山东省烟台招远市（五四制）2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

绝密★启用前 2024-2025学年度第一学期期中考试 初四数学试题 说明：1. 考试时间120分钟，满分120分。 2. 考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验。 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1.函数是反比例函数，则k的值为（ ） A.2 B. 1 C. 0 D.-1 2.已知抛物线y=x2-10x+c的顶点在x轴上，则c的值为( ) A.25 B. -5 C. 5 D.10 3.利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（ ） 4.阿基米德说:“给我一个支点，我就能撬动整个地球”,这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识---杠杆原理，即“阻力阻力臂=动力动力臂”.若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为1000N和0.4m，则这一杠杆的动力F（N）和动力臂l（m）之间的函数图象大致是( ) 5.已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A.其图象的顶点坐标为（-3，2） B.函数的最小值为2 C.当时，的值为22 D.其图像的对称轴为直线 6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AC＝1，那么AB等于（　　） A．sinα B．cosα C． D． 7.已知二次函数y=ax2(a≠0)和一次函数y=bx+c(b≠0) 的图象如图所示，则函数y=ax2+bx-c的图象可能是( ) 8.如图，延长等腰直角△ABC的斜边AB到D，使BD=3AB，连接CD， 则tan∠BCD的值为( ) A. B. C. D.3 9.如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y＝（x＜0）经过斜边OA上的点C，且OC：AC＝1：3，与另一直角边交于点D，若S△OCD＝15，则k的值为（ ）． A.-20 B.4 C. -4 D.-8 10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示，该函数图象经过 点(-2，0)，对称轴为直线x=.对于下列结论：①abc>0；②b2-4ac<0； ③2a+c=0；④am2+bm<(其中m≠)；⑤若A(x1，y1)和B(x2，y2)均在该函数图象上，且x1>x2>1，则y1>y2.其中正确结论的个数共有（ ）个. A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11.将反比例函数写成的形式，则的值为 . 12.把抛物线y=向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为 . 13.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，BC=5，对角线BD平分 ∠ABC.cos∠ABD=，则△BCD的面积为 . 14.如图，抛物线y=的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程的一个解为,那么该方程的另一个解为 . 15.如图，反比例函数y=的图象与△ABC的两边AB、BC分别交于点 E(2，m)、F(n，4)，已知AB//x轴，点A在y轴上，点C在x轴上， F为BC的中点，则m+n的值为 . 16.“十一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小华想利用所学的数学知识估测景区里的观景塔DE的高度.他从点D处的观景塔出来走到点A处，沿着坡度为1：3斜坡AB从A点走了米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟.在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°；再沿水平方向继续往前走到C处，回头观察到观景塔顶端的仰角为30°，测得BC之间的水平距离为10米，则观景塔DE的高度约为 米.（结果保留根号） 三、解答题（本大题共9个小题，满分72分，解答题要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.计算：（1）sin260°+2tan45°-2sin30°cos60° （2）sin45°cos45°+tan60°-cos30° 18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上的一点， CD=6，AD=BD=10，求sinA，cos∠ABD，tan∠CBD的值. 19.已知二次函数y=. （1）画出函数的图象； ①把下表补充完整: ②在所给的直角坐标系中，画出此函数图象. （2）根据所画的图象直接写出当时，x的取值范围. 20.行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”，刹车距离是分析交通事故的重要依据，在一条限速120km/h的公路上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了。事后测得甲车的刹车距离为22m，乙车的刹车距离超过20m，但小于21m，根据两车车型查阅资料可知:甲车的车速(km/h)与刹车距离s(m)之间有关系：s=；乙车的车速(km/h)与刹车距离s(m)之间则有关系：s=.请从两车的速度方面分析相撞是因为谁超速了. 21.如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=(x>0)的图象和△ABC都在第一象限内，AB=AC=13，BC//x轴，且BC=24，点A的坐标为(16，20). （1）若反比例函数y=(x>0)的图象经过点B，求此反比例函数的解析式； （2）若将△ABC向下平移m(m>0)个单位长度，A、C两点的对应点恰好同时落在反比例函数y= (x>0)图象上，求m的值. 22.为避免伤害器官，医学领域发明了一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量. 如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）.某医疗小组制定方案，通过医疗仪器，采用新型检测技术的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离.方案如下 请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离.(结果精确到0.1cm.参考数据：sin36°0.59,cos36°0.81,tan36°0.73，sin25°0.42, cos25°0.91,tan25°0.47） 23.某市拥有丰富的旅游资源.在一景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于47元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y(件)与销售单价x(元/件)满足一次函数关系，部分数据如上表所示: （1）当销售单价为50元时，每天销售的数量为 件； （2）直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （3）当销售单价为多少元时,每天获利最大？最大利润是多少元？ 24.阅读下面材料. 小明遇到这样一个问题： 如图1，在四边形ABCD中， ∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=3，BC=，求AD的长. 小明发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2). 解决下列问题： （1）请直接写出AD的长为 ； （2）请你用其他与小明的发现不一样的方法来求得AD的长度； （2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，tanA=，∠B=∠C=135°，AB=8，CD=2，求AD的长. 25.如图，抛物线的图象经过点C(0，2)，交x轴于点A、B (点A在点B左侧)，连接BC，过点A作AD//BC交拋物线于D. （1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标； （2）若点E为抛物线的对称轴上一动点，连接EB、ED、BD.请直接写出 △BED周长的最小值及此时点E的坐标； （3）若点P为直线BC上方的拋物线上一个动点，点E为直线AD上一动点，连CP、CE、BP、BE，求四边形BPCE面积的最大值及此时点P的坐标. 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1.C 2.A 3.A 4.B 5.D 6.D 7.C 8.C 9.D 10.B 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 12. 13.10 14. 15.12 16. 三、解答题（本题共9个小题，满分72分，解答题要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（6分）解：（1）sin260°+2tan45°-2sin30°cos60° = = …………………………………3分 （2）sin45°cos45°+tan60°-cos30° ==………………………6分 18.（6分）解：在Rt△BCD中，由勾股定理得： 即： ∴BC=8 ∴ …………2分 ∵AC=AD+CD=10+6=16 ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得： 即： ∴AB=8 ∴ …………………………4分 ∵AD=BD ∴∠DAB=∠ABD，∴ …………………………………………6分 19.（7分）解：（1）①依次是：0、-3、-4、0…4分 ②图象如图；………………………………5分 （2）当时，x的取值范围或 ……………………7分 20.（7分）解：由题意可得：22=，……………………..1分 解之得：， ∴甲车当时的车速是100km/h，小于120 km/h，未超速 ………..3分 同理：∵， ∴，∴， ∴乙车当时的车速超过120km/h ……………………..6分 ∴两车相撞是因为乙车超速了 …………………….7分 21.（8分）解：（1）过点A作AD⊥ x轴，交BC于点D，垂足为点E，∴∠AEO=90°， ∵BC//x轴，∴∠ADB=∠AEO=90°，∴AD⊥BC， ∵点A的坐标为(16，20)，∴OE=16，AE=20， ∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=12， 在Rt△ABD中，由勾股定理得： 即： ∴AD=5， ∴DE=15， ……………………………3分 ∴点B的坐标为(4，15)，点D的坐标为(16，15)，点C的坐标为(28，15). 当反比例函数y=(x>0)的图象经过点B，∴15=，∴ ∴反比例函数的解析式为 …………………………………………….5分 （2）将△ABC向下平移m(m>0)个单位长度， 点A、点C移动后的坐标为：(16，20-m)，(28，15-m)，将其分别代入y=中得：20-m=，15-m=，∴， ∴，∴ ……………………………..8分 22.（8分）解：过点A作AF⊥MN，垂足为点F， 由题意可知：∠ABF=∠DBN=36°， ∠ACF=∠ECN=25°，…………2分 设AF为xcm， 在Rt△ABF中，，∴，∴………4分 ∴ ……………………………………5分 在Rt△ACF中，，∴，∴， 即∴，∴ …………………………7分 答：新生物A处到皮肤的距离约为11.9cm………………………8分 23.（9分）解：（1）45； ………………………2分 （2）； ……………………4分 （2）设每天的获利为w元，由题意得： . …………6分 ∵，∴当时， …………………………7分 又∵，此时w随x的增大而增大， 即当时， ………………………8分 答：当销售单价为47元时,每天获利最大；最大利润是918元. ……9分 24.（9分）解：（1）7；…………………………………2分 （2）过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F， ∴∠AFB=∠AED=∠BFE=∠CEF=90°， ∵∠C=90°，∴四边形BCEF为矩形，∴EF=BC=， ∵∠D=60°，∴∠DAE=30°， ∴∠BAF=90°-∠DAE=90°-30°=60°， 在Rt△ABF中，，∴ ∴AF+EF=…… 在Rt△ADE中，， ∴… （如果学生用“延长CB、DA交于一点”来解决，也给分吧）………5分 （3）延长AB与DC相交于点E， ∵∠ABC=∠BCD=135°，∴∠CBE=∠BCE=45°，∴EB=EC，∠E=90°，………………………………6分 设EB的长为x，则EC的长为x， ∵AB=8，CD=2，∴AE=AB+BE=8+x，DE=CD+CE=2+x， 在Rt△ADE中，，∴，∴，……………7分 ∴AE=8+x=8+4=12，DE=2+x=2+4=6，……………………………8分 ∴在Rt△ADE中，由勾股定理得： 即： ∴AD=6 ……………………………………………………9分 25.（12分）解：（1）把点C（0，2）代入中得： .，∴，∴抛物线的解析式为…………2分 当时，，解之得： ∵点A在点B左侧，∴点A、B的坐标分别为A（-1，0），B（4，0）…4分 （2）△BED周长的最小值为，此时点E的坐标为（； ……………………………………………………7分 （3）过点P作PQ⊥x轴，交BC于点Q，连接AC 由（1）知：A（-1，0），B（4，0），C(0，2)， ∴，∴ ∵AD//BC， ∴………8分 ∴的面积是定值， ∴要使四边形BPCE的面积最大，只需使的面积最大即可 设直线BC的表达式为： 将点B（4，0），C（0，2）代入得： 解之得：， ∴直线BC的表达式为：，……………………………9分 设的面积为，点P的坐标为， 则点Q的坐标为（m，） ∴ ∴ . ∵，∴当时，的最大值为4， ∴ ∴点P的坐标为（2，3） ……………………………………………….11分 当 四边形BPCE最大面积为：， 此时点P的坐标为（2，3） ……………… …………………12分 学科网（北京）股份有限公司 $$