精品解析：河北省沧州市运东五校2025届高三上学期11月期中考试数学试题

河北省沧州市运东五校2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上． 3.请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的上四分位数为（ ） A. 290 B. 295 C. 300 D. 330 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】将数据从小到大排序为：， 所以上四分位数第6个数与第7个数的中位数，为295. 故选:B. 2. 已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的首项、公比的不同情形，分析数列的单调性，结合充分条件、必要条件得解. 【详解】若，，则数列单调递减，故不能推出数列单调递增； 若单调递增，则，，或，，不能推出， 所以“”是“数列单调递增”的既不充分也不必要条件， 故选：D． 3. 已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线方程，求得其一条渐近线的方程，再由圆 ，求得圆心为，半径，利用直线与圆相切，即可求得，得到答案． 【详解】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，即， 又由圆，可得圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，则，可得， 故选C． 【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量投影的概念运算求出 ，再利用向量数量积运算求得结果. 【详解】由题在上的投影向量为， 又，，即， . 故选：A. 5. 冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD（如图乙），测得，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三条边求出，利用平方关系得到，即可根据等腰三角形求解. 【详解】由题意，在中，由余弦定理可得，， 因为，所以， 在中，由得， 故选：C 6. 2023年9月8日，杭州第19届亚运会火炬传递启动仪式在西湖涌金公园广场举行．秉持杭州亚运会“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．在杭州某路段传递活动由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成．若第一棒火炬手只能从甲、乙、丙中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙中产生，则不同的传递方案种数为（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】分第一棒为丙、第一棒为甲或乙两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当第一棒为丙时，排列方案有种； 当第一棒为甲或乙时，排列方案有种； 故不同的传递方案有种. 故选：B 7. 已知θ是三角形的一个内角，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，可求的值，进而利用二倍角公式及齐次式的计算可得结果． 【详解】因为，两边平方得， 即，可得， 因为是三角形的一个内角，且，所以， 所以，得， 又因为，所以， 故有：． 从而有 ． 故选：B． 8. 已知椭圆 ：的焦点分别为，，点 在 上，点 在轴上，且满足，，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，先根据，得，，代入椭圆方程可得，进而解方程可得. 【详解】 如图， ：的图象，则，，其中， 设，，则， ，，， 因，得， 故，得， 由得， 得即，得 由，得，又，， 化简得，又椭圆离心率， 所以，得. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，，则（ ） A. B. 的实部依次成等比数列 C. D. 的虚部依次成等差数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意由复数乘除法分别将化简，再由复数加法、共轭复数的概念即可判断A；复数的实部、虚部以及等差数列、等比数列的概念即可判断BD，由复数模的运算即可判断C. 【详解】因为，，所以，所以，故A正确； 因为，，的实部分别为1，3，9，所以，，的实部依次成等比数列，故B正确； 因为，，的虚部分别为， ，1，所以，，的虚部依次不成等差数列，故D错误； ，故C正确. 故选：ABC. 10. 已知函数的部分图象如图所示．则（ ） A. 的图象关于中心对称 B. 在区间上单调递增 C. 函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象 D. 将函数 的图象所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意首先求出函数的表达式，对于A，直接代入检验即可；对于B，由复合函数单调性、正弦函数单调性判断即可；对于CD，直接由三角函数的平移、伸缩变换法则进行运算即可. 【详解】由图象可知，，解得， 又，所以，即，结合，可知， 所以函数的表达式为， 对于A，由于，即 的图象关于中心对称，故A正确； 对于B，当时，，由复合函数单调性可知 在区间上单调递增，故B正确； 对于C，函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数，故C错误； 对于D，将函数 的图象所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，故D正确. 故选：ABD. 11. 定义在R上的函数满足，，.若，记函数的最大值与最小值分别为、，则下列说法正确的是（ ） A. 为的一个周期 B. C. 若，则 D. 在上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合已知求得为的一个周期，从而A正确；将等式两侧对应函数分别求导，得，即可判断B正确；利用中心对称性质求值判断C正确；根据函数的性质判断D错误. 【详解】由，将x替换成，得． 因为，由上面两个式子，． 将x替换成，，所以． 所以， 所以为的一个周期，A正确； 将等式两侧对应函数分别求导， 得，即成立，B正确； 满足，即函数图象关于点中心对称， 函数的最大值和最小值点一定存在关于点中心对称的对应关系， 所以，解得，C正确； 已知条件中函数没有单调性，无法判断在上是否单调递增，D错误. 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若集合，，，则的最小值为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】先求出集合，然后由，从而求解. 【详解】由，解得，所以， 因为，，所以， 所以的最小值为 . 故答案为： . 13. 甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解. 【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为， 则，所以， 又，则，所以， 所以甲圆锥的高， 乙圆锥的高， 所以. 故答案为：. 14. 已知实数 ，满足，，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由可变形为，故考虑构造函数，判断函数的单调性，利用单调性化简等式，由此可求 . 【详解】因为，化简得． 所以，又， 构造函数， 因为函数，在上都为增函数， 所以函数在上为单调递增函数， 由，∴， 解得，， ∴． 故答案为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）当时，求在区间上的最值； （2）若直线是曲线的一条切线，求 的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，根据正负可确定在上的单调性，由单调性可确定最值点并求得最值； （2）设切点为，结合切线斜率可构造方程组求得和 的值. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，， 又，，. 【小问2详解】 由题意知：， 设直线与相切于点， 则，消去 得：，解得：， 则，解得：. 16. “村BA”后，贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风､乡土味､欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐. 某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各50名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 20 女生 15 合计 100 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （1）根据所给数据完成上表，依据 的独立性检验，能否有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关？ （2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3人进球总次数 的分布列和数学期望. 【答案】（1）有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关 （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据男女生各 名及表中数据即可填写列联表，然后根据计算从而求解. （2）根据题意可知 的所有可能取值为，列出分布列，计算出期望从而求解. 【小问1详解】 依题意，列联表如下： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 30 20 50 女生 15 35 50 合计 45 55 100 零假设：该中学学生喜欢足球与性别无关， 的观测值为， ，根据小概率值 的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关. 【小问2详解】 依题意， 的所有可能取值为， ， 所以 的分布列为： 0 1 2 3 数学期. 17. 如图，多面体由正四棱锥 和正四面体组合而成. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 分别取的中点，连接， 由题意可知多面体的棱长全相等，且四边形为正方形， 所以， 因为平面， 所以平面，同理平面. 又平面平面，所以四点共面. 又因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又 平面平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用正四棱锥与正四面体的性质得到多面体的棱长全相等，从而利用线面垂直的判定定理证得四点共面，再利用线面平行的判定定理即可得解； （2）依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角，从而得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设， 则， 所以. 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则，所以. 设与平面所成角为， 则， 即与平面所成角的正弦值为. 18. 已知抛物线为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为（在轴两侧），与分别交 轴于. （1）若点在直线上，证明直线 过定点，并求出该定点； （2）若点在曲线上，求四边形的面积的范围. 【答案】（1） 设，直线， 联立，可得. 在轴两侧，， ， 由得， 所以 点处的切线方程为， 整理得， 同理可求得 点处的切线方程为， 由，可得， 又在直线上，. 直线 过定点. （2） 【解析】 【分析】（1）设出直线 的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合处的切线方程求得直线 所过定点. （2）先求得四边形的面积的表达式，然后利用导数求得面积的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得在曲线上， . 由（1）可知， ， ， 令在单调递增， 四边形的面积的范围为. 【点睛】 方法点睛：求解抛物线的切线方程，有两种方法，一种是利用判别式法，即设出切线的方程并与抛物线方程联立，化简后利用判别式为0列方程来求得切线方程；另一种是利用导数的方法，利用导数求得切线的斜率，进而求得切线方程. 19. 已知有穷数列中的每一项都是不大于 的正整数.对于满足的整数，令集合.记集合中元素的个数为（约定空集的元素个数为0）. （1）若 ，求及； （2）若，求证：互不相同； （3）已知 ，若对任意的正整数都有或，求的值. 【答案】（1） ，. （2）证明：依题意 ， 则有， 因此， 又因为， 所以 所以互不相同. （3）时，. 时，. 时，. 【解析】 【分析】（1）观察数列，结合题意得到及； （2）先得到，故，再由得到，从而证明出结论； （3）由题意得或，令，得到或，当时得到，当时，考虑或两种情况，求出答案. 【小问1详解】 因为，所以，则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意 由或，知或. 令，可得或，对于成立， 故或. ①当时， ， 所以. ②当时， 或. 当时，由或，有， 同理， 所以. 当时，此时有， 令，可得或，即或. 令，可得或. 令，可得. 所以. 若，则令，可得，与矛盾. 所以有. 不妨设， 令，可得，因此. 令，则或. 故. 所以. 综上，时，. 时，. 时，. 【点睛】数列新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省沧州市运东五校2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上． 3.请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的上四分位数为（ ） A. 290 B. 295 C. 300 D. 330 2. 已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是 A. B. C. D. 4. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 2 D. 5. 冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD（如图乙），测得，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（ ） A. B. C. D. 6. 2023年9月8日，杭州第19届亚运会火炬传递启动仪式在西湖涌金公园广场举行．秉持杭州亚运会“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．在杭州某路段传递活动由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成．若第一棒火炬手只能从甲、乙、丙中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙中产生，则不同的传递方案种数为（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 7. 已知θ是三角形的一个内角，满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆 ：的焦点分别为，，点 在 上，点 在 轴上，且满足，，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，，则（ ） A. B. 的实部依次成等比数列 C. D. 的虚部依次成等差数列 10. 已知函数的部分图象如图所示．则（ ） A. 的图象关于中心对称 B. 在区间上单调递增 C. 函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象 D. 将函数的图象所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象 11. 定义在R上的函数满足，，.若，记函数的最大值与最小值分别为、，则下列说法正确的是（ ） A. 为的一个周期 B. C. 若，则 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若集合，，，则的最小值为__________. 13. 甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则__________. 14. 已知实数 ， 满足，，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）当时，求在区间上的最值； （2）若直线是曲线的一条切线，求 的值. 16. “村BA”后，贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风､乡土味､欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐. 某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各50名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 20 女生 15 合计 100 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （1）根据所给数据完成上表，依据 的独立性检验，能否有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关？ （2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3人进球总次数 的分布列和数学期望. 17. 如图，多面体由正四棱锥 和正四面体组合而成. （1）证明：平面； （2）求与平面 所成角的正弦值. 18. 已知抛物线为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为（在 轴两侧），与分别交 轴于. （1）若点在直线上，证明直线 过定点，并求出该定点； （2）若点在曲线上，求四边形的面积的范围. 19. 已知有穷数列中的每一项都是不大于 的正整数.对于满足的整数，令集合.记集合中元素的个数为（约定空集的元素个数为0）. （1）若 ，求及； （2）若，求证：互不相同； （3）已知 ，若对任意的正整数都有或，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $