上海市实验学校2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

上海市实验学校高三期中考试 数学试卷 2024.11 将答案填写在答题纸上，写在试卷上不给分 一、填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若，则_____ 2. 设函数若 则实数a的值为____________. 3. 函数的值域是_____________． 4. 定义集合运算:且．若集合，则集合的子集个数为_____． 5. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则________ 6. 已知平面向量，的夹角为，若，则的值为______. 7. 设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数________. 8. 已知圆，直线，直线被圆所截的最短弦长为_________ 9. 已知函数在区间上单调递减，则的最大值为_____． 10. 设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为_________ 11. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则______． 12. 已知函数的定义域为，且和对任意的都成立，若当时，的值域为，则当时，函数的值域为________ 二、选择题（本大题满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. “”是“直线和直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知是定义域为R的函数，，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 在正方体中，是底面的中心，是棱上的点，且，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 16. 如图，将线段AB，CD用一条连续不间断的曲线连接在一起，需满足要求：曲线经过点B，C，并且在点B，C处的切线分别为直线AB，CD，那么下列说法正确的是（ ） 命题甲：存在曲线满足要求 命题乙：若曲线和满足要求，则对任意实数，当时，曲线满足要求 A. 甲命题正确，乙命题正确 B. 甲命题错误，乙命题正确 C. 甲命题正确，乙命题错误 D. 甲命题错误，乙命题错误 三、解答题（本大题满分78分） 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，． （1）求证：平面PBC； （2）求四面体的体积． 18. 已知向量，设函数. （1）当时，求函数的值域; （2）已知在中，内角的对边分别为，若，且，求面积的最大值. 19. 某中学新建了学校食堂，每天有近2000名学生在学校食堂用午餐，午餐开放时间约40分钟，食堂制作了三类餐食，第一类是选餐，学生凭喜好在做好的大约6种菜和主食米饭中任意选购；第二类是套餐，已按配套好菜色盛装好，可直接取餐；第三类是面食，如煮面、炒粉等，为了更合理地设置窗口布局，增加学生的用餐满意度，学校学生会在用餐的学生中对就餐选择、各类餐食的平均每份取餐时长以及可接受等待时间进行问卷调查，并得到以下的统计图表. 类别 选餐 套餐 面食 选择人数 50 30 20 平均每份取餐时长（单位：分钟） 2 0.5 1 已知饭堂的售饭窗口一共有20个，就餐高峰期时有200名学生在等待就餐. （1）根据以上的调查统计，如果设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同），问：选择选餐的同学最长等待时间是多少？这能否让80％的同学感到满意（即在接受等待时长内取到餐）？ （2）根据以上的调查统计，从等待时长和公平的角度上考虑，如何设置各类售饭窗口数更优化，并给出你的求解过程. 20. 设椭圆的离心率，过点. （1）求椭圆的方程； （2）求椭圆被直线截得的弦长. （3）直线与椭圆交于两点，当时，求值.（O为坐标原点） 21. 已知函数，若存在实数，使得，则称与为“互补函数”，为“互补数”. （1）判断函数与是否为“互补函数”，并说明理由. （2）已知函数为“互补函数”，且为“互补数”. （i）是否存在，使得？说明理由. （ii）若，用的代数式表示的最大值. 上海市实验学校高三期中考试 数学试卷 2024.11 将答案填写在答题纸上，写在试卷上不给分 一、填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】或. 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】13 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】B 三、解答题（本大题满分78分） 【17题答案】 【答案】（1）证明：连结，交于点， 因为点分别是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）1 【19题答案】 【答案】（1）18分钟；不能 （2）建议设置选餐、套餐、面食三个类别的窗口数分别为个； 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1） 因为，则， 所以在单调递增，在单调递减，则，所以， 因为，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. 故不存在实数，使得，则与不是“互补函数”. （2）（i）存在，使得. 由，得， 则，故存在. （ii）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $