专题04 一次函数的应用重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题04 一次函数的应用重难点题型专训（12大题型+20道拓展培优） 题型一 一次函数应用之分配方案问题 题型二 一次函数应用之最大利润问题 题型三 一次函数应用之行程问题 题型四 一次函数应用之工程问题 题型五 一次函数应用之分段函数问题 题型六 一次函数应用之几何问题 题型七 一次函数应用之体积问题 题型八 一次函数应用之新定义问题 题型九 一次函数应用之存在性问题 题型十 一次函数应用之动点问题 题型十一 一次函数应用之最值问题 题型十二 一次函数应用之其他问题 【经典例题一 一次函数应用之分配方案问题】 【例1】（24-25八年级上·全国·期中）甲、乙两商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠．设所买商品为件，甲商场收费为元，乙商场收费为元． (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当所买商品为5件时，选择哪家商场更优惠？请说明理由． 【答案】(1)， (2)乙商场更优惠；理由见解析 【分析】（1）由两家商场的优惠方案分别列式整理即可； （2）由函数解析式分别求出x=5时的函数值，即可得解 本题考查了一次函数的应用和最优方案问题，读懂题目信息，理解两家商场的优惠方案是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）解：当时，，， ∴， ∴当所买商品为5件时，选择乙商场更优惠． 1．（23-24九年级上·浙江台州·开学考试）五一期间，某移动公司就上网收费套餐推出三种优惠方案，具体如下表所示： 收费方案 月使用费（元） 包时上网时间（小时） 超时费（元/小时） 无限 方案和方案每月所需的费用（元）与每月使用的时间（时）之间的函数关系图象如下图所示： (1)填空：表中的____________，____________； (2)请在图中画出方案的图象，并写出当上网时间不少于小时方案每月所需的费用（元）与每月使用的时间（时）之间的函数关系式； (3)当每月使用的时间在什么范围时，选择方案最省钱； 当每月使用的时间在什么范围时，选择方案最省钱； 当每月使用的时间在什么范围时，选择方案最省钱． 【答案】(1)，； (2)当时，方案每月所需的费用（元）与每月使用的时间（时）之间的函数关系式； (3)当或时，该用户选择收费方式；当时，该用户选择收费方式；当时，该用户选择收费方式． 【分析】（）根据图象求出和的值； （）根据表中数据写出与的函数解析式，再分段画出函数图象即可； （）根据题意可以分别写出、、关于的函数关系式，并写出相应的自变量的取值范围，然后根据题意可以帮助用户选择较省钱的收费方式，通过计算可以说明理由； 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． 【详解】（1）解：由图象知：，， 故答案为：，； （2）解：由表中数据可知，当时，， 当时，， 当时，， 图象如图所示： ∴当时，方案每月所需的费用（元）与每月使用的时间（时）之间的函数关系式； （3）解：由题意知： ， ， ， 令或， 解得或， 令， 解得， ∴当或时，该用户选择收费方式； 当时，该用户选择收费方式； 当时，该用户选择收费方式． 2．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）为打造“书香校园”，学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本． (1)请问符合题意的组建方案有哪几种? (2)若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低?最低费用是多少元? 【答案】(1)有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个 (2)方案一费用最低，最低费用是22320元 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一次函数的实际应用，解答本题的关键是正确找到题目中的不等关系，列不等式组求得方案的个数． （1）设组建中型图书角个，则组建小型图书角为个．根据不等关系：科技类书籍不超过1900本；人文类书籍不超过1620本．列不等式组，进行求解； （2）此题有两种方法：方法一：因为总个数是不变的，所以费用少的越多，总费用越少；方法二：分别计算（1）中方案的价钱，再进一步比较． 【详解】（1）解：设组建中型图书角个，则组建小型图书角为个． 由题意，得 解这个不等式组，得 由于只能取整数， ∴的取值是． 当时，； 当时，； 当时，． 故有三种组建方案： 方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个； 方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个； 方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个． （2）方法一：令总费用为w，则， ∴当取最小值18时，总费用最低，最低费用是元． ∴组建中型图书角18个，小型图书角12个，总费用最低，最低费用是22320元． 方法二：方案一的费用是：(元)； 方案二的费用是：(元)； 方案三的费用是：(元)． 故方案一费用最低，最低费用是22320元． 3．（2023·浙江·模拟预测）某礼品经销商在春节前购进了甲、乙两种规格的礼品盒盒，共花费了元．已知甲、乙两种规格的礼品盒的进价和售价如下表： 类别 甲规格 乙规格 进价(元) 售价(元) (1)该礼品经销商购进甲、乙两种规格的礼品盒各多少盒？ (2)由于市场供不应求，该礼品经销商计划再购进两种礼品盒共盒，而此次投入不超过元，为使得获利最大，应如何进货． 【答案】(1)该礼品经销商分别购进甲、乙两种礼品盒为120、80盒 (2)进货方案为：甲礼品盒盒，乙礼品盒的数量盒 【分析】 （1）首先根据题意设出未知数，再找到等量关系：①甲、乙两种礼品盒共盒，②甲礼品盒的数量乙礼品盒的数量共花费了元，然后解方程组可得到甲乙两种礼品盒各买了多少盒． （2）再购进甲礼品盒盒，则购进乙礼品盒盒，甲礼品盒的花费乙礼品盒的花费，进而求出进货方案． 【详解】（1） 解：设购进甲规格的礼品盒盒，乙规格的礼品盒盒， 根据题意得：， 解得， 答：该礼品经销商分别购进甲、乙两种礼品盒为、盒． （2） 设再购进甲礼品盒盒，根据题意得：， ， ， 利润， 随着的增大而减小， 当时，最大，此时元． 即进货方案为：甲礼品盒盒，乙礼品盒的数量盒， 【点睛】 此题主要考查了一次函数、一元一次不等式、二元一次方程组的应用，根据不等式的性质以及一次函数的增减性是解决问题的关键． 4．（2023·四川·中考真题）某移动公司推出A，B两种电话计费方式． 计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫 A 免费 B 免费 (1)设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式； (2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由； (3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式． 【答案】(1)见解析； (2)选方式B计费，理由见解析； (3)见解析． 【分析】（1）根据题意，设两种计费金额分别为、，分别计算三个不同范围内的A、B两种方式的计费金额即可； （2）令，根据（1）中范围求出对应两种计费金额，选择费用低的方案即可； （3）令，求出此时的值，当主叫时间时，方式A省钱；当主叫时间时，方式A和B一样；当主叫时间时，方式B省钱； 【详解】（1）解：根据题意，设两种计费金额分别为、 当时，方式A的计费金额为元，方式B的计费金额为108元； 方式A的计费金额，方式B的计费金额为108元； 当时，方式A的计费金额为，方式B的计费金额为 总结如下表： 主叫时间/分钟 方式A计费() 方式B计费() 78 108 108 （2）解：当时， ，故选方式B计费． （3）解：令，有解得 ∴当时，方式A更省钱； 当时，方式A和B金额一样； 当时，方式B更省钱． 【点睛】本题考查了一次函数在电话计费中的应用，根据题意分段讨论是求解的关键． 【经典例题二 一次函数应用之最大利润问题】 【例2】（24-25八年级上·全国·期中）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为120只，且每日产出的产品全部售出已知生产x只玩具熊猫的支出成本为R（元），销售收入为P（元），利润为y（元），且R，P关于x的函数表达式分别为，． (1)求y关于x的函数表达式，并画出函数图象． (2)根据图象解决下列问题： ①该玩具厂至少应生产多少只玩具，才能保证不亏损？ ②当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？（提示：利润=销售收入-支出成本） 【答案】(1)，图象见解析 (2)①该玩具厂至少应生产20只玩具，才能保证不亏损②当日产量为90只时，每日获得的利润为1750元 【分析】此题主要考查了一次函数的应用，利用数形结合得出是解题关键． （1）利用，进而得出函数解析式即可，进而利用两点法画出直线即可； （2）①利用函数图象得出时，的取值范围即可；②将代入解析式求出即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 如图所示：    （2）解：①当时能保证不亏损， ∴， 解之：； ∴该玩具厂至少应生产20只玩具，才能保证不亏损； ②当时，， 解之：， ∴ 当日产量为90只时，每日获得的利润为1750元 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）某水产品市场管理部门规划建造面积为的集贸大棚，大棚内设种类型和种类型的店面共80间，每间种类型的店面的平均面积为，月租为400元．每间种类型的店面的平均面积为，月租为360元，全部店面的建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的． (1)试确定种类型的店面的数量范围； (2)通过了解业主的租赁意向得知，种类型店面的出租率为，种类型店面的出租率为．为使店面的总月租最高，应建造种类型的店面多少间？并求出最高租金． 【答案】(1)种类型店面的数量为，且为整数 (2)应建造种类型的店面40间，最高租金24960 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组，及所求量的等量关系．注意本题的不等关系为：建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的；并会根据函数的单调性求最值问题． （1）关键描述语为：全部店面的建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的．关系式为：种类型店面面积种类型店面面积；种类型店面面积种类型店面面积，进而列出不等式组求解即可； （2）店面的月租费种类型店面间数种类型店面间数，然后按取值范围来求解． 【详解】（1）解：设种类型店面的数量为间，则种类型店面的数量为间， 根据题意得， 解之得， 种类型店面的数量为，且为整数； （2）设应建造种类型的店面间，则店面的月租费为 ， 又， ∴时，W最大为． 为使店面的月租费最高，应建造种类型的店面40间，最高租金24960． 2．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）草基地为了提高收益．对收获的草莓分拣成，两个等级销售，每千克草莓的价格级比级的2倍少4元．3千克级草莓比5千克级草莓的销售额多4元． (1)问，两个等级的草莓每千克各是多少元？ (2)某超市从草莓基地购进、两个等级的草莓共200千克，且均价不超过19元，要求购进级草莓不少于48千克． ①根据所给的信息，、两个等级的草莓有哪几种购进方案？ ②超市对购进的两个等级的草莓进行包装销售（如表所示，若不足一包，则该包不进行销售），全部包装销售完，当包装级草莓多少包时，所获总利润最大？最大总利润为多少元？ 草莓等级 包装重量（千克） 售价（元/包） 级 1 68 级 2 82 【答案】(1)每千克级草莓为28元，每千克级草莓为16元 (2)①三种方案：见详解②当进货方案是级草莓50千克，所获总利润最大，总利润的最大值是5750元 【分析】（1）根据每千克草莓的价格级比级的2倍少4元，3千克级草莓比5千克级草莓的销售额多4元，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得每千克级草莓、级草莓的利润分别为多少元； （2）①根据级草莓不少于48千克，且均价不超过19元，可得出结论； ②根据题意和①中的结果，可以得到与之间的函数关系式；然后根据一次函数的性质，即可得到该经销商如何进货，使销售总利润最大，并求出总利润的最大值． 本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 【详解】（1）解：设每千克级草莓为元，每千克级草莓为元， 由题意得：， 解得：， 答：每千克级草莓为28元，每千克级草莓为16元； （2）解：①由题意可得，设购进级草莓千克，则购进级草莓千克， 根据题意可知，， 解得， ∵为整数 ∴ ∴（千克）； （千克）； （千克）； 则方案一：购进级草莓48千克，则购进级草莓152千克； 方案二：购进级草莓49千克，则购进级草莓151千克； 方案三：购进级草莓50千克，则购进级草莓150千克； ②设总利润为元， 根据题意可知，， ，且， 当时，所获利润最大，此时的最大值为（元）， 即当进货方案是级草莓50千克，级草莓150千克时，使销售总利润最大，总利润的最大值是5750元． 3．（23-24八年级上·浙江金华·期末）为了抓住亚运会商机，某商店决定购进宸宸，莲莲两种亚运会纪念品，若购进宸宸10件，莲莲5件，需要1000元；若购进宸宸5件，莲莲3件，需要550元．    (1)求购进宸宸，莲莲两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，考虑到市场需求，要求购进宸宸的数量不少于莲莲数量的6倍，且不超过莲莲数量的8倍． ①设购进宸宸m件，则购进莲莲件(用含m的代数式表示)，该商店共有几种进货方案？ ②若销售宸宸每件可获利润20元，莲莲每件可获利润30元，销售这两种亚运会纪念品的利润为w元，求w关于m的函数关系式，并求出最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进宸宸每件需50元，莲莲每件需100元 (2)①件，该商店共有3种进货方案；②，当时，最大，最大利润是元 【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的实际应用． （1）设购进宸宸每件需元，莲莲每件需元，根据"购进宸宸10件，莲莲5件，需要1000元 ，购进宸宸5件，莲莲3件，需要550元"，列出方程组，解此方程组即可求解； （2）①购进宸宸件，则购进莲莲件，根据题意求出m的取值范围，然后根据m和均为正整数，即可解出m的值，进而即可求解； ②根据题意得到根据一次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：设购进宸宸每件需元，莲莲每件需元， 根据题意得：，解得：． 答：购进宸宸每件需50元，莲莲每件需100元； （2）解：①设购进宸宸件，则购进莲莲件， 根据题意得：，解得： 又均为正整数，可以为该商店共有3种进货方案． ② ，w随的增大而增大， 当时，最大，最大利润是元． 4．（2024·浙江温州·一模）2023 年 10月4日，亚运会龙舟赛在温州举行． 某网红店看准商机，推出了 A 和B 两款龙舟模型． 该店计划购进两种模型共200个，购进 B 模型的数量不超过 A模型数量的2 倍． 已知B 模型的进价为30元/个，A 模型的进价为20元/个，B 模型售价为45元/个, A 模型的售价为30元/个． (1)求售完这批模型可以获得的最大利润是多少? (2)如果B模型的进价上调m元，A 模型的进价不变，但限定 B模型的数量不少于 A 模型的数量，两种模型的售价均不变． 航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的最大利润是2399元，请求出m的值． 【答案】(1)2665元 (2)2 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）分及三种情况，找出y关于x都函数关系式． （1）设购进模型x个，则购进模型个，根据购进模型的数量不超过模型数量的2倍，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论；设售完这批模型可以获得的总利润为y元，利用总利润=每个的销售利润×销售数量（购进数量），可得出y关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题； （2）由购进模型的数量不少于模型的数量，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，结合（1）的结论可确定x的取值范围，分三种情况，找出y关于x的函数关系式或y的值，结合y的最大值为2399，可求出m的值，取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设购进模型x个，则购进模型个， 根据题意得：， 解得： ， 又∵x为正整数，∴x的最大值为 设售完这批模型可以获得的总利润为y元，则， 即 ∵ ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值，最大值． 答：售完这批模型可以获得的最大利润是2665元； （2）解：根据题意得： 解得： 又∵，且x为正整数， ∴且x为整数． 当时， 即 ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值，此时， 解得：； 当时， 即，不符合题意，舍去； 当时， 即， ∵ ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值，此时 解得：（不符合题意，舍去）． 答：m的值为2． 【经典例题三 一次函数应用之行程问题】 【例3】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，根据图像解答下列问题： (1)A，B两们相距______； (2)出发________小时后两人相遇； (3)甲每小时骑行______，乙每小时骑行_____；图中C点表示的实际意义是______． (4)求出时，S与t之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3)12，20，甲到达村 (4) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）根据图象，得到两人未出发时，相距，即可； （2）两人第一次相距的距离为0时，两人相遇，从图象获取答案即可； （3）根据图象和题意可知，甲骑行速度大于乙骑行的速度，甲2小时到达村，乙2.5小时到达村，利用速度等于路程除以时间，进行计算即可； （4）设函数解析式为，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】（1）解：由图象可知，时，， 即：A，B两们相距； （2）解：由图象可知，当时，， 即：出发小时后，两人相遇； （3）解：由图象可知，乙经过，行驶了km， ∴乙的速度为：， ∴甲的速度为：， 点实际意义为：甲到达村； （4）解：设，把代入，得： ，解得：， ∴． 1．（23-24九年级上·浙江台州·开学考试）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程和时间的函数关系如图2所示． (1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值． (2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间． 【答案】(1)；2 (2) 【分析】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象上有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键． （1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将代入解析式求出a的值即可； （2）先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去两段时间即可得解． 【详解】（1）设大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为， 由图象可知，直线过点，， ∴， 解得：， ∴； 把代入： ， 解得： ； （2）由图象可知，军车的速度为：， ∴军车到达仓库所用时间为：， 从仓库到达基地所用时间为：， ∴部队官兵在仓库领取物资所用的时间为． 2．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）小唐家住在公交车站点A附近，他每天搭乘公交车前往位于站点D附近的学校上学．图1是公交站点A通往站点D的公交线路示意图，其中A，B，C，D是四个公交站点，B，C两站点相距1200米．小唐每天先沿公交线路步行至站点B或站点C，然后乘公交车上学． (1)星期一，小唐步行至站点B上车，记他到站点A的路程为s米，他离开站点A的时间为t分，s关于t的函数图象如图2所示，求对应的函数表达式及公交车的速度； (2)星期二，小唐以与星期一相同的出发时间和步行速度行至站点C上车，已知该路公交车每隔10分钟一班，公交车每天的始发时间和车速保持不变，乘客上下车的时间可忽略不计： ①试判断并说明小唐步行至站点C时，此时是否有公交车也恰好到达站点C； ②若小唐到达站点D所用的时间是星期一的1.5倍，求C，D两站点间的距离． 【答案】(1)，公交车的速度为600米/分 (2)①C，D两站点间的距离为3000米 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，理解题意，看懂图象并获取有用信息是解答的关键． （1）根据函数图象，求出小唐的速度和公交车的速度即可； （2）分别求得小唐和公交车到达C站点需要的时间，进而得时间差可求解； ②设C，D两站点间的距离为s米，根据“小唐到达站点D所用的时间是星期一的1.5倍”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设对应的函数表达式为， 将点代入，得，解得， ∴对应的函数表达式为； 公交车的速度为（米/分）； （2）解：①由题意，由题意，小唐的速度为（米/分）， ∴小唐到达C站点时所需时间为（分钟）， 公交车到达C站点所需要的时间为（分钟）， ∵（分钟）， ∴小唐步行至站点C时，此时是有公交车也恰好到达站点C； ②设C，D两站点间的距离为s米，则小唐星期一所用总时间为分钟，星期二所用总时间为分钟， ∵小唐到达站点D所用的时间是星期一的1.5倍， ∴， 解得， 答：C，D两站点间的距离为3000米． 3．（2023·浙江台州·模拟预测）“低碳生活，绿色出行”的理念正逐渐被人们所接受，越来越多的人选择骑自行车上下班． 王叔叔某天骑自行车上班从家出发到单位过程中行进速度（米/分）随时间（分钟）变化的函数图象大致如图所示，图象由三条线段和组成． 设线段OC上有一动点，直线过点T且与横轴垂直，梯形在直线左侧部分的面积即为t分钟内王叔叔行进的路程s（米）． (1)①当分钟时，速度_______米/分钟，路程_______米； ②当分钟时，速度_______米/分钟，路程______米． (2)当和时，分别求出路程s（米）关于时间t（分钟）的函数解析式； (3)求王叔叔该天上班从家出发行进了750米时所用的时间t． 【答案】(1)①，；②， (2)当时，；当时， (3)王叔叔该天上班从家出发行进了米时用了4分钟 【分析】此题考查一次函数的应用，关键是根据图象进行分析，同时利用待定系数法得出解析式． （1）①根据图象得出直线的解析式，代入解答即可； ②根据图象得出时的速度，并计算其路程即可； （2）利用待定系数法得出和时的解析式即可； （3）根据当时的解析式，将代入解答即可． 【详解】（1）解：①由图象可知分钟内速度由增加到米/分钟，每分钟增加米，故当分钟时，速度米/分钟，此时路程（米）． 故应填，；   ②由图象可知当分钟时，速度米/分钟，路程（米）． 故应填，； （2）①当时，设直线的解析式为，由图象可知点， ∴，解得，则． 设与的交点为，则， ∴． ②当时，设与的交点为，则， ∴． （3）∵当时，， 当时，， 则令，解得． 所以，王叔叔该天上班从家出发行进了米时用了分钟． 4．（2024·浙江·三模）钱塘江绿道是浙江首个完全贯通的城市主要水系绿道，也是全国目前已建成的最长沿江 （河）连续绿道，圆圆和方方在笔直的绿道上分别从相聚m米的甲，乙两地同时出发，匀速相向而行，已知圆圆的速度大于方方的速度，两人相遇停留 n分钟后，各自按原速度原方向继续前行，分别到达乙地，甲地后原地休息，若两人之间的距离y（米）与时间x （分钟）之间的函数关系如图所示： (1)根据图像信息，请求出m， n的值； (2)求圆圆和方方的速度；（单位：米/分钟） (3)求线段 所在直线的函数解析式． 【答案】(1)， (2)圆圆的速度米/分，方方的速度为米/分 (3) 【分析】本题主要考查了函数图像的应用，解答本题的关键是明确题意，理解函数图像上点的坐标的实际意义，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图像可得出发前的距离即为两人的距离，相遇后休息时间为x轴上不变的时间； （2）根据点A表示圆圆到达乙地，可以求出圆圆的速度，然后根据相遇的两人速度和求出方方得速度即可； （3）根据实际问题可以知道圆圆到达终点，而方方继续前进，根据路程速度时间解题即可． 【详解】（1）解：由图可知出发时两人相距，故； 24分时两人相遇，32分时两人继续前进，则； （2）解：∵点A表示圆圆到达乙地， ∴圆圆的速度为米/分； ∴方方的速度为米/分； （3）解：线段 所在直线的函数解析式为： ． 【经典例题四 一次函数应用之工程问题】 【例4】（2023·吉林长春·一模）为推进乡村振兴发展，某区决定对A、B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，乙工程队再开始施工，乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图像，请根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙工程队每天修公路_________米． (2)分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式． (3)若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？ 【答案】(1)180 (2)甲：；乙： (3)6天 【分析】（1）根据函数图像可得乙工程队在4天内修了720米的公路，由此即可得； （2）先求出两个函数图像的交点坐标为，再利用待定系数法求解即可得； （3）设若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需天完成，求出甲工程队每天修公路的长度和公路的总长度，建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：乙工程队每天修公路（米）， 故答案为：180． （2）解：， 两个函数图像的交点坐标为， 设甲工程队修公路的长度（米）与施工时间（天）之间的函数关系式为， 将代入得：，解得， 则甲工程队修公路的长度（米）与施工时间（天）之间的函数关系式为， 设乙工程队修公路的长度（米）与施工时间（天）之间的函数关系式为， 将点，代入得：，解得， 则乙工程队修公路的长度（米）与施工时间（天）之间的函数关系式为． （3）解：设若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需天完成， 甲工程队每天修公路（米）， 公路的总长度为（米）， 由题意得：， 解得， 答：若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需6天完成． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，从函数图像中正确获取信息是解题关键． 1．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）甲、乙两个工程组同时挖掘长春地铁号线某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示．    (1)甲组比乙组多挖掘了______天． (2)求乙组停工后关于的函数解析式． (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出甲组挖掘的天数． 【答案】(1) (2)关于的函数解析式为： (3)甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，甲组挖掘的天数为天 【分析】（1）根据函数图象可求出甲的工作时间为天，甲乙合作的工作时间是天，由此即可求解； （2）设，把，代入，运用待定系数法即可求解； （3）根据题意分别求出甲乙的工作效率，设甲工作时间为天，由此列方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，甲乙合作的工作时间是天，甲的工作时间为天， ∴甲组比乙组多挖掘了（天）， 故答案为：． （2）解：合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，根据题意可得，当时，乙组停工，甲组继续挖掘， ∴设乙组停工后关于的函数解析式为：，把，代入， ∴，解得，， ∴关于的函数解析式为：． （3）解：根据题意，当时间天时，挖掘的长度之和， 当时间天时，挖掘的总长度， ∴甲单独工作的时间为（天），工作量为（米）， ∴甲的工作效率为（米/天）， 设乙的工作效率为（米/天）， ∴，解得，，即乙的工作效率为（米/天）， 设甲工作时间为天， ∴，解得，， ∴甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，甲组挖掘的天数为天． 【点睛】本题主要考查一次函数与工程问题的综合，掌握待定系数法求一次函数解析式，工程问题的数量关系等知识是解题的关键． 2．（24-25九年级上·广东肇庆·开学考试）甲、乙两个工程组同时挖掘肇佛高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． (1)求乙组停工后关于的函数解析式． (2)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，求乙组已停工的天数． 【答案】(1) (2)天 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）乙组停工后关于的函数解析式为，再将点、代入求解即可； （2）根据函数图象得出甲的工作效率，得出前天是甲乙合作共挖掘，则乙单独挖掘的长度是，再求出甲单独挖掘所用的天数，即可得出答案． 解题的关键是数形结合求出一次函数解析式． 【详解】（1）解：乙组停工后关于的函数解析式为， ∵点、在图象上， ∴， 解得：， ∴乙组停工后关于的函数解析式为； （2）由题意可知，甲单独干了天，挖掘的长度是：， ∴甲的工作效率是每天：， 前天是甲乙合作共挖掘了， ∴乙单独挖掘的长度是：， ∴当甲挖掘的长度是时，工作天数是：（天）， ∴乙组已停工的天数是：（天）． 答：乙组已停工的天数是天． 3．（2024·黑龙江绥化·三模）甲、乙两个工程组同时铺设绥化至大庆高速路段的沥青路面，两组工程队每天铺设沥青路面的长度均保持不变，合作一段时间后，乙工程队因维修设备而停工，甲工程队单独完成了剩下的任务，甲、乙两工程队铺设沥青路面的长度之和y（单位：m）与甲工程队铺设沥青路面的时间x（单位：天）之间的关系如图所示．    (1)甲工程队比乙工程队多铺设沥青路面____________天； (2)求乙工程队停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当甲工程队铺设沥青路面的总长度与乙工程队铺设沥青路面的总长度相等时，求乙工程队已经停工的天数． 【答案】(1)30 (2) (3)乙工程队已经停工的天数为10天 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键． （1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可； （2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x的取值范围； （3）先计算甲乙两组每天各铺设沥青多少米，再计算乙组铺设沥青的总长度，设乙组已停工的天数为a，根据甲组铺设沥青的总长度与乙组铺设沥青的总长度相等列方程计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做， ∴甲组铺设沥青60天，乙组铺设沥青30天， （天） ∴甲组比乙组多铺设沥青30天， （2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为， 将和两个点代入，可得， 解得， ∴ （3）解：甲组每天铺设沥青（米） 甲乙合作每天铺设沥青（米） ∴乙组每天铺设沥青（米），乙组铺设沥青的总长度为（米） 设乙组已停工的天数为a， 则， 解得， 答：乙组已停工的天数为10天． 4．（2024八年级下·全国·专题练习）为了能以“更新、更绿、更洁、更宁”的城市形象迎接2011年大运会的召开，深圳市全面实施市容市貌环境提升行动．某工程队承担了一段长为1500米的道路绿化工程，施工时有两张绿化方案： 甲方案是绿化1米的道路需要型花2枝和型花3枝，成本是22元； 乙方案是绿化1米的道路需要型花1枝和型花5枝，成本是25元． 现要求按照乙方案绿化道路的总长度不能少于按甲方案绿化道路的总长度的2倍． (1)求型花和型花每枝的成本分别是多少元？ (2)求当按甲方案绿化的道路总长度为多少米时，所需工程的总成本最少？总成本最少是多少元？ 【答案】(1)型花和型花每枝的成本分别是5元和4元 (2)按甲方案绿化的道路总长度为500米时，所需工程的总成本最少，总成本最少是36000元 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，在解题时要注意根据题目中的数量关系列出不等式是解题的关键． （1）本题需根据题意设型花和型花每枝的成本分别是元和元，根据题意列出方程组，即可求出型花和型花每枝的成本． （2）本题需先根据题意设按甲方案绿化的道路总长度为米，根据题意列出不等式，解出结果；再求出工程的总成本即可得出答案． 【详解】（1）解：设型花和型花每枝的成本分别是元和元，根据题意得： 解得： 所以型花和型花每枝的成本分别是5元和4元． （2）解：设按甲方案绿化的道路总长度为米，所需工程的总成本是w元， 根据题意得： 解得 则所需工程的总成本是 当按甲方案绿化的道路总长度为500米时，所需工程的总成本最少 （元 当按甲方案绿化的道路总长度为500米时，所需工程的总成本最少，总成本最少是36000元． 【经典例题五 一次函数应用之分段函数问题】 【例5】（23-24七年级下·四川成都·期中）某电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法计算电费；第一档：每月用电不超过180度时，按每度0.5元计费；第二档：每月用电超过180度但不足280度时，其中超过部分按每度0.6元计费；第三档：280度以上时，超出部分按每度0.8元计费． (1)若李明家1月份用电140度应交电费______元，2月份用电250度应交电费______元． (2)若设某月用电量为x度，应交电费为y元，请求出y与x的关系式．并利用关系式求某月交电费120元时的用电量． 【答案】(1)，． (2)；度． 【分析】此题考查的是函数的应用，掌握实际问题的等量关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． （1）根据题意，列出算式，即可求出结论； （2）根据题意，对x分类讨论，即可求出y与x的关系式，然后将代入到各个关系式中，求出满足对应范围的x的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴（元）， ∵， ∴（元）， 即李明家1月份用电度应交电费元，2月份用电度应交电费元， 故答案为：，． （2）根据题意得： 当时，， 当时， ， 当时，电费为：， 则y关于x的函数关系式为． 把代入，可得，故不符合x对应的取值范围，舍去； 把代入，可得，故符合x对应的取值范围； 把代入，可得，故不符合x对应的取值范围，舍去． 即某月交电费120元时的用电量为度． 1．（23-24七年级下·广东茂名·期末）某市为了节约用水，采用分段收费标准．若某户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系的图象如图，根据图象回答： (1)该市自来水收费时，若使用不足吨，则每吨收费多少元？超过吨部分每吨收费多少元？ (2)写出每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系式． (3)若某户居民每月用水吨，应交水费多少元？若某月交水费元，该户居民用水多少吨？ 【答案】(1)若使用不足吨，则每吨收费元，超过吨部分每吨收费元； (2) (3)每月用水吨，应交水费元；若某月交水费元，该户居民用水吨． 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是数形结合． （1）根据图象列式计算即可； （2）分为两种情况：当时，当时，结合图象即可求解； （3）根据（2）中的解析式计算即可． 【详解】（1）解：使用不足吨：（元）， 超过吨部分每吨收费：（元）， 若使用不足吨，则每吨收费元，超过吨部分每吨收费元； （2）解：当时，， 当时，， ； （3）解：， 每月用水吨，应交水费：（元）； ， 用水量超过吨， ， 解得：， 若某月交水费元，该户居民用水吨． 2．（2024·浙江衢州·一模）我市“一户一表、抄表到户”居民生活用水实行阶梯水价，三级收费标准如下表，每户每年应缴水费（元）与用水量关系如图． 分类 用水量 单价（元/） 第1级 不超过300 第2级 超过300不超过480的部分 第3级 超过480的部分 根据图表信息，解答下列问题： (1)小南家2022年用水量为，共缴水费1168元．求，及线段的函数表达式． (2)小南家2023年用水量增加，共缴水费元，求2023年小南家用水量． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）根据函数图象即可求出a的值，进而求出k的值，再求出点B的坐标，即可利用待定系数法求出对应的函数解析式； （2）先推出，进而根据共缴水费元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由图表可知：， ∴； ∴当用水量为时，每年应缴水费为元 ∴ 设，把，代入，得 ， 解得 ∴线段的函数表达式为． （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． ∴2023年小南家用水量为． 3．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）为了节约水资源，自来水公司按分段收费标准收费，如图所示反映的是每月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数图象． (1)若某月用水8吨，则收费标准按每吨______元收费； (2)若某月用水吨，需交水费______元； (3)小亮家三、四月份分别交水费元和元，则四月份比三月份节约用水多少吨？ 【答案】(1)2 (2)38 (3)四月份比三月份节约用水3吨 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，（1）当时，用吨的水费即可得； （2）当时，设y与x的函数关系式为，将点，代入求得解析式，再把代入求解即可； （3）由（1）可得，当时，y与x的函数关系式为，将代入求得三月份用水12吨，再利用待定系数法求得当时，y与x的函数关系式为，将代入求得四月份用水9吨，再作差求解即可． 【详解】（1）解：当时，（元）， 即某月用水8吨时，则收费标准按每吨2元， 故答案为：2； （2）解：当时，设y与x的函数关系式为， 将点、代入得， ， 解得， ∴y与x的函数关系式为， 将代入得，， 即某月用水吨，需交水费元， 故答案为：38； （3）解：由（1）得，当时，y与x的函数关系式为， 当时，，将代入得， ， 解得， 则三月份用水12吨， 当时，设y与x的函数关系式为， 把代入得，， 解得， ∴当时，y与x的函数关系式为， 当时，，将代入得， ， ， 则四月份用水9吨， ∵（吨）， 即四月份比三月份节约用水3吨． 4．（22-23八年级下·云南昆明·期末）某县今年遇旱灾，为了倡导居民节约用水，生活用水按阶梯式水价计费，如图是某户居民每月的水费（元）与所用的水量（吨）之间的函数图像，请根据图像所提供的信息，解答下列问题： (1)当用水量不超过10吨时，每吨水收费多少元？ (2)当用水量超过10吨且不超过30吨时，求与之间的函数关系式； (3)某户居民三、四月份水费共70元，四月份用水比三月份多4吨，求这户居民三月份用水多少吨？ 【答案】(1)每吨水费为元 (2) (3)这户居民三月份用水13吨 【分析】本题主要考查了函数图像、求一次函数解析式以及一元一次方程的应用，理解题意，通过函数图像获得所需信息是解题关键． （1）根据函数图像可得当时，水费是20元，即可求出每吨水的费用； （2）当时，设，利用待定系数法求解即可； （3）设居民三月份用水吨，则四月份用水吨，首先令，计算两个月水费为（元）元，易得，然后建立关于的一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：如图，当时，水费是20元， 则每吨水费为元； （2）当时，设， 将和代入， 可得， 解得， ∴当用水量超过10吨且不超过30吨时，与之间的函数关系式； （3）设居民三月份用水吨，则四月份用水吨， 当时，水费：（元）元， 故，则水费：， 解得． 答：这户居民三月份用水13吨． 【经典例题六 一次函数应用之几何问题】 【例6】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． (1)求点A、B的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求m的值． 【答案】(1)； (2) (3)2或6 【分析】（1）由一次函数图象与性质，令或，解方程即可得到答案； （2）根据题意得到点的纵坐标，代值求解即可得到答案； （3）根据点C的横坐标求出纵坐标，得到和面积，从而得到，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，，则； 当时，，，则． （2）解：当时，，则， ∴． （3）解：∵点C的横坐标为m， ∴点C的纵坐标为， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得或2． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及一次函数图象与性质、求直线与坐标轴的交点、平面直角坐标系中三角形面积的求法、解绝对值方程及解一元一次方程等知识，熟练掌握一次函数图象与性质是解题的关键． 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，直线的函数表达式为，与轴交于点，直线经过点和点，且直线交于点． (1)求点，点的坐标． (2)点是轴上的一个动点，求的最小值． (3)点分别是直线上的两点，且不与点重合．当时，直接写出每一组点和点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点和点的坐标分别为或或或 【分析】（1）在中，令，即可得点的坐标，由待定系数法可求得直线的解析式，联立即可得点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，结合两点之间线段最短可得此时最小，最小，求出即可得答案； （3）证明为直角三角形，，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线的函数表达式为，与轴交于点， 令，可得， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线经过点和点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， ∴，， ∴，此时最小，最小， ∵点的坐标为，，， ∴，， ∴的最小值为； （3）解：∵点的坐标为，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，， 点分别是直线上的两点，且不与点重合， 设，， 当时，，， ∴，， 解得或，或， ∴点和点的坐标分别为或或或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组，一次函数与几何图形的变换（轴对称最短路径）综合，全等三角形的性质，两点之间距离的计算方法，掌握待定系数法求解析式，解二元一次方程求直线交点，对称轴与线段最短的计算，全等三角形的性质等综合运用，数形结合分析思想是解题的关键． 2．（24-25八年级上·河南·期中）小明在学习一次函数后，对形如（其中k，m，n为常数，且）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下： 如图所示，小明分别画出了函数，，的图象． 【深入探究】 （1）通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是__________； 【得到性质】 （2）函数（其中k、m、n为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是__________； 【实践运用】 （3）已知一次函数（k为常数，且）的图象一定过点N，且与y轴相交于点A，若的面积为5，求k的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键． （1）观察图象即可得到结论； （2）根据（2）的规律即可求得一定会经过的点的坐标； （3）求得定点坐标与y轴的交点A，然后利用三角形面积即可得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是； 故答案为：； （2）函数（其中为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是； 故答案为：； （3）∵一次函数（为常数，且）的图象一定过点， ∴， ∵与y轴相交于点A， ∴， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴或． 3．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②当为等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①；②t的值为，，， 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）将点代入，求出的值，再代入中求出即可； （2）①利用面积公式列出方程进行求解即可； ②三种情况：当时；当时；当时；分别求出的值即可． 【详解】（1）解：在中，当时，； 当时，； ∴； ∵点在直线上， ， 又∵点也在直线上， ， 解得：； （2）解：①在中，当时，， ， ， ， ， ， 设，则，过C作于E，如图1所示： 则， ∵的面积为10， ， 解得：； ②存在，理由如下： 过作于，如图1所示： 则， ， ； 当时，， ， ； 当时，如图2所示： 则， ， 或； 当时，如图3所示： 设，则， ， 解得：， ∴与重合，， ， ； 综上，的值为或或或． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴y轴分别交于点A，B，点D在y轴的负半轴上．若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点C处． (1)求的长； (2)求点C和点D的坐标； (3)在y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)， (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质，勾股定理，三角形面积公式等知识，依据勾股定理列出方程是解题的关键． （1）先求得点和点的坐标，则可得到，的长，然后依据勾股定理可求得的长； （2）依据翻折的性质可得到的长，于是可求得的长，从而可得到点的坐标；设，则，在中，依据勾股定理可求得的值，从而可得到点的坐标； （3）先求得的值，然后依据三角形的面积公式可求得的长，从而可得到点的坐标． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点、点， 令，则， ， ， 令，则， 解得， ， ， 在中，； （2）解：， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ； （3）解：， ， 点在轴上，， ， 即， 解得， 点点上方或点下方， 点的坐标为或． 【经典例题七 一次函数应用之体积问题】 【例7】（23-24八年级上·江苏连云港·期末）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系；（以上两空选填“甲”或“乙”） (2)点的纵坐标表示的实际意义是 ； (3)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？ (4)若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积． 【答案】(1)乙，甲； (2)乙槽中铁块的高度为14厘米； (3)注水2分钟； (4)84立方厘米． 【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题．解题时注意应用一次函数的性质，理解图象的实际意义． （1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，相应的线段表示表示的意义可求； （2）点B表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平； （3）分别求出两个水槽中y与x的函数关系式，令y相等即可得到水位相等的时间； （4）用水槽的体积减去水槽中水的体积即可得到铁块的体积． 【详解】（1）图2中折线表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系． 故答案为：乙，甲； （2）由图象可知，水面上升到与铁块上面重合后，水面上升的速度发生变化，故到点B的纵坐标表示的实际意义是乙槽中铁块的高度为14厘米． 故答案为：乙槽中铁块的高度为14厘米； （3）设线段、的解析式分别为：， ， ∵经过点和，DE经过和 ，解得， ，解得， ∴解析式为，解析式为， 令， 解得， ∴注水2分钟时，甲、乙两个水槽中水的深度相同； （4）若乙槽中没有铁块，则乙槽水位上升高度为厘米， ∴乙槽中铁块体积为立方厘米． 1．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图2．根据图像提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示______________槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示_____________槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空填“甲”或“乙”），槽中铁块的高度是______________； (2)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同； (3)若乙槽底面积为（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积． 【答案】(1)乙、甲、14 (2) (3) 【分析】（1）根据图像分析可知水深减少的图像为甲槽的，水深增加的为乙槽的，并水深14cm之后增加的变慢，即可得到铁块的高度； （2）分别求出两个水槽中y与x的函数关系式，令y相等即可得到水位相等的时间； （3）用水槽的体积减去水槽中水的体积即可得到铁块的体积． 【详解】（1）解：折线表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系，槽中铁块的高度是， 故答案为：乙；甲；14； （2）设线段的解析式分别为， 经过点和，经过点和，    ，    ， 解得，             ， 线段的解析式分别为和， 令，解得， 当注水时，甲、乙两个水槽中水的深度相同； （3）由图像知：当水槽中水面没有没过铁块时，水面上升了，即上升； 当水面没过铁块时，上升了，即上升， 设铁块的底面积为，则乙槽中不放铁块时水增加的体积为， 放了铁块时水增加的体积为， ，解得， ∴铁块的体积． 【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题，正确分析函数图像中的信息是解题的关键． 2．（2023·河南南阳·二模）为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，避免造成水资源浪费．课外实践活动中，王老师安排数学兴趣小组“慎思组”和“博学组”两组同学分别做水龙头漏水试验，“慎思组”同学用于接水的量筒最大容量为毫升，“博学组”同学用于接水的量筒最大容量为毫升． 试验一：“慎思组”同学在做水龙头漏水试验时，每隔10秒观察一次量筒中水的体积，记录的数据如下表(漏出的水量精确到1毫升)： 时间(秒) 10 20 30 40 50 60 70 漏出的水量(毫升) 2 5 8 11 14 17 20 根据以上信息，请你与他们一起完成以下问题： (1)在图①的平面直角坐标系中描出上表中数据对应的点，画出与的图象，并判断是的什么函数，且求出此函数关系式．    (2)如果继续试验，请求出至少几秒后量筒中的水会满而溢出． (3)按此漏水速度，1小时会漏水___________升(精确到升)． 试验二：“博学组”同学根据自己的试验数据画出的图象如图②所示， (4)为什么图象中会出现与横轴“平行”的部分？请说出你的理由．    【答案】(1)图见解析，一次函数， (2)秒 (3) (4)因为“博学组”接水的量筒40秒后装满就溢出了 【分析】（1）根据图中的数据直接在坐标系中描出各点即可．根据图象可知是的一次函数，先设出y与x的函数关系式为，根据表中数据，得出，求出y与x的函数关系式； （2），再根据题意可得不等式，从而可求可求出多少秒后，量筒中的水会满面开始溢出． （3）根据（1）中的函数关系式，把秒代入即可求出答案． （4）根据“博学组”接水的量筒装满后开始溢出，量筒内的水不再发生变化，即可得出图象中会出现与横轴“平行”的部分的原因． 【详解】（1）解：（1）图像如图①所示．是的一次函数．    设与之间的函数表达式为()， 由题意得，解得 ∴ （2）令， 解得： 答：至少670秒后，量筒中的水会满而溢出． （3）当时，(毫升) 毫升升升 故答案为：1.1 （4）∵“博学组”接水的量筒筒40秒后装满后开始溢出，量筒内的水位不再发生变化， ∴图象中会出现与横轴“平行”的部分． 【点睛】本题考查一次函数的应用，正确作图和数据分析是解题的关键． 3．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，为一深，底面为正方形的长方体的容器，底部放入一小长方体铁块，现在以均匀的速度往容器中注水，图2是容器内水面高度随时间改变的函数关系图象，观察图中所提供的信息，解答下列问题： (1)容器内小长方体铁块的高为多少? (2)求直线的函数关系式； (3)该容器注满水需多少分钟？ (4)求长方体铁块的体积与容器的容积之比是多少？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据函数关系图象的得出时，，即可得出小长方体铁块的高； （2）根据已知图象得出，两点坐标，，，代入即可得出答案； （3）根据3分钟后水面上升速度为，进而得出容器注满水所需时间． （4）设每分钟的注水量为，根前3分钟和后6分钟的高度变化，算出下底面中未被长方体覆盖部分的面积和容器的底面积，从而得到长方体铁块与容器的底面积之比，结合各自的高算出体积之比． 【详解】（1）解：函数关系图象的得出时，， 3分钟后图象发生变化也就是水面超过小长方体， 容器内小长方体铁块的高为：； （2）根据已知图象得出，两点坐标， ，，代入， ，解得：， ； （3）根据3分钟后水面上升速度为， ， 容器注满水所需时间为：min． （4）设每分钟的注水量为． 则下底面中未被长方体铁块覆盖部分的面积是：， 容器的底面积为：． 二者比为， 小长方体底面积：容器底面积． 小长方体体积：容器体积． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用以及利用图象获取正确信息，难度中等，利用已知图象得出正确信息是考查重点，需牢固掌握，解答时计算长方体的体积与容器的体积的比是难点． 【经典例题八 一次函数应用之新定义问题】 【例8】（24-25八年级上·山东济南·期中）阅读理解： 材料一：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若且，则称点是线段的“完美等距点”． 材料二：在平面直角坐标系中，我们通常用下面的公式求两点间的距离，如果，，那么． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知3个点：，则这三点中，线段的“等距点”是________，线段的“完美等距点”是________； (2)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”？若存在，请直接写出所有符合的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)和； (2)或 (3)或 【分析】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，灵活应用两点之间的距离公式和勾股定理是解题的关键． （1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到O，A的距离，根据等距点和完美等距点做出判断； （2）设出H点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论； （3）假定存在，设出N点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论， 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴B为等距点． ∵，， ∴， ∴C为等距点． ∵，， ∴， ∴D不为等距点． ∵， ∴，，，， ∴C为完美等距点， 故答案为：B和C；C； （2）在上， ， ， ， ， 或， 设的坐标为， 或， ，， 或， 解得：或． 的坐标为或； （3）因为是的等距点，设点的坐标为， ， 为线段的“完美等距点”， ， 为等腰直角三角形， ①如图1， ， ， ，，， ， 则，， ， 解得：， 当时，      点的坐标为                               ②， ， ，，， ，    则，， ， 解得：， 当时，，                                                                 点的坐标为， 点的坐标为或． 1．（2023·江苏徐州·模拟预测）阅读理解：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知3个点：则线段的“等距点”是______，线段的“完美等距点”是______； (2)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”且为线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标． 【答案】(1)和； (2)点的坐标为或； (3)点P的坐标为或． 【分析】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，灵活应用两点之间的距离公式和勾股定理是解题的关键． （1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到，的距离，根据等距点和完美等距点做出判断； （2）设出点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论； （3）假定存在，设出点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论． 【详解】（1）解：，， ， 为等距点． ，， ， 为等距点． ，， ， 不为等距点． ， ，，，， 为完美等距点， 故答案：和；； （2）解：在上， ， ， ， ， 或． 设的坐标为， 或， ，， 或， 解得：或． 的坐标为或； （3）解：设点的坐标为， ， ，， 点是线段的“等距点”， ， ， 解得：， 为线段的“完美等距点”， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， 解得：或， 当时，， 当时，， 点的坐标为或． 2．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，若函数图象上的点满足（其中，a为常数），则称点P为函数图象的“a级和点”． (1)若点为正比例函数图象的“4级和点”，求的值； (2)若时，直线上有“a级和点”，则k的取值范围______． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查正比例函数，解一元二次方程，一次函数的性质，理解“级和点”的定义，满足“级和点”的点都在直线上是解题的关键． （1）根据新定义，可得方程，求出的值，然后确定或，即可求解； （2）根据题意得，当时，；当时，，直线恒过点，作出函数图象，结合图象分析即可得到答案． 【详解】（1）解：点为正比例函数图象的“4级和点”， ∴， 解得或， ∴或， 当时，，，； 当时，，，； ∴的值为或； （2）解：设直线上有“a级和点”为， ∴，即， 当时，；当时，，如图所示函数图象： ， 当时，， ∴直线恒过点， 当直线与直线以及y轴所围成的区域有交点时，符合题意； 当直线过时，， 当直线与直线平行时， ∴ 3．（23-24八年级上·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，若点满足，那么称点是点的三分点． 例如：，当点满足时，则点是点的三分点．    (1)已知点，话说明其中一个点是另外两个点的三分点． (2)已知点，点，点． ①当时，点，点，点其中一个点是另外两个点的三分点，求点的坐标． ②若点是点的三分点，直线交轴于点．当为直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)点是点，点的三分点； (2)①点的坐标为或或；②点的坐标为或． 【分析】本题考查了直角三角形的性质一次函数的性质，新定义，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据新定义三分点列式计算即可得到结论； （2）①根据新定义三分点列方程即可得到结论 ②分三种情况讨论，当、和时，分别求解即可得到结论． 【详解】（1）解：，， 点是点，点的三分点； （2）解：①当时，，点，点， 当是点，点的三分点时， ， 点的坐标为； 当点是和点的三分点时， ， 解得， 点的坐标为； 当点是和点的三分点时， ， 解得， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或； ②由题意得：，， 当时，如图1所示，    点，，点， 由点是点，的三分点得： ， 解得：，即点的坐标为； 当时，如图2所示，    点，，点， 由点是点，的三分点得： ， 解得：，即点的坐标为； 当时， 由于不与x轴不平行，故不可能是； 故点的坐标为或． 4．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）定义：对于一次函数（、为常数，）如果当时，，且满足（为常数）那么称此函数为“级函数”．如：正比例函数，当时，，则，求得，所以函数为“3级函数”． (1)如果一次函数为“级函数”，那么的值是______； (2)如果一次函数为“5级函数”， ①求的值； ②求此一次函数的图像与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)2 (2)①或；② 【分析】（1）根据“级函数”的定义求解即可； （2）①分和两种情况，根据“级函数”的定义建立关于的一元一次方程并求解，即可获得答案；②分和两种情况，分别求得该一次函数图像与坐标轴交点，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，， 当时，， 则有，解得， ∴一次函数为“2级函数”，即的值是2． 故答案为：2； （2）①对于一次函数， 当时，， 当时，， 若，则随的增大而增大， 即当时，可有， 则有， 解得； 若，则随的增大而减小， 即当时，可有， 则有， 解得． 综上所述，或； ②当时，如下图，该一次函数为， 令时，可有，即。 当时，可有，解得，即 ∴，， ∴； 当时，如下图，该一次函数为， 令时，可有，即 当时，可有，解得，即， ∴，， ∴． 综上所述，此一次函数的图像与两坐标轴围成的三角形的面积为． 【点睛】本题主要考查了新定义“级函数”、一次函数的图像与性质、一次函数图像与坐标轴交点问题、坐标与图形、解一元一次方程等知识，正确理解新定义“级函数”是解题关键． 【经典例题九 一次函数应用之存在性问题】 【例9】（24-25九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图，已知点是正方形的一个顶点，E是的中点，点P是直线上一点． (1)求点E的坐标和直线的解析式； (2)若的面积为21，求此时P点坐标； (3)若点P是直线在第一象限的一个动点，连接，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点E的坐标为，直线的解析式为 (2)或 (3)或或 【分析】本题考查题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、以及勾股定理，掌握待定系数法是解题的关键． （1）先根据正方形的性质求出点E和C的坐标，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点P的坐标为，利用列方程解题； （3）设点P的坐标为，分为，和三种情况，利用勾股定理计算即可解题． 【详解】（1）解：∵点是正方形的一个顶点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， （2）解：设点P的坐标为， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； ∴点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 当时，，解得：，， ∴点P的坐标为或（舍去）； 当时，，即，解得， ∴点P的坐标为； 当时，解得：（舍去）或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 1．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为．求： (1)求正比例函数与一次函数的关系式； (2)在x轴上是否存在一点M使周长最小，若存在，求出点M的坐标； (3)在x轴上求一点Q使为等腰三角形，请求出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，坐标与轴对称，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，求出的解析式，进而求出点的坐标即可； （3）分三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，直线过点，， ∴，解得：， ； ∵过， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵，且为定值， ∴当最小时，的周长最小， 作作点关于轴的对称点，连接，则，， ∴当三点共线时，的值最小为的长， 同（1）可得：直线的解析式为：， ∴当时，， ∴． （3）∵， ∴， 设，则：，， 当为等腰三角形时， ①，则：， ∴， ∴； ②当时，，解得：， ∴； ③当时，， ， ∴， ∴（舍去）或， ∴； 综上：或或． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，动点P从点A出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿线段向点运动，当Q点到达点B时，点P也停止运动．连接线段，设点P运动的时间为t秒． (1)经过时，写出此时点P的坐标 ，点Q的坐标 ． (2)当线段时，求此时点P运动的时间t． (3)点M为线段中点，在点P、Q运动过程中，以点P、Q、M三点组成的三角形为等腰三角形时，求所有满足要求的t的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】本题考查了一次函数的应用，等腰三角形的分类标准，勾股定理，熟练掌握两点间距离公式是解题的关键． （1）根据题意，，当时，，直线与坐标轴交于两点，得到，继而得解． （2）根据题意，，得到，，，利用 得到方程，再解方程即可即可． （3）根据点为线段中点，得到，再由得到，，，再分当时，当时，当时三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，当时，， ∵直线与坐标轴交于两点， 当时，； 当时，； ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意，， ∵， ∴， ∴，， ∵线段，， ∴，即； 解得， ∴； （3）解： ∵，点为线段中点， ∴， 由（2）得：， ∴， ， 当时，则， 故， 整理得， 解得(舍去)； 当时，则， 故， 整理得， 解得； 当时，则， 故， 整理得， 解得； 综上所述：或或或或． 3．（22-23八年级下·重庆璧山·期中）如图，直线经过点和两点，将沿直线对折使点和点重合，直线与轴交于点与交于点，点的纵坐标为2，连接． (1)求直线的解析式； (2)若点在轴的负半轴上，且的面积为10，求的周长； (3)已知轴上有一点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)，的周长为； (3)点P的坐标为或或或． 【分析】（1）根据给出的A、B两点坐标，代入表达式，即可求出的解析式； （2）根据可以得出的面积和的面积相等，然后过D作轴，可以求出的长，然后得到的长，通过勾股定理，可以得到的长，即可得到 的周长； （3）以B点为圆心，长为半径作圆，交y轴于两点，以C点为圆心，长为半径作圆，交y轴于点在y轴上找一点使求出P点的坐标． 本题考查了求一次函数解析式的方法，一次函数的应用，通过折叠求出对应边相等，然后通过勾股定理来求对应的边长，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：将点和代入中，得： 解得：， ∴的解析式为：； （2）解：∵将沿直线对折使点A和点B 重合， ∴，， 设，则， 在中， ∴， ∴， ∵， ， ∵点D的纵坐标为2， 过D作轴交x轴于点M，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ； （3）解：以B点为圆心，长为半径作圆，交y轴于两点，以C点为圆心，长为半径作圆，交y轴于点在y轴上找一点使如图： ， ， 在中， 设则 在中， ∴P点坐标为 ． 4．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是的上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处．求： (1)求A、B两点坐标； (2)求M坐标； (3)在x轴上找一点P，使得以点P、M、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点P的坐标； (4)在x轴上找一点N，且N点在A点的右侧，使得，请直接写出N点坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或． (4) 【分析】本题属于一次函数的综合题，主要待定系数法求函数解析式、勾股定理的折叠问题、等腰三角形的性质和判定等知识点，将图形与数学知识相结合是解题的关键． （1）令可求得得A点坐标；令，得B点坐标； （2）由勾股定理可得线段，由折叠的性质可知，，进而得到，设，则，在中，由勾股定理可得m值，即可确定点M坐标； （3）由勾股定理可得，然后分三种情况分别画出图形并运用等腰三角形的定义和勾股定理求解即可； （4）如图：作，作垂足为K，根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及已知条件可得；设，则、、，然后运用勾股定理列方程求得x，进而求得的长即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴令，则；令，则, ． （2）解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：，解得：， ∴． （3）解：由（2）知，可得， ①以点M为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， ∴， ∴； ②以点为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， ∴或1， ∴或； ③如图：作线段的垂直平分线交x轴于一点P，此时， 设，则， 根据勾股定理得，解得∶， ∴． 综合上述，点P的坐标为或或或． （4）解：如图：作，作垂足为K， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：或（不合题意舍弃）， ∴， ∴． 【经典例题十 一次函数应用之动点问题】 【例10】（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且满足：．    (1)求的值； (2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了非负数的性质，一次函数的几何应用： （1）利用非负数的性质可得，即可求解； （2）先证明，得出，，设，点的坐标为，可求出直线的函数表达式，即可． 【详解】（1）解：． 且， 解得：， 即点的坐标分别为， ∴， ； （2）解：如图所示，过点作轴于．   为等腰直角三角形， ，， ， ， 在中，， ， 在和中： ， ， ，， 设， ， ， 点的坐标为， 设直线的函数表达式为，由题意得： ， 解得：，， 直线的函数表达式为， 当时，， 与轴的交点坐标为， 即点． 1．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，直线与坐标轴分别交于A、B两点，，点在直线上，动点P从O点出友，沿X轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动． (1)A点的坐标为_______；B点的坐标为________； (2)直线的函数解析式； (3)设点P的运动时间为t秒，的面积为S，求S与t之间的函数关系式：并求出当时点P的坐标． (4)x轴正半轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， (4)存在，，， 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据，结合点的位置，直接写出点的坐标即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据的面积，列出函数解析式，再求出时，的值，进而求出点P的坐标即可； （4）先求出点坐标，进而求出的长，设，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与坐标轴分别交于A、B两点，， ∴； （2）把代入，得： ，解的：， ∴； （3）由题意，得：， 当时，点在线段上， ∴， ∴的面积为， 当时，，解得：， ∴， ∴． （4）∵，把，代入，得：， ∴， ∴， 设， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①，则：； ②当时，则：，解得：， ∴， ∴； ③当时，过点作轴，则：， ∴； 综上：，，． 2．（24-25七年级上·云南昆明·期中）如图， 一次函数 的图象经过点 ， 交y轴于点B， 交x轴于点 C． (1)求点 B、C的坐标； (2)在x轴上一动点P， 使最小时，求点 P的坐标； (3)在条件 （2） 下， 求 的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，根据轴对称求线段和最小，一次函数与几何图形， 对于（1），将点A的坐标代入关系式，再令，，即可求出点B，C的坐标； 对于（2），作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，根据两点之间线段最短得出最小，再根据待定系数法求出直线解析式，即可得出答案； 对于（3），根据两个三角形的面积差计算即可． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的关系式为． 当时，， ∴点； 当时，， ∴点； （2）解：如图所示，作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点，根据两点之间线段最短得出最小． ∴点． 设直线的关系式为，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：如图所示． ． 3．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，一次函数的图象与x轴、y轴正半轴分别相交于E，F两点，其中点P是直线上的一个动点，点关于y轴的对称点恰好落在该函数图像上． (1)求k的值； (2)若的面积为15，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，关于y轴的对称点的特征； （1）先根据对称确定出点关于y轴的对称点，再代入点即可求出的值； （2）确定直线的关系式，若的面积为15，以为底，因此高为，即点的纵坐标为或，然后代入直线的关系式求出点的坐标． 【详解】（1）∵点关于y轴的对称点恰好落在函数的图像上， ∴， 解得 （2）由可得一次函数解析式为， 令，解得， ∴， ∴， 设， ， ，即或， 是直线上的一个动点， 当时，即，解得：， ， 当时，即，解得：， ， 综上，点的坐标为或． 4．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：． (1)求的面积； (2)如图1，为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，，连接，求直线与轴交点的坐标； (3)如图2，点为轴正半轴上一点，且，，平分，点是射线上一动点，点是线段上一动点，试求的最小值（图1与图2中点坐标相同）． 【答案】(1)18 (2) (3) 【分析】（1）根据非负数的性质求得A，B的坐标，再根据三角形的面积公式即可求解； （2）过点E作轴于G，证明得出，设，则，得出E点的坐标为，求得的解析式为，令，即可求得点F的坐标； （3）如图：过点O作于G，交于M，作于N，连接．根据角平分线的性质定理可得，即，进而得到当O、M、G三点共线且时，的值最小，且最小值为；再根据勾股定理求得，最后运用等面积法求得的长即可 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点E作轴于G， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴E点的坐标为， ∵， 设直线的解析式为：， 代入点A和点E的坐标得： ，解得：， ∴的解析式为， ∴当时，， ∴与y轴的交点F坐标为； （3）解：如图：过点O作于G，交于M，作于N，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∴当O、M、G三点共线且时，的值最小，且最小值为， ∵，， ∴， ∴，即，解得：， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用、非负数的性质，三角形面积公式、全等三角形的判断和性质、角平分线的性质、勾股定理等知识点，正确寻找全等三角形解决问题是解本题的关键． 【经典例题十一 一次函数应用之最值问题】 【例11】（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，动点P从原点O出发在x轴上运动． (1)P点运动到什么位置时离A点最近？写出P点的坐标． (2)P点运动到什么位置时，的值最小，最小值是多少？ (3)P点运动到什么位置时，的值最大，最大值是多少？ 【答案】(1)P点运动到时距离A点最近 (2)见解析， (3)见解析， 【分析】本题考查了垂线段的性质、坐标与图形—轴对称变换、勾股定理、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据垂线段的性质即可得出答案； （2）作B点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时最小，则，过A作x轴的垂线，过作x轴的平行线，交点为点C，则，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）连接并延长，交x轴于点，则当P在点位置时最大，待定系数法求出直线解析式，得出，最后再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由垂线段最短可得：P点运动到时距离A点最近； （2）解：作B点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时最小， ， 过A作x轴的垂线，过作x轴的平行线，交点为点C ，， 最小值为， （3）解：连接并延长，交x轴于点， ， ∵三角形任意两之差小于第三边， ∴当P在点位置时最大， 设直线的函数关系式为：， ，， ， ， ， 当时，，解得， ， ， 最大值为． 1．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）A、B两个蔬菜基地要向C、D两城市运送蔬菜，已知基地有蔬菜200吨，基地有蔬菜300吨，城市需要蔬菜240吨，城市需要蔬菜260吨．从基地运往C、D两城市的费用分别为每吨20元和每吨25元，从基地运往C、D两城市的费用分别为每吨15元和每吨18元，设从基地运往城市的蔬菜为吨，A、B两个蔬菜基地的总运费为元． (1)求与之间的函数解析式，并写出的取值范围； (2)写出总运费最小时的运送方案，并求出此时的总运费； (3)如果从基地运往城市的费用每吨减少元且，其余线路的运费不变，请直接写出总运费最小时的运送方案． 【答案】(1)， (2)A往C运200吨，不往D运，B往C运40吨，往D运260吨，此时总运费最小为9280元 (3)当时，A往C运200吨，不往D运，B往C运40吨，往D运260吨，此时总运费最小；当时，A不往C运，往D运200吨，B往C运240吨，往D运60吨，此时总运费最小 【分析】此题考查一次函数的应用，解题关键在于根据题意列出w与x之间的函数关系式，并注意分类讨论思想的应用． （1）根据调运总费用等于四种调运单价乘以对应的吨数的积的和，得w与x的函数关系； （2）根据一次函数的性质解答即可； （3）由题意可得w与x的关系式，根据x的取值范围不同而有不同的解，分情况讨论：当时，当时，根据一次函数的性质即可解决． 【详解】（1）解：由题意可得， 化简可得，其中； （2）w随x增大而增大，故当时，总运费最小为9280元，此时A往C运200吨，不往D运，B往C运40吨，往D运260吨； （3）此时w与x之间的函数关系变为， 当时，w随x增大而增大，仍当时w最小，此时维持原调运方案不变； 当时，w随x增大而减小，当时w最小，此时应让A不往C运，往D运200吨，B往C运240吨，往D运60吨． 2．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的，写出的坐标______； (2)计算：的面积是______； (3)若点为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点的坐标______． 【答案】(1)图见解析， (2)6 (3) 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、轴对称—最短路线问题、求一次函数的解析式，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案； （2）利用割补法计算三角形面积即可； （3）连接交轴于点，连接，此时满足的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，令，则，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为， ， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：连接交轴于点，连接，此时满足的值最小， 设直线的解析式为：， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， 令，则， 点的坐标为， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·广西崇左·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴、轴分别交于、两点， 以 为边在第二象限内作正方形 ． (1)直接写出：点的坐标为 ，点的坐标为 ，点的坐标为 ，点 的坐标为 ； (2)能否在轴上找一点 ，使得 的长最小？若能，请求出 点的坐标；若不能，说明理由． 【答案】(1)，，， (2)能，点的坐标为 【分析】（1）令及可以求出，点的坐标，要求点，的坐标首先需要证，证出，即可求出的坐标，同理可以求出点的坐标； （2）先作出关于x轴的对称点，连接，与轴交点就是符合条件的点，求出的坐标，进而求出直线，再求出与轴交点即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴的坐标， 当时， ， ∴的坐标， 如图所示，过点作轴于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵轴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴D的坐标为， 同理可得C的坐标为； 故答案为：，，，． （2）点关于轴对称的点为 直线与轴的交点就是能使的长最小的点 设直线的函数解析式为 直线的函数解析式为 把代入得 点的坐标为 【点睛】本题主要查了一次函数综合题，全等三角形的性质及判定，坐标与图形，轴对称的性质求线段的最值问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【经典例题十二 一次函数应用之其他问题】 【例12】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）综合与实践 《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】 （1）①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点． ②观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写） 【结论应用】 （2）应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）． 【答案】（1）①图见解析，②一次函数，；（2）①供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米，②当箭尺读数为厘米时是点钟． 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值，掌握相关知识是解题的关键． （1）①在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可； ②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，是一次函数，设这条直线所对应的函数表达式为，利用待定系数法即可求解； （2）①利用前面求得的函数表达式求出时，的值即可得出箭尺的读数； ②利用前面求得的函数表达式求出时，的值，由本次实验记录的开始时间是上午，即可求解． 【详解】解：（1）①根据题意，建立平面直角坐标系描点，如图， ②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，是一次函数， 设这条直线所对应的函数表达式为：，把点，代入得： ， 解得：， ∴一次函数表达式为：， 故答案为：一次函数，； （2）当时，， ∴供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米； 当时，则， 解得：， ∴供水时间为15小时， ∵本次实验记录的开始时间是上午8：00， ， ∴当箭尺读数为厘米时是点钟． 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位是时间的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … 0 2 4 6 8 … 2 2.8 3.6 4.0 5.2 … (1)在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表h，t的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第___________次数据是不准确的． (2)当记录时间为20分钟时，漏刻水位是多少？ (3)求与的函数关系式，并计算当水位为时，对应时间是多少？ 【答案】(1)（4） (2)当记录时间为20分钟时，漏刻水位是 (3)即当水位为时，对应时间是 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加，据此可知是错误的值； （2）由（1）知时间每增加2分钟，h增加，列式计算即可解答； （3）设水位与时间的一次函数关系式为，再用待定系数法求解析式，然后把代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加， 当时，对应 ∴第（4）次数据是不准确的； （2）解：由（1）知时间每增加2分钟，h增加， 当时，则， 即当记录时间为20分钟时，漏刻水位是； （3）解：设水位与时间的一次函数关系式为， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， 解得． 即当水位为时，对应时间是． 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）综合与实践 问题情境：在物理学中有很多公式可以直接或者间接看成一次函数，例如，在弹性限度内，弹簧的长度随着拉力的增大而不断地增加，当弹簧所受的外力过大时，会损坏它的弹性，使得弹簧被拉到最长且无法复原．某班在实践课上对“弹簧的长度与所受外力之间的关系”进行了探究．    方案设计：“智慧小组”在探究弹簧测力器的“弹簧的长度与所受外力之间的关系”时，多次改变砝码的质量x（单位：），测量得到弹簧的长度y（单位：），且通过实验记录得到的数据如表所示： 砝码的质量 0 50 100 150 200 250 300 400 500 弹簧的长度 2 3 4 5 6 7 如图，“智慧小组”根据实验数据，建立平面直角坐标系，并绘制了部分图象．    问题解决： (1)材料中的数据表格反映了两个变量之间的关系，其中自变量是________． (2)在弹性限度内，求弹簧的长度y与所挂砝码的质量x之间的关系式；当砝码的质量为时，求弹簧的长度． (3)在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过________． (4)根据表格数据，在平面直角坐标系中补全该函数的图象． 【答案】(1)砝码的质量 (2)，，， (3) (4)画图见解析 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意是关键． （1）根据函数的定义可得自变量为砝码的质量； （2）根据表格信息，图象信息，判断函数的类型，再利用待定系数法求解函数解析式即可，再计算当时的函数值即可； （3）根据表格信息可得：在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过． （4）根据表格信息，描点画图即可． 【详解】（1）解：材料中的数据表格反映了两个变量之间的关系，其中自变量是砝码的质量， （2）解：由题意可得：当时，设， ∴， 解得：， ∴函数关系式为：， 当时，设函数为， ∴， 解得：， ∴函数关系式为：， 当时， ； 当时，， ∴当砝码的质量为时，弹簧的长度为． （3）解：由表格信息可得：在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过． （4）解：画图如下：    3．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据大致如表所示： 流水时间 0 水面高度（观察值） 任务1： 分别计算表中每隔水面高度观察值的变化，你能得出什么结论． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度和流水时间满足一次函数关系． 任务2： 请根据表格中的数据求水面高度与流水时间的函数解析式； 【模型应用】 综合实践小组利用建立的模型，预测了后续的水面高度． 任务3： 当流水时间为时，求水面高度的值． 任务4：当甲容器中的水全部流入乙容器时，实验结束，求实验结束的时间． 【答案】任务1：每隔水面高度减小；任务2：；任务3：当流水时间为时，水面高度的值为；任务4：实验结束的时间是 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式． 任务1：观察表格可知，每隔水面高度减小； 任务2：用待定系数法可得； 任务3：在中，令得； 任务4：在中，令得． 【详解】解：任务1：观察表格可知，每隔水面高度减小； 任务2：设， 把，代入得： ，解得， ； 任务3：在中， 令得， 当流水时间为时，水面高度的值为； 任务4：在中， 令得， 解得， 实验结束的时间是． 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点是一次函数图象上一点． (1)求一次函数的解析式； (2)求出一次函数的图象与轴、轴交点和的坐标； (3)当的面积为5时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)，或 【分析】本题考查一次函数的图象和几何变换，坐标与图形面积，熟练利用数形结合的方法解题是关键． （1）由平移的性质可得到，再将点代入解析式求解； （2）根据一次函数与坐标轴相交的特点去求解； （3），结合点，利用当的面积为5时，解立方程求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象由函数的图象平移得到， 一次函数为， 一次函数经过点， ， ， 一次函数为． （2）解：由题意得 当时，， 当时，， ， 图象与轴、轴的交点的坐标分别为，． （3）解：设   ， ， 解得：或， 当时，， 当时，， ，或． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，直线是一次函数的图象，其与轴交于点，与轴交于点，点是该函数图象上第一象限内的一点． (1)求该一次函数的表达式； (2)连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式和一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）先由三角形的面积公式求出点C的横坐标，再代入一次函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得， ∴该一次函数的表达式为； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴． 3．（24-25八年级上·安徽·期中）王老师准备购买甲品牌乒乓球个，到商场后发现还有乙品牌乒乓球可供选择，如果调整乒乓球的购买品种，每减少购买个甲品牌乒乓球，需增加购买个乙品牌乒乓球．设购买个甲品牌乒乓球，需购买个乙品牌乒乓球． (1)当减少购买个甲品牌乒乓球时，________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)已知甲品牌乒乓球每个元，乙品牌乒乓球每个元，若购进乙品牌乒乓球的数量不少于甲品牌乒乓球数量的倍，王老师应怎样购买才能保证本次购买费用最低？最低费用是多少？ 【答案】(1)， (2)； (3)王老师购买甲品牌乒乓球个，乙品牌乒乓球，购买费用最低，最低费用为元 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据“每减少购买个甲品牌乒乓球，需增加购买个乙品牌乒乓球”可直接列出函数关系式； （3）根据（2）中函数关系式可得，然后根据题意可进行求解 【详解】（1）解：由题意得：当减少购买个甲品牌乒乓球时，； 故答案为98；4； （2）解：由题意，， 与之间的函数表达式； （3）解：设王老师购买这两种品牌乒乓球要花费元， 则； ， ． ，随着的增大而减小， 当时，． 答：王老师购买甲品牌乒乓球个，乙品牌乒乓球，购买费用最低，最低费用为元． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点A，交轴于点，点是点A关于轴对称的点，过点作轴平行的射线，交直线与点，点是射线上的一个动点． (1)点A的坐标为______，点的坐标为_______； (2)若直线与直线的交点为（不与点重合），连接，当与的面积满足时，请求出对应的点坐标． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】（1）利用坐标轴上点的特点建立方程即可得出结论； （2）先求出，，利用三角形面积关系求出点坐标，再联立直线解析式求出交点坐标即可得出结论． 此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，轴对称性质，待定系数法求一次函数解析式，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象交轴于点A，交轴于点， ∴令，则； ， 令，则， ， ； 故答案为：，； （2）解：点是点关于轴对称的点， ， 轴， 时，， ， ∵点是射线上的一个动点， 设， ，， ， ， ， 或， 或，如下图所示： ∴设直线的解析式为， 直线的解析式为①， 当时，即为， ∴直线的解析式为②， 故联立①②得， 解得，，， ， 当时，即为， ∴直线解析式为③， 故联立①③得， 解得，， ， 即：满足条件的点或 5．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于两点，过点的直线与轴交于点． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)在直线上是否存在点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，数形结合是解题的关键． （1）先根据直线，得到点得坐标，又点，利用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）设D点的坐标为，分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，结合图像，利用建立方程求解即可； 【详解】（1） 令，得， 则点， 令，得， 则点， 设直线，将，代入得： 解得：， 故直线，点的坐标为； （2）设D点的坐标为， ， ， 点的位置情况有两种可能，如图所示 ①当点在线段上时， ， 即， 解得：， ∵在直线上， 直线的解析式为， ， ， 点坐标为 ②当点在线段的延长线上时， ， 即， ， 将代入得： ， ， ∴点坐标为， 综上所述，存在符合条件的点，点得坐标为或． 6．（24-25八年级上·山东青岛·期中）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶； 方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的付款． 某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于的函数表达式． (2)当时，请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． 【答案】(1)， (2)选择方案二更省钱，见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，关键是写出一次函数解析式． （1）根据优惠方案直接写出函数解析式； （2）把代入（1）中解析式求出的值，并比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴关于的函数表达式为， 关于的函数表达式为． （2）解：当时，， ． ， ∴该厨具店选择方案二更省钱． 7．（24-25八年级上·山东济南·期中）为了鼓励公民节约用电，某市采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．每户家庭每月电费（元）与用电量之间的函数图象如图所示． (1)当时，求与之间的函数表达式； (2)若甲用户某月需缴电费元，求甲用户该月的用电量． 【答案】(1) (2)度 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）根据图象设出当时的函数解析式，再将点、代入解析式得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）根据图象可以判断电费元在的函数图象上，即可得解； 解题的关键是利用数形结合的数学思想，将图象与实际问题联系在一起，然后找出所求问题需要的条件． 【详解】（1）解：根据图象可得， 当时，设，过点、， ∴， 解得：， ∴当时，求与之间的函数表达式； （2）当时， 得：， 解得：， 答：甲用户该月的用电量为度． 8．（24-25七年级上·上海闵行·期中）甲、乙两地分别对本地各40万人接种流感疫苗．甲地在前期完成5万人员接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种甲地经过a天接种后，由于情况变化，接种速度放缓．图中的折线和线段分别反映了甲、乙两地的接种人数y（万人）与接种时间x（天）之间的函数关系根据图像所提供的信息回答下列问题：      (1)乙地比甲地提前了___________天完成疫苗接种工作． (2)试写出乙地接种人数y（万人）与接种时间x（天）之间的函数解析式（并写出定义域）__________________． (3)当甲地放缓接种速度后，每天可接种多少万人？ 【答案】(1)20 (2) (3)0.25万人 【分析】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． （1）根据函数图象中的数据，可以计算出乙地比甲地提前了几天完成疫苗接种工作； （2）根据函数图象中的数据，可以计算出乙地接种人数（万人）与接种时间（天之间的函数解析式； （3）根据（2）中的函数解析式可以得到乙的接种速度，可以计算出的值，然后用计算即可得到当甲地放缓接种速度后，每天可接种的人数． 【详解】（1）解：由图象可得， 乙地比甲地提前了天完成疫苗接种工作， 故答案为：20； （2）解：设乙地接种人数（万人）与接种时间（天之间的函数解析式为， 点在该函数图象上， ， 解得， 即乙地接种人数（万人）与接种时间（天之间的函数解析式为， 故答案为：； （3）解：， 故当甲地放缓接种速度后，每天可接种（万人）． 9．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数的图象经过点和点且点在正比例函数的图象上． (1)求一次函数的解析式； (2)若点的坐标为，求的面积； (3)点为轴上一动点，若，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为： (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据格点坐标可求三角形的面积； （3）设点，根据已知条件得到代入面积计算公式即可得到值，继而得到点的坐标． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握三角形面积的计算是解答本题的关键． 【详解】（1）解：点在正比例函数的图象上， ，解得， ， 点和点在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数的解析式为：； （2）解：， ； （3）解：如图直线交轴于点， ，， ， 点的坐标为， 点在直线上， 在一次函数中，令，， ， 设，则， ， 即， ，， 解得或1， 或． 10．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点和点，经过点的另一条直线交轴于点． (1)求的面积； (2)求直线l的函数解析式； (3)在直线l上求一点，使． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，求一次函数解析式，一次函数与几何综合： （1）先求出，再根据进行求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3），分点P在线段上和点P在线段的延长线上两种情况，根据图形面积之间的关系求出，进而求出点P的纵坐标，最后求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：设直线l解析式为， 把，代入中得：， ∴， ∴直线l解析式为； （3）解：如图所示，当点P在上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 11．（24-25八年级上·全国·期末）某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【答案】(1)电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； (2)当时，方案一更省钱；当时，两种方案花费一样；当时，方案二更省钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答的关键是根据题意找出等量关系列出方程组或一次函数表达式，用分类讨论的方法确定优惠方案． （1）根据题意，列出相应的二元一次方程组，从而可以求得电子白板和平板电脑的单价各是多少万元； （2）根据题意，分别写出两种方案下，关于的函数关系式，再利用分类讨论的方法可以得到该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【详解】（1）解：设购买电子白板的单价为x万元，平板电脑的单价是y万元， ， 解得： ， 答：电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； （2）由题意可得，方案一∶关于的函数表达式为∶， 方案二∶关于a的函数表达式为∶， 当时，得，即当时，选择方案一； 当时，得，即当时，方案一和方案二花费一样多； 当，得，即当时，选择方案二； 综上所述，当时，方案一更省钱，当时，两种方案花费一样，当时，方案二更省钱． 12．（24-25八年级上·全国·期中）为美化校园，某学校计划购进A，B两种树苗共棵，已知A种树苗每棵元，B种树苗每棵元． (1)若购进A，B两种树苗刚好用去元，求购进A，B两种树苗各多少棵？ (2)若购进A种树苗a棵，所需总费用为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进B种树苗的数量不少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】(1)购进A种树苗10棵，购进B种树苗7棵； (2)①；②当购进种树苗9棵，种树苗8棵时，费用最省，此时费用为1200元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，弄清楚各量之间的关系是解题的关键． （1）设购进A种树苗x棵，购进B种树苗y棵，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）①根据所需总费用=A中树苗的费用+B种树苗的费用列式即可；②先根据一次函数的性质写成解析式，再确定a的取值范围，然后确定最省钱的方案即可． 【详解】（1）解：设购进A种树苗x棵，购进B种树苗y棵， 由题意得：，解得：． 答：购进A种树苗10棵，购进B种树苗7棵． （2）解：①由题意得：，即； ②∵购进B种树苗的数量不少于A种树苗的数量， ∴，即 ∵， ∴w随a的增大而增大， ∵， ∴当时，w最小，且最小值为（元），此时， ∴当购进种树苗9棵，种树苗8棵时，费用最省，此时费用为1200元． 13．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）某个体户购进一批时令水果，天销售完毕，他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据绘制如下的函数图象，其中日销售量（千克）与销售时间（天）之间的函数关系如图（）所示，销售单价（元千克）与销售时间（天）之间的函数关系如图（）所示．（销售额销售单价销售量）． (1)从图（）可知．第天日销售量为_______千克，第天日销售为_______千克． (2)求第天和第天的销售额； (3)若日销售量不低于千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中，“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元？ 【答案】(1)，； (2)第天和第天的销售金额分别为元、元； (3)此次销售过程中最佳销售期共有天，在此期间销售单价最高为元千克． 【分析】（）待定系数法分别求出，时销售量关于销售时间的函数关系式，再分别求当和时的值即可； （）由图（）先求出，时销售单价关于销售时间的函数关系式，求出和时的销售单价，最后根据销售额销售单价销售量分别求解即可； （）分别求出，时销售量时的范围，可知共有多少天，结合上述的范围根据一次函数性质求的最大值即可； 本题主要考查了一次函数和一元一次不等式（组）的实际应用，待定系数法求解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键. 【详解】（1）解：当时，设解析式为， 将代入得， 解得：，即， 当时，， 故第天日销售量为千克； 当时，设解析式为， 将、代入得： 解得：， 即， 当时，， 故第天日销售量为千克； 故答案为：，； （2）解：∵第天日销售量为千克，销售单价为元千克， ∴第天日销售额为（元）， 当时，设销售单价与销售时间之间的函数关系式为， ∵点、在的图象上， ∴，解得：， ∴， 当时，，， 故销售额为：（元）， 综上，第天和第天的销售金额分别为元、元； （3）解：根据题意，若日销售量不低于千克，则， 当时，， ∴，解得：， 当时，， ∴，解得：， ∴ 故最佳销售期共有天， ∵中，， ∴随的增大而减小， ∴当时，当时，取得最大值，最大值为， 故此次销售过程中最佳销售期共有天，在此期间销售单价最高为元千克． 14．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图1，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点、与直线交于点． (1)求直线与的解析式； (2)若点在射线上运动，连接，是否存在和的面积比为，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，若为直线上一动点，以为直角作等腰直角三角形，其中，．连接，，当周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为：，直线的表达式为： (2)存在，或 (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质，涉及到三角形的全等，点的对称，面积的确定，解题的关键一次函数的综合运用，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）由待定系数法即可求解； （2）当点P在线段上时，当和的面积比为，则即可求解；当点P在点C的上方时，则点C是的中点，即可求解； （3）设点，求出点N的坐标为，进而求解； 【详解】（1）解：将点B的坐标代入直线的表达式为：， 即直线的表达式为：， 当时，，即点， 将点的坐标代入直线的表达式得：，则， 故直线的表达式为：； （2）存在，理由： 当点线段在上时， 当和的面积比为，则， 则， 当， 解得：， 则点的坐标为：； 当点在点的上方时， 则点是的中点， 由中点坐标公式得：点； 综上，点的坐标为：或； （3）设点， 过点作轴于点，过点作轴于点， ，则， ， ， ，， ， 则，， 则点的坐标为：， 则点在直线①上，设该直线分别交轴于点，以为边向右作正方形，由直线的表达式轴， 其和轴负半轴的夹角为，则点落在直线上，点关于直线的对称点为点， 由直线知，点，则，则点， 连接交直线于点，则此时，周长最小， 理由：周长为最小， 由点、的坐标得，直线的表达式为：②， 联立①②得：， 解得：， 解得：， 则点的坐标为：． 15．（24-25八年级上·全国·期中）如图，直线与x，y轴分别交于A，B两点． (1)求点A的坐标． (2)在x轴上有一点M，线段上有一点N，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为 (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的定义，熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键． （1）根据题意得：时，，由此得到答案． （2）根据题意得：是以为斜边的等腰直角三角形，点在轴正半轴上，设，，由，得到点的坐标，由此得到答案． 【详解】（1）根据题意得： 直线与x，y轴分别交于A，B两点 时， 解得：， 点A的坐标为； （2）根据题意得： 是以为斜边的等腰直角三角形， 如图所示，是等腰直角三角形， ， 设，， 解得：， 即， 16．（2024九年级上·河南安阳·学业考试）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M为线段的中点． (1)点M的坐标为____________________； (2)y轴上有一动点Q，连接，求周长的最小值及此时点Q的坐标； (3)在（2）的条件下，当的周长最小时，若x轴上有一点F，过点F作直线轴，交直线于点G，交直线于点H，若的长为3，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)周长的最小值为； (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数综合，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）令，得；令，得，可得点、的坐标，再由中点坐标公式可得出点的坐标； （2）因为A和M坐标知道，所以长度为定值，要求周长的最小值，实则是求的最小值，即的长； （3）运用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标为，得出，，根据列方程求出的得解． 【详解】（1）解：对于， 令，得； 令，得， 解得：， ∴， ∵点M为线段AB的中点， ∴，即， （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，如图， 则， ∴, ∵, ∴， ∵点是固定点， ∴， ∴周长的最小值为, 又, ∴ ∴, ∴周长的最小值为； 设直线的解析式为， 把代入，得， ， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）解：设直线的解析式为， 把代入，得： ， 解得，， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为 又过点的直线与交于点， ∴， 又直线和解析式与直线交于点， ∴， ∵, ∴， 整理得，， 解得，，或， ∴点的坐标为：或． 17．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）五月是圣女果与羊角蜜成熟的季节，这两种水果深受人们的喜爱．水果经销商小明每次从两种水果的产地购进两种水果进行销售，圣女果的批发价为5元/千克，羊角蜜每千克的批发价根据购买量给予优惠．设小明购进羊角蜜x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若小明计划一次性购进圣女果、羊角蜜共100千克，且圣女果不少于45千克，但又不超过60千克，如何分配圣女果与羊角蜜的购进量，才能使小明付款总金额元最少？ (3)在（2）的结论下，小明将圣女果与羊角蜜的销售价格分别定为7元/千克和10元/千克，当全部销售完两种水果时，小明决定将总利润的为正整数捐赠给儿童福利院，捐赠后使总利润不低于256元，求m的最大值． 【答案】(1) (2)购进圣女果为千克，则购进羊角蜜千克，才能使小明付款总金额(元)最少 (3)8 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用中的最优解问题及一元一次不等式的应用． （1）由图已知与的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可； （2）设购进圣女果为千克，则购进羊角蜜千克，根据实际意义可以确定的范围，结合付款总金额(元)与两种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用； （3）根据题意求出羊角蜜此时的进价，再根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时, 设, 根据题意得， 解得， ∴； 当时，， 当时, 设， 根据题意得解得 ， ∴， ； （2）解：设购进圣女果为千克，则购进羊角蜜千克， ∴， 当时，则， ， 当时. 元； 当时,则， ， 当时, 元， ， ∴当时, 总费用最少, 最少总费用为元，此时购进羊角蜜(千克)， 答：购进圣女果为千克，则购进羊角蜜千克，才能使小明付款总金额(元)最少； （3）解：由（2）知购进圣女果为千克，则购进羊角蜜千克， 此时，羊角蜜的进价为6元， 根据题意得：，即， 解得， ， ∴m的最大值为． 18．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为，点A的坐标为． (1)求k的值； (2)若点是直线在第二象限内的一个动点，在点P的运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)在（2）的情况下，当点P运动到什么位置时，的面积为？ 【答案】(1) (2) (3)点P运动到点处时，的面积为 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得直线的解析式为，则P点的坐标为，在中，边上的高是，当点P在第二象限时，，再求出，据此根据三角形面积计算公式求解即可； （3）利用（2）的结论，列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， ， ； （2）解：， 直线的解析式为， 点P在直线上， P点的坐标为， ∴在中，边上的高是， 当点P在第二象限时，， 点A的坐标为， ． ． （3）解：由（2）得， 当时，， 解得，符合题意， 当时，， 故点P运动到点处时，的面积为． 19．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）某公司采购员到紫阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式： 会员卡费用（元/张） 茶叶价格（元/kg） 方式一：会员 500 1600 方式二：非会员 0 2100 设该公司此次购买茶叶，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元． (1)请直接写出、关于x的函数表达式； (2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，则该公司此次购买了多少千克这种茶叶？ (3)若该公司此次购买茶叶的总预算为8400元，则按照哪种方式购买可以获得更多的茶叶？ 【答案】(1)，； (2)该公司此次购买了这种茶叶； (3)若该公司此次购买茶叶的总预算为8400元，则按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，理解题意，正确表示出函数关系式是解题关键． （1）根据两种购买方式分别列式，即可得到函数表达式； （2）根据两种方式购买茶叶的总费用相同列方程求解，即可得到答案； （3）结合（1）所得关系式，分别求出两种方式购买的茶叶质量，再进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，得，； （2）解：根据题意，得，解得． 答：该公司此次购买了这种茶叶． （3）解：若按照第一种方式购买茶叶，则， 解得， 若按照第二种方式购买茶叶，则， 解得． ∵， ∴按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶． 答：若该公司此次购买茶叶的总预算为8400元，则按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶． 20．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）在一次函数的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“画函数的图象一根据图象研究函数的性质一运用函数的性质解决问题”的学习过程. (1)请通过“列表-描点-连线”的过程画出的函数图象； ①下表是与的几组对应值：的值为____________； ②在平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (2)下列关于函数图象及性质描述正确的是__________； ①此函数图象关于轴对称； ②当时，函数有最小值为0. ③当时，随的增大而增大； (3)已知的图象与轴的交点为点，的图象上有一点，在轴上存在一点，使面积为6，直接写出点的坐标. 【答案】(1)①0；②画图象见解析 (2)①③ (3)或或或 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，画函数图象，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积． （1）①把代入即可求得的值；②描点、连线即可； （2）根据图象判断即可； （3）根据函数解析式求得、的坐标，然后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）①把代入得， ， 故答案为：； ②解：如图， （2）观察图象： ①此函数图象关于轴对称，正确； ②当时，函数有最小值为，故错误． ③当时，随的增大而增大；则，随的增大而增大，故正确； 故答案为：①③； （3）的图象上有一点， ， 或， 或， 的图象与轴的交点为点，在轴上存在一点，使面积为， ， 当时，， 此时或； 当时，， 此时或． 综上所述，或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一次函数的应用重难点题型专训（12大题型+20道拓展培优） 题型一 一次函数应用之分配方案问题 题型二 一次函数应用之最大利润问题 题型三 一次函数应用之行程问题 题型四 一次函数应用之工程问题 题型五 一次函数应用之分段函数问题 题型六 一次函数应用之几何问题 题型七 一次函数应用之体积问题 题型八 一次函数应用之新定义问题 题型九 一次函数应用之存在性问题 题型十 一次函数应用之动点问题 题型十一 一次函数应用之最值问题 题型十二 一次函数应用之其他问题 【经典例题一 一次函数应用之分配方案问题】 【例1】（24-25八年级上·全国·期中）甲、乙两商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠．设所买商品为件，甲商场收费为元，乙商场收费为元． (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当所买商品为5件时，选择哪家商场更优惠？请说明理由． 1．（23-24九年级上·浙江台州·开学考试）五一期间，某移动公司就上网收费套餐推出三种优惠方案，具体如下表所示： 收费方案 月使用费（元） 包时上网时间（小时） 超时费（元/小时） 无限 方案和方案每月所需的费用（元）与每月使用的时间（时）之间的函数关系图象如下图所示： (1)填空：表中的____________，____________； (2)请在图中画出方案的图象，并写出当上网时间不少于小时方案每月所需的费用（元）与每月使用的时间（时）之间的函数关系式； (3)当每月使用的时间在什么范围时，选择方案最省钱； 当每月使用的时间在什么范围时，选择方案最省钱； 当每月使用的时间在什么范围时，选择方案最省钱． 2．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）为打造“书香校园”，学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本． (1)请问符合题意的组建方案有哪几种? (2)若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低?最低费用是多少元? 3．（2023·浙江·模拟预测）某礼品经销商在春节前购进了甲、乙两种规格的礼品盒盒，共花费了元．已知甲、乙两种规格的礼品盒的进价和售价如下表： 类别 甲规格 乙规格 进价(元) 售价(元) (1)该礼品经销商购进甲、乙两种规格的礼品盒各多少盒？ (2)由于市场供不应求，该礼品经销商计划再购进两种礼品盒共盒，而此次投入不超过元，为使得获利最大，应如何进货． 4．（2023·四川·中考真题）某移动公司推出A，B两种电话计费方式． 计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫 A 免费 B 免费 (1)设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式； (2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由； (3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式． 【经典例题二 一次函数应用之最大利润问题】 【例2】（24-25八年级上·全国·期中）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为120只，且每日产出的产品全部售出已知生产x只玩具熊猫的支出成本为R（元），销售收入为P（元），利润为y（元），且R，P关于x的函数表达式分别为，． (1)求y关于x的函数表达式，并画出函数图象． (2)根据图象解决下列问题： ①该玩具厂至少应生产多少只玩具，才能保证不亏损？ ②当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？（提示：利润=销售收入-支出成本） 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）某水产品市场管理部门规划建造面积为的集贸大棚，大棚内设种类型和种类型的店面共80间，每间种类型的店面的平均面积为，月租为400元．每间种类型的店面的平均面积为，月租为360元，全部店面的建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的． (1)试确定种类型的店面的数量范围； (2)通过了解业主的租赁意向得知，种类型店面的出租率为，种类型店面的出租率为．为使店面的总月租最高，应建造种类型的店面多少间？并求出最高租金． 2．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）草基地为了提高收益．对收获的草莓分拣成，两个等级销售，每千克草莓的价格级比级的2倍少4元．3千克级草莓比5千克级草莓的销售额多4元． (1)问，两个等级的草莓每千克各是多少元？ (2)某超市从草莓基地购进、两个等级的草莓共200千克，且均价不超过19元，要求购进级草莓不少于48千克． ①根据所给的信息，、两个等级的草莓有哪几种购进方案？ ②超市对购进的两个等级的草莓进行包装销售（如表所示，若不足一包，则该包不进行销售），全部包装销售完，当包装级草莓多少包时，所获总利润最大？最大总利润为多少元？ 草莓等级 包装重量（千克） 售价（元/包） 级 1 68 级 2 82 3．（23-24八年级上·浙江金华·期末）为了抓住亚运会商机，某商店决定购进宸宸，莲莲两种亚运会纪念品，若购进宸宸10件，莲莲5件，需要1000元；若购进宸宸5件，莲莲3件，需要550元．    (1)求购进宸宸，莲莲两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，考虑到市场需求，要求购进宸宸的数量不少于莲莲数量的6倍，且不超过莲莲数量的8倍． ①设购进宸宸m件，则购进莲莲件(用含m的代数式表示)，该商店共有几种进货方案？ ②若销售宸宸每件可获利润20元，莲莲每件可获利润30元，销售这两种亚运会纪念品的利润为w元，求w关于m的函数关系式，并求出最大利润是多少元？ 4．（2024·浙江温州·一模）2023 年 10月4日，亚运会龙舟赛在温州举行． 某网红店看准商机，推出了 A 和B 两款龙舟模型． 该店计划购进两种模型共200个，购进 B 模型的数量不超过 A模型数量的2 倍． 已知B 模型的进价为30元/个，A 模型的进价为20元/个，B 模型售价为45元/个, A 模型的售价为30元/个． (1)求售完这批模型可以获得的最大利润是多少? (2)如果B模型的进价上调m元，A 模型的进价不变，但限定 B模型的数量不少于 A 模型的数量，两种模型的售价均不变． 航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的最大利润是2399元，请求出m的值． 【经典例题三 一次函数应用之行程问题】 【例3】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，根据图像解答下列问题： (1)A，B两们相距______； (2)出发________小时后两人相遇； (3)甲每小时骑行______，乙每小时骑行_____；图中C点表示的实际意义是______． (4)求出时，S与t之间的函数关系式． 1．（23-24九年级上·浙江台州·开学考试）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程和时间的函数关系如图2所示． (1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值． (2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间． 2．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）小唐家住在公交车站点A附近，他每天搭乘公交车前往位于站点D附近的学校上学．图1是公交站点A通往站点D的公交线路示意图，其中A，B，C，D是四个公交站点，B，C两站点相距1200米．小唐每天先沿公交线路步行至站点B或站点C，然后乘公交车上学． (1)星期一，小唐步行至站点B上车，记他到站点A的路程为s米，他离开站点A的时间为t分，s关于t的函数图象如图2所示，求对应的函数表达式及公交车的速度； (2)星期二，小唐以与星期一相同的出发时间和步行速度行至站点C上车，已知该路公交车每隔10分钟一班，公交车每天的始发时间和车速保持不变，乘客上下车的时间可忽略不计： ①试判断并说明小唐步行至站点C时，此时是否有公交车也恰好到达站点C； ②若小唐到达站点D所用的时间是星期一的1.5倍，求C，D两站点间的距离． 3．（2023·浙江台州·模拟预测）“低碳生活，绿色出行”的理念正逐渐被人们所接受，越来越多的人选择骑自行车上下班． 王叔叔某天骑自行车上班从家出发到单位过程中行进速度（米/分）随时间（分钟）变化的函数图象大致如图所示，图象由三条线段和组成． 设线段OC上有一动点，直线过点T且与横轴垂直，梯形在直线左侧部分的面积即为t分钟内王叔叔行进的路程s（米）． (1)①当分钟时，速度_______米/分钟，路程_______米； ②当分钟时，速度_______米/分钟，路程______米． (2)当和时，分别求出路程s（米）关于时间t（分钟）的函数解析式； (3)求王叔叔该天上班从家出发行进了750米时所用的时间t． 4．（2024·浙江·三模）钱塘江绿道是浙江首个完全贯通的城市主要水系绿道，也是全国目前已建成的最长沿江 （河）连续绿道，圆圆和方方在笔直的绿道上分别从相聚m米的甲，乙两地同时出发，匀速相向而行，已知圆圆的速度大于方方的速度，两人相遇停留 n分钟后，各自按原速度原方向继续前行，分别到达乙地，甲地后原地休息，若两人之间的距离y（米）与时间x （分钟）之间的函数关系如图所示： (1)根据图像信息，请求出m， n的值； (2)求圆圆和方方的速度；（单位：米/分钟） (3)求线段 所在直线的函数解析式． 【经典例题四 一次函数应用之工程问题】 【例4】（2023·吉林长春·一模）为推进乡村振兴发展，某区决定对A、B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，乙工程队再开始施工，乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图像，请根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙工程队每天修公路_________米． (2)分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式． (3)若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？ 1．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）甲、乙两个工程组同时挖掘长春地铁号线某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示．    (1)甲组比乙组多挖掘了______天． (2)求乙组停工后关于的函数解析式． (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出甲组挖掘的天数． 2．（24-25九年级上·广东肇庆·开学考试）甲、乙两个工程组同时挖掘肇佛高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． (1)求乙组停工后关于的函数解析式． (2)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，求乙组已停工的天数． 3．（2024·黑龙江绥化·三模）甲、乙两个工程组同时铺设绥化至大庆高速路段的沥青路面，两组工程队每天铺设沥青路面的长度均保持不变，合作一段时间后，乙工程队因维修设备而停工，甲工程队单独完成了剩下的任务，甲、乙两工程队铺设沥青路面的长度之和y（单位：m）与甲工程队铺设沥青路面的时间x（单位：天）之间的关系如图所示．    (1)甲工程队比乙工程队多铺设沥青路面____________天； (2)求乙工程队停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当甲工程队铺设沥青路面的总长度与乙工程队铺设沥青路面的总长度相等时，求乙工程队已经停工的天数． 4．（2024八年级下·全国·专题练习）为了能以“更新、更绿、更洁、更宁”的城市形象迎接2011年大运会的召开，深圳市全面实施市容市貌环境提升行动．某工程队承担了一段长为1500米的道路绿化工程，施工时有两张绿化方案： 甲方案是绿化1米的道路需要型花2枝和型花3枝，成本是22元； 乙方案是绿化1米的道路需要型花1枝和型花5枝，成本是25元． 现要求按照乙方案绿化道路的总长度不能少于按甲方案绿化道路的总长度的2倍． (1)求型花和型花每枝的成本分别是多少元？ (2)求当按甲方案绿化的道路总长度为多少米时，所需工程的总成本最少？总成本最少是多少元？ 【经典例题五 一次函数应用之分段函数问题】 【例5】（23-24七年级下·四川成都·期中）某电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法计算电费；第一档：每月用电不超过180度时，按每度0.5元计费；第二档：每月用电超过180度但不足280度时，其中超过部分按每度0.6元计费；第三档：280度以上时，超出部分按每度0.8元计费． (1)若李明家1月份用电140度应交电费______元，2月份用电250度应交电费______元． (2)若设某月用电量为x度，应交电费为y元，请求出y与x的关系式．并利用关系式求某月交电费120元时的用电量． 1．（23-24七年级下·广东茂名·期末）某市为了节约用水，采用分段收费标准．若某户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系的图象如图，根据图象回答： (1)该市自来水收费时，若使用不足吨，则每吨收费多少元？超过吨部分每吨收费多少元？ (2)写出每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系式． (3)若某户居民每月用水吨，应交水费多少元？若某月交水费元，该户居民用水多少吨？ 2．（2024·浙江衢州·一模）我市“一户一表、抄表到户”居民生活用水实行阶梯水价，三级收费标准如下表，每户每年应缴水费（元）与用水量关系如图． 分类 用水量 单价（元/） 第1级 不超过300 第2级 超过300不超过480的部分 第3级 超过480的部分 根据图表信息，解答下列问题： (1)小南家2022年用水量为，共缴水费1168元．求，及线段的函数表达式． (2)小南家2023年用水量增加，共缴水费元，求2023年小南家用水量． 3．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）为了节约水资源，自来水公司按分段收费标准收费，如图所示反映的是每月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数图象． (1)若某月用水8吨，则收费标准按每吨______元收费； (2)若某月用水吨，需交水费______元； (3)小亮家三、四月份分别交水费元和元，则四月份比三月份节约用水多少吨？ 4．（22-23八年级下·云南昆明·期末）某县今年遇旱灾，为了倡导居民节约用水，生活用水按阶梯式水价计费，如图是某户居民每月的水费（元）与所用的水量（吨）之间的函数图像，请根据图像所提供的信息，解答下列问题： (1)当用水量不超过10吨时，每吨水收费多少元？ (2)当用水量超过10吨且不超过30吨时，求与之间的函数关系式； (3)某户居民三、四月份水费共70元，四月份用水比三月份多4吨，求这户居民三月份用水多少吨？ 【经典例题六 一次函数应用之几何问题】 【例6】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． (1)求点A、B的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求m的值． 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，直线的函数表达式为，与轴交于点，直线经过点和点，且直线交于点． (1)求点，点的坐标． (2)点是轴上的一个动点，求的最小值． (3)点分别是直线上的两点，且不与点重合．当时，直接写出每一组点和点的坐标． 2．（24-25八年级上·河南·期中）小明在学习一次函数后，对形如（其中k，m，n为常数，且）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下： 如图所示，小明分别画出了函数，，的图象． 【深入探究】 （1）通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是__________； 【得到性质】 （2）函数（其中k、m、n为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是__________； 【实践运用】 （3）已知一次函数（k为常数，且）的图象一定过点N，且与y轴相交于点A，若的面积为5，求k的值． 3．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②当为等腰三角形时，直接写出t的值． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴y轴分别交于点A，B，点D在y轴的负半轴上．若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点C处． (1)求的长； (2)求点C和点D的坐标； (3)在y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题七 一次函数应用之体积问题】 【例7】（23-24八年级上·江苏连云港·期末）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系；（以上两空选填“甲”或“乙”） (2)点的纵坐标表示的实际意义是 ； (3)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？ (4)若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积． 1．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图2．根据图像提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示______________槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示_____________槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空填“甲”或“乙”），槽中铁块的高度是______________； (2)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同； (3)若乙槽底面积为（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积． 2．（2023·河南南阳·二模）为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，避免造成水资源浪费．课外实践活动中，王老师安排数学兴趣小组“慎思组”和“博学组”两组同学分别做水龙头漏水试验，“慎思组”同学用于接水的量筒最大容量为毫升，“博学组”同学用于接水的量筒最大容量为毫升． 试验一：“慎思组”同学在做水龙头漏水试验时，每隔10秒观察一次量筒中水的体积，记录的数据如下表(漏出的水量精确到1毫升)： 时间(秒) 10 20 30 40 50 60 70 漏出的水量(毫升) 2 5 8 11 14 17 20 根据以上信息，请你与他们一起完成以下问题： (1)在图①的平面直角坐标系中描出上表中数据对应的点，画出与的图象，并判断是的什么函数，且求出此函数关系式．    (2)如果继续试验，请求出至少几秒后量筒中的水会满而溢出． (3)按此漏水速度，1小时会漏水___________升(精确到升)． 试验二：“博学组”同学根据自己的试验数据画出的图象如图②所示， (4)为什么图象中会出现与横轴“平行”的部分？请说出你的理由．    3．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，为一深，底面为正方形的长方体的容器，底部放入一小长方体铁块，现在以均匀的速度往容器中注水，图2是容器内水面高度随时间改变的函数关系图象，观察图中所提供的信息，解答下列问题： (1)容器内小长方体铁块的高为多少? (2)求直线的函数关系式； (3)该容器注满水需多少分钟？ (4)求长方体铁块的体积与容器的容积之比是多少？ 【经典例题八 一次函数应用之新定义问题】 【例8】（24-25八年级上·山东济南·期中）阅读理解： 材料一：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若且，则称点是线段的“完美等距点”． 材料二：在平面直角坐标系中，我们通常用下面的公式求两点间的距离，如果，，那么． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知3个点：，则这三点中，线段的“等距点”是________，线段的“完美等距点”是________； (2)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”？若存在，请直接写出所有符合的点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2023·江苏徐州·模拟预测）阅读理解：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知3个点：则线段的“等距点”是______，线段的“完美等距点”是______； (2)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”且为线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标． 2．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，若函数图象上的点满足（其中，a为常数），则称点P为函数图象的“a级和点”． (1)若点为正比例函数图象的“4级和点”，求的值； (2)若时，直线上有“a级和点”，则k的取值范围______． 3．（23-24八年级上·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，若点满足，那么称点是点的三分点． 例如：，当点满足时，则点是点的三分点．    (1)已知点，话说明其中一个点是另外两个点的三分点． (2)已知点，点，点． ①当时，点，点，点其中一个点是另外两个点的三分点，求点的坐标． ②若点是点的三分点，直线交轴于点．当为直角三角形时，求点的坐标． 4．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）定义：对于一次函数（、为常数，）如果当时，，且满足（为常数）那么称此函数为“级函数”．如：正比例函数，当时，，则，求得，所以函数为“3级函数”． (1)如果一次函数为“级函数”，那么的值是______； (2)如果一次函数为“5级函数”， ①求的值； ②求此一次函数的图像与两坐标轴围成的三角形的面积． 【经典例题九 一次函数应用之存在性问题】 【例9】（24-25九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图，已知点是正方形的一个顶点，E是的中点，点P是直线上一点． (1)求点E的坐标和直线的解析式； (2)若的面积为21，求此时P点坐标； (3)若点P是直线在第一象限的一个动点，连接，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P点坐标：若不存在，请说明理由． 1．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为．求： (1)求正比例函数与一次函数的关系式； (2)在x轴上是否存在一点M使周长最小，若存在，求出点M的坐标； (3)在x轴上求一点Q使为等腰三角形，请求出所有符合条件的点Q的坐标． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，动点P从点A出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿线段向点运动，当Q点到达点B时，点P也停止运动．连接线段，设点P运动的时间为t秒． (1)经过时，写出此时点P的坐标 ，点Q的坐标 ． (2)当线段时，求此时点P运动的时间t． (3)点M为线段中点，在点P、Q运动过程中，以点P、Q、M三点组成的三角形为等腰三角形时，求所有满足要求的t的值． 3．（22-23八年级下·重庆璧山·期中）如图，直线经过点和两点，将沿直线对折使点和点重合，直线与轴交于点与交于点，点的纵坐标为2，连接． (1)求直线的解析式； (2)若点在轴的负半轴上，且的面积为10，求的周长； (3)已知轴上有一点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点的坐标． 4．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是的上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处．求： (1)求A、B两点坐标； (2)求M坐标； (3)在x轴上找一点P，使得以点P、M、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点P的坐标； (4)在x轴上找一点N，且N点在A点的右侧，使得，请直接写出N点坐标． 【经典例题十 一次函数应用之动点问题】 【例10】（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且满足：．    (1)求的值； (2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标． 1．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，直线与坐标轴分别交于A、B两点，，点在直线上，动点P从O点出友，沿X轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动． (1)A点的坐标为_______；B点的坐标为________； (2)直线的函数解析式； (3)设点P的运动时间为t秒，的面积为S，求S与t之间的函数关系式：并求出当时点P的坐标． (4)x轴正半轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25七年级上·云南昆明·期中）如图， 一次函数 的图象经过点 ， 交y轴于点B， 交x轴于点 C． (1)求点 B、C的坐标； (2)在x轴上一动点P， 使最小时，求点 P的坐标； (3)在条件 （2） 下， 求 的面积． 3．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，一次函数的图象与x轴、y轴正半轴分别相交于E，F两点，其中点P是直线上的一个动点，点关于y轴的对称点恰好落在该函数图像上． (1)求k的值； (2)若的面积为15，求点P的坐标． 4．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：． (1)求的面积； (2)如图1，为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，，连接，求直线与轴交点的坐标； (3)如图2，点为轴正半轴上一点，且，，平分，点是射线上一动点，点是线段上一动点，试求的最小值（图1与图2中点坐标相同）． 【经典例题十一 一次函数应用之最值问题】 【例11】（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，动点P从原点O出发在x轴上运动． (1)P点运动到什么位置时离A点最近？写出P点的坐标． (2)P点运动到什么位置时，的值最小，最小值是多少？ (3)P点运动到什么位置时，的值最大，最大值是多少？ 1．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）A、B两个蔬菜基地要向C、D两城市运送蔬菜，已知基地有蔬菜200吨，基地有蔬菜300吨，城市需要蔬菜240吨，城市需要蔬菜260吨．从基地运往C、D两城市的费用分别为每吨20元和每吨25元，从基地运往C、D两城市的费用分别为每吨15元和每吨18元，设从基地运往城市的蔬菜为吨，A、B两个蔬菜基地的总运费为元． (1)求与之间的函数解析式，并写出的取值范围； (2)写出总运费最小时的运送方案，并求出此时的总运费； (3)如果从基地运往城市的费用每吨减少元且，其余线路的运费不变，请直接写出总运费最小时的运送方案． 2．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的，写出的坐标______； (2)计算：的面积是______； (3)若点为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点的坐标______． 3．（23-24八年级上·广西崇左·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴、轴分别交于、两点， 以 为边在第二象限内作正方形 ． (1)直接写出：点的坐标为 ，点的坐标为 ，点的坐标为 ，点 的坐标为 ； (2)能否在轴上找一点 ，使得 的长最小？若能，请求出 点的坐标；若不能，说明理由． 【经典例题十二 一次函数应用之其他问题】 【例12】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）综合与实践 《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】 （1）①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点． ②观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写） 【结论应用】 （2）应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）． 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位是时间的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … 0 2 4 6 8 … 2 2.8 3.6 4.0 5.2 … (1)在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表h，t的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第___________次数据是不准确的． (2)当记录时间为20分钟时，漏刻水位是多少？ (3)求与的函数关系式，并计算当水位为时，对应时间是多少？ 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）综合与实践 问题情境：在物理学中有很多公式可以直接或者间接看成一次函数，例如，在弹性限度内，弹簧的长度随着拉力的增大而不断地增加，当弹簧所受的外力过大时，会损坏它的弹性，使得弹簧被拉到最长且无法复原．某班在实践课上对“弹簧的长度与所受外力之间的关系”进行了探究．    方案设计：“智慧小组”在探究弹簧测力器的“弹簧的长度与所受外力之间的关系”时，多次改变砝码的质量x（单位：），测量得到弹簧的长度y（单位：），且通过实验记录得到的数据如表所示： 砝码的质量 0 50 100 150 200 250 300 400 500 弹簧的长度 2 3 4 5 6 7 如图，“智慧小组”根据实验数据，建立平面直角坐标系，并绘制了部分图象．    问题解决： (1)材料中的数据表格反映了两个变量之间的关系，其中自变量是________． (2)在弹性限度内，求弹簧的长度y与所挂砝码的质量x之间的关系式；当砝码的质量为时，求弹簧的长度． (3)在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过________． (4)根据表格数据，在平面直角坐标系中补全该函数的图象． 3．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据大致如表所示： 流水时间 0 水面高度（观察值） 任务1： 分别计算表中每隔水面高度观察值的变化，你能得出什么结论． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度和流水时间满足一次函数关系． 任务2： 请根据表格中的数据求水面高度与流水时间的函数解析式； 【模型应用】 综合实践小组利用建立的模型，预测了后续的水面高度． 任务3： 当流水时间为时，求水面高度的值． 任务4：当甲容器中的水全部流入乙容器时，实验结束，求实验结束的时间． 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点是一次函数图象上一点． (1)求一次函数的解析式； (2)求出一次函数的图象与轴、轴交点和的坐标； (3)当的面积为5时，求点的坐标． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，直线是一次函数的图象，其与轴交于点，与轴交于点，点是该函数图象上第一象限内的一点． (1)求该一次函数的表达式； (2)连接，若，求点的坐标． 3．（24-25八年级上·安徽·期中）王老师准备购买甲品牌乒乓球个，到商场后发现还有乙品牌乒乓球可供选择，如果调整乒乓球的购买品种，每减少购买个甲品牌乒乓球，需增加购买个乙品牌乒乓球．设购买个甲品牌乒乓球，需购买个乙品牌乒乓球． (1)当减少购买个甲品牌乒乓球时，________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)已知甲品牌乒乓球每个元，乙品牌乒乓球每个元，若购进乙品牌乒乓球的数量不少于甲品牌乒乓球数量的倍，王老师应怎样购买才能保证本次购买费用最低？最低费用是多少？ 4．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点A，交轴于点，点是点A关于轴对称的点，过点作轴平行的射线，交直线与点，点是射线上的一个动点． (1)点A的坐标为______，点的坐标为_______； (2)若直线与直线的交点为（不与点重合），连接，当与的面积满足时，请求出对应的点坐标． 5．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于两点，过点的直线与轴交于点． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)在直线上是否存在点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（24-25八年级上·山东青岛·期中）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶； 方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的付款． 某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于的函数表达式． (2)当时，请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． 7．（24-25八年级上·山东济南·期中）为了鼓励公民节约用电，某市采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．每户家庭每月电费（元）与用电量之间的函数图象如图所示． (1)当时，求与之间的函数表达式； (2)若甲用户某月需缴电费元，求甲用户该月的用电量． 8．（24-25七年级上·上海闵行·期中）甲、乙两地分别对本地各40万人接种流感疫苗．甲地在前期完成5万人员接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种甲地经过a天接种后，由于情况变化，接种速度放缓．图中的折线和线段分别反映了甲、乙两地的接种人数y（万人）与接种时间x（天）之间的函数关系根据图像所提供的信息回答下列问题：      (1)乙地比甲地提前了___________天完成疫苗接种工作． (2)试写出乙地接种人数y（万人）与接种时间x（天）之间的函数解析式（并写出定义域）__________________． (3)当甲地放缓接种速度后，每天可接种多少万人？ 9．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数的图象经过点和点且点在正比例函数的图象上． (1)求一次函数的解析式； (2)若点的坐标为，求的面积； (3)点为轴上一动点，若，求点的坐标． 10．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点和点，经过点的另一条直线交轴于点． (1)求的面积； (2)求直线l的函数解析式； (3)在直线l上求一点，使． 11．（24-25八年级上·全国·期末）某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 12．（24-25八年级上·全国·期中）为美化校园，某学校计划购进A，B两种树苗共棵，已知A种树苗每棵元，B种树苗每棵元． (1)若购进A，B两种树苗刚好用去元，求购进A，B两种树苗各多少棵？ (2)若购进A种树苗a棵，所需总费用为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进B种树苗的数量不少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用． 13．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）某个体户购进一批时令水果，天销售完毕，他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据绘制如下的函数图象，其中日销售量（千克）与销售时间（天）之间的函数关系如图（）所示，销售单价（元千克）与销售时间（天）之间的函数关系如图（）所示．（销售额销售单价销售量）． (1)从图（）可知．第天日销售量为_______千克，第天日销售为_______千克． (2)求第天和第天的销售额； (3)若日销售量不低于千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中，“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元？ 14．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图1，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点、与直线交于点． (1)求直线与的解析式； (2)若点在射线上运动，连接，是否存在和的面积比为，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，若为直线上一动点，以为直角作等腰直角三角形，其中，．连接，，当周长最小时，求点的坐标． 15．（24-25八年级上·全国·期中）如图，直线与x，y轴分别交于A，B两点． (1)求点A的坐标． (2)在x轴上有一点M，线段上有一点N，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点M的坐标． 16．（2024九年级上·河南安阳·学业考试）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M为线段的中点． (1)点M的坐标为____________________； (2)y轴上有一动点Q，连接，求周长的最小值及此时点Q的坐标； (3)在（2）的条件下，当的周长最小时，若x轴上有一点F，过点F作直线轴，交直线于点G，交直线于点H，若的长为3，求点F的坐标． 17．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）五月是圣女果与羊角蜜成熟的季节，这两种水果深受人们的喜爱．水果经销商小明每次从两种水果的产地购进两种水果进行销售，圣女果的批发价为5元/千克，羊角蜜每千克的批发价根据购买量给予优惠．设小明购进羊角蜜x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若小明计划一次性购进圣女果、羊角蜜共100千克，且圣女果不少于45千克，但又不超过60千克，如何分配圣女果与羊角蜜的购进量，才能使小明付款总金额元最少？ (3)在（2）的结论下，小明将圣女果与羊角蜜的销售价格分别定为7元/千克和10元/千克，当全部销售完两种水果时，小明决定将总利润的为正整数捐赠给儿童福利院，捐赠后使总利润不低于256元，求m的最大值． 18．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为，点A的坐标为． (1)求k的值； (2)若点是直线在第二象限内的一个动点，在点P的运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)在（2）的情况下，当点P运动到什么位置时，的面积为？ 19．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）某公司采购员到紫阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式： 会员卡费用（元/张） 茶叶价格（元/kg） 方式一：会员 500 1600 方式二：非会员 0 2100 设该公司此次购买茶叶，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元． (1)请直接写出、关于x的函数表达式； (2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，则该公司此次购买了多少千克这种茶叶？ (3)若该公司此次购买茶叶的总预算为8400元，则按照哪种方式购买可以获得更多的茶叶？ 20．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）在一次函数的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“画函数的图象一根据图象研究函数的性质一运用函数的性质解决问题”的学习过程. (1)请通过“列表-描点-连线”的过程画出的函数图象； ①下表是与的几组对应值：的值为____________； ②在平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (2)下列关于函数图象及性质描述正确的是__________； ①此函数图象关于轴对称； ②当时，函数有最小值为0. ③当时，随的增大而增大； (3)已知的图象与轴的交点为点，的图象上有一点，在轴上存在一点，使面积为6，直接写出点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$