精品解析：甘肃省天水市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

天水一中2024~2025学年第一学期高二期中考试数学 全卷满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列，则是这个数列（ ） A. 第11项 B. 第12项 C. 第13项 D. 第14项 2. 以为圆心，4为半径的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，且，则（ ） A 16 B. 8 C. 4 D. 2 4. 已知直线与互相平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 某数学爱好者计划近段时间做不少于100道题，若第一天做1题，以后每天做题的数量是前一天的3倍，则需要的最少天数等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 在等比数列中，，公比，则（ ） A. 6 B. C. 12 D. 7. 已知直线与圆相交于A，B两点，且，则（ ） A. B. 0或 C. D. 或0 8. 已知等差数列，前n项和分别为，，若，则等于（ ） A. 2 B. C. 1 D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知直线与交于点，则（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. 点到直线距离为 10. 等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也是定值的是（ ） A. B. C. D. 11. 直线与曲线恰有两个交点，则实数m的值可能是（ ） A. B. C. 4 D. 5 12. 已知数列前项和满足，，则（ ） A. 数列的奇数项成等差数列 B. 数列的偶数项成等差数列 C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知数列满足，，则______. 14. 直线的斜率的取值范围是______． 15. 过点且与圆C：相切的直线方程为______． 16. 已知数列的前n项和为，且满足.则数列的通项公式为________，的最大值为________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知直线，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 18. 已知在等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最值． 19. 已知圆：，圆：. （1）证明：圆与圆相交； （2）若圆与圆相交于A，B两点，求. 20. 已知单调递减的等比数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求满足的所有正整数的值. 21. 已知数列中，． （1）证明：数列和数列都等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和． 22. 已知某圆的圆心在直线上，且该圆过点，半径为，直线l的方程为． （1）求此圆的标准方程； （2）若直线l过定点A，点B，C在此圆上，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天水一中2024~2025学年第一学期高二期中考试数学 全卷满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列，则是这个数列的（ ） A. 第11项 B. 第12项 C. 第13项 D. 第14项 【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数的特点求出数列的通项公式，最后利用通项公式进行求解即可. 【详解】数列，即数列， 由数列的前几项观察归纳，知被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列， 所以通项公式， 令，解得. 故选：B. 2. 以为圆心，4为半径的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，写出圆的标准方程即得. 【详解】由圆心坐标为，半径为4，得所求圆的标准方程为. 故选：B 3. 在等比数列中，且，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列性质，若，则，即可计算出的值. 【详解】由题意可知，根据等比数列性质，若，则； 所以，因为，所以. 故选：C. 4. 已知直线与互相平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两条直线平行的直线求参数，再利用两平行线间的距离求解即可. 【详解】因为直线与互相平行， 所以有， 所以与的距为： ． 故选：C. 5. 某数学爱好者计划近段时间做不少于100道题，若第一天做1题，以后每天做题的数量是前一天的3倍，则需要的最少天数等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】分析出每天做题数量的规律符合等比数列，求出前天做题总数的表达式，即可求出需要的最少天数. 【详解】由题意，， 每天做题的数量构成等比数列，其中，， 则， 所以， ∵， ∴，所以最少的天数为5． 故选：B. 6. 在等比数列中，，公比，则（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式计算． 【详解】. 故选：A． 7. 已知直线与圆相交于A，B两点，且，则（ ） A. B. 0或 C. D. 或0 【答案】B 【解析】 【分析】由弦长可得圆心到直线的距离，即可求出． 【详解】∵的圆心，半径，， ∴圆心到直线的距离为， 因此有，即，解得或． 故选：B． 8. 已知等差数列，前n项和分别为，，若，则等于（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列性质运算求解. 【详解】因为，为等差数列， 则， 即. 故选：D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知直线与交于点，则（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. 点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】联立直线方程结合其交点坐标求参数a、b，进而应用点线距离公式求到直线的距离即可. 【详解】由题意，得：，解得，，故A、B正确， ∴到直线距离，故C错误，D正确. 故选：ABD. 10. 等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也是定值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】由， 可知为定值，也为定值. 故选：AC 11. 直线与曲线恰有两个交点，则实数m的值可能是（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】BC 【解析】 【分析】由曲线表示圆在轴的上半部分，利用直线与圆相切求出的值，结合图形即可得答案. 【详解】解：曲线表示圆在轴的上半部分， 当直线与圆相切时，，解得， 当点在直线上时，， 所以由图可知实数m的取值范围为， 故选：BC. 12. 已知数列的前项和满足，，则（ ） A. 数列的奇数项成等差数列 B. 数列的偶数项成等差数列 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】令可求出的值，当时，由可得出，两式作差，结合等差数列的定义可判断AB选项；利用并项求和法可判断C选项；由可判断D选项. 【详解】因为数列的前项和满足， 则，即，可得， 当时，由可得， 两式作差，有， 又由，可得当时，，则 有， 可得数列的奇数项、偶数项均成等差数列，可知选项AB正确； ， 故C选项正确； ，故D选项错误． 故选：ABC. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知数列满足，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】分析出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，利用等差数列的通项公式可求得结果. 【详解】由题意可知，对任意的，，故数列是公差为的等差数列， 所以，. 故答案为：. 14. 直线的斜率的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数值域，结合直线斜率即可得到答案. 【详解】因为， 所以直线的斜率． 故答案为：. 15. 过点且与圆C：相切的直线方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】求出圆的圆心、半径，再按直线斜率存在与否分类求解即得. 【详解】依题意，圆表示以为圆心，半径的圆， 当切线的斜率不存在时，过的直线与圆相切； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，则， 解得，此时切线方程为， 所以所求切线方程为或. 故答案为：或 16. 已知数列的前n项和为，且满足.则数列的通项公式为________，的最大值为________. 【答案】 ①. ②. ##0.4 【解析】 【分析】空①利用求出，然后构造等比数列求数列的通项公式； 空②判断数列的单调性，得出的最大值. 【详解】空①,由可得， 当时，，则， 有，有，即. 可得数列成等比数列，有，可得. 空②,记，有， 可得，当时，， 有. 故答案为：；. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知直线，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； （2）利用两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【小问1详解】 因为直线，，且， 则，解得. 【小问2详解】 因为，则，解得或. 18. 已知在等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最值． 【答案】（1），或 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可； （2）根据等差数列前项和，结合二次函数的性质分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，或， 当时，， 当时，， 即，或； 【小问2详解】 当时，， 当时，有最小值，没有最大值； 当时，， 当时，有最大值，没有最小值. 19. 已知圆：，圆：. （1）证明：圆与圆相交； （2）若圆与圆相交于A，B两点，求. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）写出两圆的标准方程，进而确定圆心坐标、半径，判断圆心距离与两圆半径之间的关系即可证结论. （2）根据（1）的结论，将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系求即可. 【小问1详解】 圆的标准方程为，圆心为，半径为2， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， ∴圆和圆的圆心之间的距离为， 由，可知：圆和圆相交，得证. 【小问2详解】 由（1）结论，将圆与圆作差，得：直线AB的方程为， 圆的圆心到直线AB的距离为， ∴. 20. 已知单调递减的等比数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求满足的所有正整数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等比数列的基本量法列方程组求得首项和公比，得通项公式； （2）求出前项和，得其单调性，再通过估值得，从而确定满足题意的值． 【小问1详解】 （1）设公比为，因为等比数列单调递减，所以， 解得， 数列的通项公式为； 【小问2详解】 ， 由单调递增，， 故满足的所有正整数的值为. 21 已知数列中，． （1）证明：数列和数列都为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）通过配凑法证得结论成立. （2）结合累加法求得数列的通项公式. （3）利用错位相减求和法、分组求和法求得. 【小问1详解】 由得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 由得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得， 则， 所以 ， 也符合上式， 所以. 【小问3详解】 ， 令， ， 两式相减得 ， 所以. 所以 . 22. 已知某圆的圆心在直线上，且该圆过点，半径为，直线l的方程为． （1）求此圆的标准方程； （2）若直线l过定点A，点B，C在此圆上，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意，设圆心坐标，列圆的标准方程，代入，即可求出的值，从而得到圆的标准方程. （2）求得直线恒过定点，取BC中点为，则，可得点D的轨迹方程，可求得的取值范围，进而可得的取值范围. 【小问1详解】 由题意可设此圆的方程为， 把点坐标代入得，则， 所以圆的标准方程为． 小问2详解】 直线l方程，即， 则有，可得定点， 取线段BC中点为，则，令原点为O，， 即，化简可得， 即D的轨迹是以为圆心，为半径的圆， A到D轨迹圆心距离为，则的取值范围为， 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$