精品解析：广西南宁市第四十七中学2024-2025学年上学期九年级数学期中试题

2024年秋季学期九年级期中义务教育质量监测 数学 满分：120分 考试时间120分钟 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列四个图形中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可.把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念.中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故选D． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键． 3. 已知⊙O的半径为4cm,如果圆心O到直线l的距离为5cm，那么直线l与⊙O的位置关系（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【详解】∴⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为5cm， ∴4＜5， 即d＞r， ∴直线l与⊙O的位置关系是相离． 故选B. 【点睛】直线和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. ． C. D. ． 【答案】B 【解析】 【详解】根据合并同类项的法则可知，故A错误，不符合题意； 根据积的乘方，等于各个因式分别乘方，可知，故B正确，符合题意； 根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，可知，故C错误，不符合题意； 根据同底数的幂相除，底数不变，指数相减，可知，故D错误，不符合题意． 故选B 5. 如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据邻补角互补求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等得出，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 6. 二次函数的图象与轴的交点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，求出的值即可得到答案． 【详解】解：当时，， 二次函数的图象与轴的交点是， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握与轴的交点是横坐标为0，是解此题的关键． 7. 如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键．利用切线长定理，可以得到：，再根据的周长为16，即可求解． 【详解】解：∵是的切线，． ∴， 同理，， 三角形的周长． ， 故选：C． 8. 一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 即不等式的解集为． 故选：C． 9. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得尺，利用勾股定理可得方程． 【详解】解：设秋千的绳索长为 尺，根据题意可列方程为：即． 故选：C 10. 如图，在中，是外心，是内心，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，由圆周角定理可得，由是的内心，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图， ∴， ∵是的内心， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内心、外心，三角形内角和定理，圆周角定理等知识．熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点，外心是垂直平分线的交点是解题的关键． 11. 如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，OA=OB=OC=2，则这朵三叶花的面积为（ ） A. 3π–3 B. 3π–6 C. 6π–3 D. 6π–6 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知, 三叶花的面积等于6个小弓形的面积之和, 根据圆弧是圆周, 叶片两端的弦长为2, 求出圆弧的圆心角为90度, 半径为2, 进而求出弓形的面积, 于是求出三叶花的面积. 【详解】由题意可知, 三叶花的面积等于6个小弓形的面积之和,又知圆弧是圆周, 叶片两端的弦长为2,故知圆弧的圆心角为90度,所以小弓形的面积 = 故三叶花的面积=6()=3-6, 故答案为B. 【点睛】此图形直接从整体考虑, 难以下手, 可将其适当分割, 放入有关扇形中处理,这也是处理这类问题常用的方法. 错因分析：较难题.选错的原因是：1.不能想到把复杂图形分割成常见的简单图形；2.未能掌握弓形面积的计算方法；3.计算时出错. 12. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．直线与抛物线交于点D，与直线交于点E．连接，．若，则a的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式分别求出A、B、C、D的坐标，再根据，得到关于a的方程，故可求解． 【详解】∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． 令=0 解得x1=-2a，x2=3a， ∴A（-2a，0），B（3a，0） 令x=0， ∴C（0，） 联立抛物线与直线得 解得或 ∴D（2a，） ∵ ∴ ∴= 解得a=2 故选B． 【点睛】此题主要考查函数与几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、坐标的特点及三角形的面积公式． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 抛物线的开口方向是向______（填“上”或“下”）． 【答案】下 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，对于二次函数（a是常数且），当时，二次函数开口向上，当时，二次函数开口向下，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线的开口方向是向下， 故答案为：下． 14. 因式分解： ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握提公因法因式分解是解题关键．提公因式，即可获得答案． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为______度． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形两底角相等求，再根据、都是旋转角解答． 【详解】解：， ， 绕点旋转得到， ， ， ， ∴旋转角的度数， 故答案为：50． 16. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_______________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次项系数非零以及根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得 且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键． 17. 正三角形的半径为，则此三角形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆内接正多边形，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟练运用数形结合的数学思想是解题的关键； 先画出相应的图形，然后连接、，过点作于，根据等腰三角形性质得出，求出，根据勾股定理求出，即可求出，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：如图，是的内接正三角形，连接、，过点作于， 由题意可知， ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定点H的运动轨迹，再根据点与圆的位置关系可得取最小值时，点H的位置，然后利用圆周角定理、线段的和差即可得． 【详解】如图，设AD的中点为点E，则 由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上 由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E交于点H，则此时取得最小值， 连接BD AB为半圆O的直径 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、点与圆的位置关系、勾股定理等知识点，依据题意，确定点H的运动轨迹，从而得出BH取最小值时，点H的位置是解题关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，先计算算术平方根和零指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 20. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解方程是解题的关键． 由，变形为，进一步计算即可求解． 【详解】解： ∴或 ∴，． 21. 利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图． （1）画出关于原点O对称的中心对称图形； （2）画出绕点A顺时针旋转得到的，并写出点的坐标为___： （3）在（2）的旋转变换中，求线段扫过的面积． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作： （2） 解：如图，即为所求作，由图知，点的坐标为， 故答案为：； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换和中心对称变换、扇形面积公式、勾股定理，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答的关键． （1）根据中心对称性质作图即可； （2）根据旋转性质作图即可，然后根据点所在位置写成坐标； （3）根据扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意，线段扫过的面积是以点为圆心，为半径，圆心角是的扇形面积， ∵，， ∴线段扫过的面积为． 22. 学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表．请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： 借阅图书的次数 0次 1次 2次 3次 4次及以上 人数 7 13 a 10 3 （1）填空： ． ． （2）请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数； （3）若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数． 【答案】（1）17，20；（2）72°；（3）120人 【解析】 【分析】（1）先求出调查的学生总人数，然后用总人数减去其它几种借阅图书的次数的人数即可求解； （2）用 乘以借阅“3次”所占的百分比即可求解； （3）用2000乘以样本中借阅“4次”所占的百分比即可求解． 【详解】解：（1）调查的学生总人数： （人）， ∴ （人） ， 故 ； （2）“3次”所对应扇形的圆心角的度数 ； （3） （人）． 【点睛】本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 23. 随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第（为整数）个月每台的销售价格为（单位：元），与的函数关系如图所示（图中为一折线）． （1）当时，求每台的销售价格与之间的函数关系式； （2）设该产品2022年第个月的销售数量为（单位：万台），m与的关系可以用来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入每台的销售价格销售数量） 【答案】（1） （2）第5个月的销售收入最多，最多为3375万元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据销售收入每台的销售价格销售数量求得销售收入为万元与销售月份之间的函数关系，再利用函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：当时，设每台的销售价格与之间的函数关系式为． ∵图象过两点， ，解得 ∴当时，每台的销售价格与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 设销售收入为万元， ①当时，， ，当时，（万元）． ②当时，， ， ∴随的增大而增大， ∴当时，（万元）． ，∴第5个月的销售收入最多，最多为3375万元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 24. 综合探究：如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点作，交的延长线于点，平分． （1）若为的直径，求证；与相切； （2）若为的直径，，求的度数； 【答案】（1） 证明：如图，连接 ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∵为的半径， ∴与相切． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，平行线的性质与判定等等： （1）连接，由得，根据平分，即得，而，即可得，故与相切； （2）先判断出，得出，进而求出，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为的直径， ∴． ∵， ∴． ∴． 由（1）知， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 25. 如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求3m+n的值； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． (3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值． 【答案】(1)9；(2)点Q的坐标为(2，1﹣2)或(2，1+2)或(2，﹣)或(2，﹣7)；(3)b＝﹣3或﹣． 【解析】 【分析】(1)求出B、C的坐标，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解； (2)分CP＝PQ、CP＝CQ、CQ＝PQ，分别求解即可； (3)分两种情况，分别求解即可． 【详解】解：(1)直线y＝x﹣3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝﹣3， 故点B、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)， 将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得： ， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，则点A坐标为(1，0)，顶点P的坐标为(2，1)， 3m+n＝12﹣3＝9； (2) ①当CP＝CQ时， C点纵坐标为PQ中点的纵坐标相同为﹣3， 故此时Q点坐标为(2，﹣7)； ②当CP＝PQ时， ∵PC=， ∴点Q的坐标为(2，1﹣)或(2，1+)； ③当CQ＝PQ时， 过该中点与CP垂直的直线方程为：y＝﹣x﹣， 当x＝2时，y＝﹣，即点Q的坐标为(2，﹣)； 故：点Q的坐标为(2，1﹣2)或(2，1+2)或(2，﹣)或(2，﹣7)； (3)图象翻折后的点P对应点P′的坐标为(2，﹣1)， ①在如图所示的位置时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点， 此时C、P′、B三点共线，b＝﹣3； ②当直线y＝x+b与翻折后的图象只有一个交点时， 此时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点； 即：x2﹣4x+3＝x+b，△＝52﹣4(3﹣b)＝0，解得：b＝﹣． 即：b＝﹣3或﹣． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及的知识点有待定系数法求二次函数解析式，一次函数的图像与性质，勾股定理，等腰三角形的定义，二次函数的翻折变换及二次函数与一元二次方程的关系.难点在于(3)，关键是通过数形变换，确定变换后图形与直线的位置关系，难度较大.本题也考查了分类讨论及数形结合的数学思想. 26. （1）【学习心得】 小宸同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得简单． 例如：如图1，在中，，，求的度数，若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ． （2）【问题解决】 如图2，在四边形中，，，求的度数．小宸同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：是否能找到一个圆，确定圆心和半径，使得四点都在这个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出的度数，请运用小宸的思路解决这个问题，并写出解题过程． （3）【问题拓展】 ①如图3，的三条高相交于点，求证：． ②如图4，在中，，是边上的高，且，，求出的长． 【答案】（1）45；（2）； （3）证明：∵，如图3， ∴点A、F、H、E在以为直径的同一个圆上， ∴， 同理：点B、D、H、F在以BH为直径的同一个圆上，∠DFC=∠CBE， 又∵， ∴； （4） 【解析】 【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解； （2）由A、B、C、D共圆，得出； （3）①先判断出点A、F、H、E在以为直径的同一个圆上，得出，同理得出，即可得出结论；②如图4，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接．利用圆周角定理推得是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得；在等腰中，利用勾股定理得到；则在中，易得，进而得解． 【详解】（1）解：如图1， ∵， ∴点B、C、D都在以点A为圆心，以长为半径的圆上， ∵是的圆心角，而是圆周角， ∴， 故答案为：45； （2）解：如图2，取的中点O，连接． ∵， ∴点A、B、C、D共圆， ∴， ∵， ∴； （3）①略 ②解：如图4，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵，O为圆心， ∴， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，判断四点共圆是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期九年级期中义务教育质量监测 数学 满分：120分 考试时间120分钟 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列四个图形中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知⊙O的半径为4cm,如果圆心O到直线l的距离为5cm，那么直线l与⊙O的位置关系（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不确定 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. ． C. D. ． 5. 如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象与轴的交点是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 无法确定 8. 一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 或 9. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是外心，是内心，，则等于（ ） A. B. C. D. 11. 如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，OA=OB=OC=2，则这朵三叶花的面积为（ ） A. 3π–3 B. 3π–6 C. 6π–3 D. 6π–6 12. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．直线与抛物线交于点D，与直线交于点E．连接，．若，则a的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 抛物线的开口方向是向______（填“上”或“下”）． 14. 因式分解： ______． 15. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为______度． 16. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_______________． 17. 正三角形的半径为，则此三角形的面积为_________． 18. 如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算： 20. 解方程：． 21. 利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图． （1）画出关于原点O对称的中心对称图形； （2）画出绕点A顺时针旋转得到的，并写出点的坐标为___： （3）在（2）的旋转变换中，求线段扫过的面积． 22. 学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表．请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： 借阅图书的次数 0次 1次 2次 3次 4次及以上 人数 7 13 a 10 3 （1）填空： ． ． （2）请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数； （3）若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数． 23. 随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第（为整数）个月每台的销售价格为（单位：元），与的函数关系如图所示（图中为一折线）． （1）当时，求每台的销售价格与之间的函数关系式； （2）设该产品2022年第个月的销售数量为（单位：万台），m与的关系可以用来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入每台的销售价格销售数量） 24. 综合探究：如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点作，交的延长线于点，平分． （1）若为的直径，求证；与相切； （2）若为的直径，，求的度数； 25. 如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求3m+n的值； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． (3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值． 26. （1）【学习心得】 小宸同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得简单． 例如：如图1，在中，，，求的度数，若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ． （2）【问题解决】 如图2，在四边形中，，，求的度数．小宸同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：是否能找到一个圆，确定圆心和半径，使得四点都在这个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出的度数，请运用小宸的思路解决这个问题，并写出解题过程． （3）【问题拓展】 ①如图3，的三条高相交于点，求证：． ②如图4，在中，，是边上的高，且，，求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $