训练-2025届高三数学一轮复习

2024-2025学年高三数学一轮复习17---随机变量及其分布专项训练 一、单选题 1．某人射击一次击中目标的概率是，经过3次射击，此人恰有2次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 2．某地区有名学生参加某次考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地区学生本次考试数学成绩在分以上的人数为（    ） A． B． C． D． 3．现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0455以下，至少要测量的次数为（    ） （附：若随机变量服从正态分布，则，， A．32 B．64 C．128 D．256 4．已知，，是不相等的实数，且，随机变量的分布列为 则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．某大型超市设立了“助农促销”专区，销售各种农产品，积极解决农民农副产品滞销问题.为加大农产品销量，该超市进行了有奖促销活动，凡购买专区的农产品每满100元的顾客均可参加该活动，活动规则如下:将某空地划分为（1）（2）（3）(4)四个区域，顾客将一皮球投进区域（1）或者（2）一次，或者投进区域（3）两次，或者投进区域(4)三次，便视为中奖，投球停止，且投球次数不超过四次.已知顾客小王每次都能将皮球投进这块空地，他投进区域（1）与（2）的概率均为，投进区域（3）的概率是投进区域（1）的概率的2倍，且每次投皮球相互独立.小王第二次投完皮球首次中奖的概率记为，第四次投完皮球首次中奖的概率记为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测；（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下面哪个p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：）（    ） A．0.7 B．0.2 C．0.4 D．0.5 二、多选题 7．泉州市与莆田市都是旅游资源十分丰富的城市，为了盘活旅游资源带动当地经济发展，选取泉州清源山、泉州东西塔、莆田湄洲岛、仙游九鲤湖四个景点进行旅游品牌宣传.一位游客来莆田、泉州两地游览，已知该游客游览湄洲岛的概率为，游览清源山、东西塔和九鲤湖的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量表示该游客游览的景点个数，下列正确的（    ） A． B． C． D． 8．甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示从甲箱中取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是红球的事件，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．在一批产品中共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是 ． 10．已知随机变量，且，则 . 11．《英雄联盟》2023MSI季中冠军赛在英国伦敦举办，中国战队“JDG”与“BLG”进入决赛，决赛采用五局三胜制，当两队中有一队赢得三局比赛时，就由该队赢得冠军.每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设“JDG”战队在任一局赢得比赛的概率为，比赛局数的期望值记为，则的最大值是 . 12．袋子里有大小相同编号为1、2、3的白球和编号为4、5的红球，一次从袋子中摸取两个球，已知一个为白球的情况下，另一个是红球的概率 四、解答题 13．假设且，在与相互独立的前提下，与存在怎样的关系？此时由与，能不能求出？ 14．某中学在10月1日举行国庆歌咏比赛，参赛的16名选手得分的茎叶图如图所示． （1）写出这16名选手得分的众数和中位数； （2）若得分前六名按一等奖一名、二等奖两名、三等奖三名分别发放100元、70元，40元的奖品，从该6名选手中随机选取2人，设这2人奖品的钱数之和为，求的分布列与数学期望． 15．“难度系数”反映试题的难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，难度也就越小．“难度系数”的计算公式为，其中，为难度系数，为样本平均失分，为试卷总分（一般为100分或150分）．某校高三年级的李老师命制了某专题共5套测试卷（每套总分150分），用于对该校高三年级480名学生进行每周测试．测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，如下表所示： 试卷序号 1 2 3 4 5 考前预估难度系数 0.7 0.64 0.6 0.6 0.55 测试后，随机抽取了50名学生的数据进行统计，结果如下： 试卷序号 1 2 3 4 5 实测平均分 102 99 93 93 87 （1）根据试卷2的难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分； （2）从抽样的50名学生的5套试卷中随机抽取2套试卷，记这2套试卷中平均分超过96分的套数为，求的分布列和数学期望； （3）试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差．设为第套试卷的实测难度系数，并定义统计量，若，则认为本专题的5套试卷测试的难度系数预估合理，否则认为不合理．试检验本专题的5套试卷对难度系数的预估是否合理． 16．甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选. （1）求甲恰有2个题目答对的概率； （2）求乙答对的题目数的分布列与期望. 一轮复习习题集 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C C C B ACD ABD 1．B 【分析】根据独立重复试验的概率公式即可求解. 【详解】由题意可得：此人恰有2次击中目标的概率为： . 故选：B. 2．B 【分析】利用正态分布曲线的对称性求出的值，再乘以即可得解. 【详解】由正态分布曲线的对称轴为，以及， 得， 因此， 故估计该地区学生本次考试数学成绩在130分以上的人数为． 故选：B． 3．C 【分析】根据得到，进而结合正态分布的概率求法求得答案. 【详解】根据题意，， 而，则，所以. 故选：C. 4．C 【分析】根据数学期望公式可得，再根据方差公式得，利用基本不等式求范围，即得结果. 【详解】 因为 （当且仅当时取等号） 因为 故选：C 【点睛】本题考查数学期望与方差、利用基本不等式求值域，考查基本分析求解能力，属中档题. 5．C 【分析】首先根据条件，理解和对应的事件，再根据独立事件的概率公式求解概率，根据后，即可求解. 【详解】小王投进区域（3）的概率为，投进区域(4)的概率为，故. 小王第二次投完皮球后，首次中奖包含“第一次区域（1）（2）均末投中，第二次投中区域（1）或（2）”和“第一次与第二次均投中区域（3）"两个事件， 则概率为. 第四次投完皮球后，首次中奖，需前三次投完后有一次投进区域（3），有两次投进区域(4)， 因此，令， 得，解得，又，所以. 故选：C. 6．B 【分析】分别求出两种检测的期望值，再结合对数函数的公式比较二者的大小，即可求解． 【详解】解：设混合检测方式，样本需要检测的总次数可能取值为1，6， ，， 所以， 设逐份检测，样本需要检测的总次数，则， 若混合检测方式优于逐份检测方式，需，即，即， 即 ， ， ． 故选：B． 7．ACD 【分析】本题可根据题意依次求出、、、、，然后根据数学期望的计算方法即可得出结果. 【详解】随机变量的所有可能取值为、、、、， 则， ， ， ， ， 则，，， ， 故选：ACD. 8．ABD 【分析】根据全概率公式及条件概率概率公式计算可得. 【详解】因为，，， 若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，故A正确； 若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以， 若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以， 所以 ，故B正确； 因为，所以， 所以，故C错误； ，故D正确； 故选：ABD 9．0,1,2,3 【详解】∵在一批产品中共12件，其中次品3件，每次从中任取一件， ∴在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是0，1，2，3. 故答案为0，1，2，3. 10．/ 【分析】利用正态曲线关于直线对称，结合对立事件的概率计算公式求解. 【详解】由正态曲线的对称性知，， 所以. 故答案为：0.4 11． 【分析】设比赛局数为，分别计算出可能取值的概率，进而求出期望值，再利用导数求得的最大值，由此得解． 【详解】设比赛局数为，则的可能取值为3，4，5， 则， ， ， 则， 所以， 因为函数的图象对称轴为， 当时，，当时，，所以， 所以当时，；当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即的最大值为． 故答案为：． 12． 【分析】利用样本空间法，利用古典概型概率公式，结合组合数公式，即可求解. 【详解】一个球为白球，则包含一白一红或是两白，共包含，其中一白一红包含，所以另一个红球的概率. 故答案为： 13．，能 【详解】当且时，由条件概率的计算公式有． 即．这就是说，此时事件发生的概率与已知事件发生时事件发生的概率相等，也就是事件的发生，不会影响事件发生的概率． 类似地，可以看出，如果，那么一定有． 14．（1）众数为，平均数为；（2）分布列见解析，. 【分析】（1）根据众数的定义和中位数的计算方法可得结果. （2）可取，算出取各值时对应的概率，得到的分布列后可得其期望. 【详解】（1）由茎叶图可得众数为， 平均数为. （2）可能的取值为， 又，， ，， 故的分布列为： 故. 【点睛】本题考查茎叶图的应用、众数与中位数的计算，还考查了离散型随机变量的分布列及数学期望，注意计算分布列时要借助排列组合的方法，本题属于基础题. 15．（1）96；（2）分布列见解析，（3）合理，理由见解析 【分析】（1）根据难度系数的计算公式可得平均失分，进而可得平均得分； （2）根据题意可知的可能取值是0，1，2，进而列出分布列，计算期望即可； （3）根据题意计算，判断即可. 【详解】（1）由难度系数的计算公式可得，可得，故第2套试卷的平均分为． （2）的可能取值是0，1，2． ；；． 的分布列为 0 1 2 ． （3）由这50名学生的平均分可依次得出这5套试卷的实测难度系数分别为0.68、0.66、0.62、0.62、0.58．则 ， 因为， 所以本专题的5套试卷对难度系数的预估是合理的． 【点睛】本题考查统计与概率，考查离散型随机变量以及分布列，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，属于基础题． 16．（1）；（2）答案见解析． 【解析】（1）甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，从而甲答对题目数，由此能求出甲恰有2个题目答对的概率； （2）由题意知乙答对的题目数的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列． 【详解】（1）甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是， 选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率． （2）由题意知乙答对的题目数的可能取值为2，3，4， ， ， ， 的分布列为： 2 3 4 . 【点睛】方法点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，求解离散型随机变量分布列的步骤是： 1.首先确定随机变量的所有可能取值； 2.计算取得每一个值的概率，可通过所有概率和为来检验是否正确； 3.进行列表，画出分布列的表格； 4.最后扣题，根据题意求数学期望或者其它． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$