计数原理专项训练-2025届高三数学一轮复习

2024-2025学年高三数学一轮复习16---计数原理专项训练 一、单选题 1．将4个大小相同，颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（    ） A．7 B．10 C．14 D．20 2．（    ） A．0 B．6 C．12 D．18 3．五名同学站成一排，若甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的站法有（  ） A．36种 B．60种 C．72种 D．108种 4．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在乙手中的概率为（    ） A． B． C． D． 5．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊.现有6支救援队前往A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，则不同的安排方法种数是（    ） A．270 B．360 C．540 D．630 6．某公司人事部安排小张、小胡等6名工作人员去4个不同的岗位工作，其中每个岗位至少一人，每个人只去一个岗位工作，且小张、小胡这2人必须在一起，则不同的安排方法有（    ） A．240种 B．320种 C．156种 D．180种 二、多选题 7．若，则下列等式正确的有（    ） A． B． C． D． 8．第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京市和张家口市联合举行.甲，乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有（   ） A．若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有60种不同的方案 B．若每个比赛区至少安排1人，则有240种不同的方案 C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法 D．已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法 三、填空题 9．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成 种重卦．（用数字作答） 10．若二项式的展开式的常数项为160，则实数 . 11．我校举行英语演讲比赛，参加决赛的甲､乙､丙等七人分别上台演讲，其中甲､乙演讲的顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个演讲，则不同的安排方法共有 .种 12．琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排六节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，其中琵琶、二胡一定排课，若琵琶、二胡讲座互不相邻且均不排在第一节和第六节，则不同的排课种数为 （用数字作答） 四、解答题 13．（1）计算； （2）已知，求的值. 14．已知二项式的展开式中第五项为常数项. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中有理项的系数和. 15．设，其中． (1)当时，求的值； (2)当时，化简：． 16．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数. （1）一个唱歌节目开头，另一个压台； （2）两个唱歌节目不相邻； （3）两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻． 一轮复习习题集 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A D C A ACD ABD 1．B 【分析】由题意，可得1号盒子至少放一个，最多放2个小球，分两种情况讨论，分别求出不同的放球方法数目，相加可得答案． 【详解】根据题意，每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号， 分析可得，1号盒子至少放一个，最多放2个小球，分情况讨论： ①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有＝4种方法； ②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有＝6种方法； 则不同的放球方法有4+6=10种， 故选B． 2．C 【分析】利用排列数公式和组合数公式直接计算即可 【详解】因为，， 所以， 故选：C. 3．A 【分析】应用间接法，用甲与乙相邻的情况数减去其中甲丙相邻的情况数即可. 【详解】甲与乙相邻（不考虑丙的位置）减去甲乙相邻且甲丙相邻的情况：种. 故选：A 4．D 【分析】①先求出次传球的路线种数，再求出次传球后球在乙手中的路线种数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可； 【详解】由题意可知，次传球总的传球路线种数为种， 次传球后球在乙手中有如下线路： 甲乙甲丙乙，甲乙丙甲乙，甲丙甲丙乙，甲丙乙甲乙，甲丙乙丙乙，共种， 故次传球后球在乙手中的概率； 故选：D. 5．C 【分析】对参加三个受灾点执行救援任务的人数分三种情况讨论，先分组、再分配求出各组情况的方案数，最后相加. 【详解】若参加三个受灾点执行救援任务的人数分别为1，1，4时，共有种参赛方案； 若参加三个受灾点执行救援任务的人数分别为1，2，3时，共有种参赛方案； 若参加三个受灾点执行救援任务的人数分别为2，2，2时，共有种参赛方案； 综上，不同的安排方法种数是. 故选：C 6．A 【分析】各组人数按、分类，再应用分步计数，捆绑法及排列组合数求不同的安排方法. 【详解】将6人分组有两种情况：、形式， 当各组人数按分组： 小张、小胡必在3人组，从其余4人选1人与小张、小胡捆绑，有种， 此4组人任意安排到4个岗位，有种方法，故共有种； 当各组人数按分组： 小张、小胡必在其中一个2人组，从其余4人选2人为另一2人组，有种 此4组人任意安排到4个岗位，有种方法，故共有种； 综上，不同的安排方法有种. 故选：A 7．ACD 【分析】利用赋值法即可求解AC,求导后结合赋值法可判断D，利用通项的特征可判断B. 【详解】对于A,令，则，故A正确， 对于B,，因此，故B错误， 对于C,令，则，令，则，两式相加可得，故C正确， 对于D,对两边求导得，令得，故D正确， 故选:ACD 8．ABD 【分析】先选两人到短道速滑赛区，其余人全排列，求解可判断A；根据分组分配法即可判断B；先将甲、乙捆绑在一起，再与除了甲、乙以外的3个人排列判断C；根据特殊位置优先安排可判断D． 【详解】由题意，先选两人到短道速滑赛区有种排法，其余各安排1人有种排法， 则有种不同的方案，故A正确； 若每个比赛区至少安排1人，则有种不同的方案，故B正确； 题意，先将甲、乙捆绑在一起有排法，再与除了甲、乙以外的3个人排列有种排法， 则有种不同的站法，故C错误； 先排前排，由种，后排3人中身高最高的站中间，则两边的有种， 则有种，故D正确． 故选：ABD. 9．15 【解析】根据组合的定义可得重卦的种数. 【详解】由题设，卦的种数为， 故答案为：. 【点睛】本题考查组合的应用，解题时注意将实际问题抽象为组合问题，本题属于基础题. 10．1 【分析】根据二项式展开式的通项公式，令其中的指数等于0，即可得出，再代入已知求参即可. 【详解】二项式的通项公式为， 令，解得， 则展开式中常数项为，. 故答案为：1. 11．960 【分析】将甲乙捆绑，并确定丙的位置，排序即可. 【详解】将甲乙捆绑看做一个元素，由丙不能在第一个与最后一个演讲， 则丙的位置有4个，将剩余5个元素再排序有种方法， 故不同的安排方法共有种. 故答案为：960. 12．10080 【分析】根据题意，分两步进行分析：①先从除琵琶、二胡两种乐器外的八种乐器中挑四种进行全排列；②排好后，除去两端，有3个空位可用，在3个空位中任选2个，安排琵琶、二胡，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】先从除琵琶、二胡两种乐器外的八种乐器中挑四种进行全排列，有种情况， 再从排好的四种乐器形成的3个空中（不包括两端的2个空）挑2个插入琵琶、二胡这两种乐器，有种情况， 故满足题意的总的排课种数为. 故答案为：10080. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关具有条件的排列问题以及分步计数原理的应用，正确解题的关键是要掌握分步乘法计数原理以及有特殊条件的排列问题的解决方法. 13．（1），（2） 【分析】（1）利用排列数与组合数公式计算即可； （2）利用赋值法求解. 【详解】（1）； （2）令，得. 14．（1）；（2）121 【分析】（1），为常数项，所以，可求出的值，进而求得二项式系数最大的项； （2）由题意为有理项，直接计算即可. 【详解】（1），∵为常数项， ∴，∴ 二项式系数最大的项为第3项和第4项.∴， . （2）由题意为有理项， 有理项系数和为. 【点睛】本题考查了二项式的展开式，需熟记二项式展开式的通项，属于基础题. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据题意令，运算求解即可； （2）根据组合数证明，再结合二项式系数和的性质运算求解. 【详解】（1）当时，则， 令，则①， 令，则②， 得：， 故. （2） 所以， 即成立； 当时，则， 故展开式的通项公式为，可得， 故. 16．(1)；（2）；（3）. 【详解】试题分析：（1）先排歌曲节目，再排其他节目，利用乘法原理，即可得出结论；（2）先排3个舞蹈，3个曲艺节目，再利用插空法排唱歌，即可得到结论；（3）两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，即可得到结论． 试题解析：（1）种排法.（2）种排法.（3）种排法. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$