1.4.2.3空间向量的综合应用教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第3课时 空间向量的综合应用   一、教学目标 1.理解利用空间向量解决立体几何问题的三步曲； 2.理解解决立体几何问题，可用的三种方法：几何法、向量法、坐标法； 3.理解如何求解直线上的相关动点坐标； 4.了解用空间向量法解决立体几何问题时，不一定非要建立空间直角坐标系，也可以建立空间基底，或直接进行向量线性运算.   二、教学重难点 重点：掌握利用空间向量解决立体几何问题的三步曲. 难点：会用解决立体几何问题的三种方法：几何法、向量法、坐标法．   三、教学过程 （一）创设情境 复习回顾 问题1：如何利用空间向量表示直线与直线的关系？ 预设答案：设,分别是直线l1∥l2的方向向量， l1∥l2⟺ ∥⇔∃λ∈R，使得=λ. l1⊥l2⟺ ⊥⟺∙=0. 问题2：如何利用空间向量表示直线与平面的关系？ 预设答案：设是直线l方向向量,是平面α的法向量， l∥α ⇔ ⊥ ⟺ ∙=0. l⊥α⟺ ∥⟺ ∃λ∈R,使得=λ⃗. 问题3：如何利用空间向量表示平面与平面的关系？ 预设答案：设,分别是平面α，β的法向量， α∥β ⇔ ∥ ⇔ ∃λ∈R ,使得 =λ. α⊥β⟺ ⟺ ∙=0. 师生活动：教师提出问题，让学生回顾思考并回答. 设计意图：通过复习用空间向量表述直线、平面的平行与垂直关系，为接下来的学习打下铺垫. （二）探究新知 任务1：回顾空间中距离问题 师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报展示. 空间两点之间的距离 | |= = 点到直线的距离，两条平行直线的距离 PQ= = 点到平面的距离 PQ=== 直线与平行平面的距离 两平行平面的距离 设计意图：通过思考探究，让学生深刻、形象地掌握向量表示两条直线的垂直关系，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养. 任务2：回顾空间中的夹角问题 师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报展示. 用空间向量求两条直线l1,l2夹角θ的步骤与方法： 化为向量问题：①转化为求两直线l1,l2的方向向量u，v的夹角; 进行向量运算：②计算cos⟨u，v⟩=的值; 回到图形问题：③两条直线l1,l2夹角θ的余弦值cosθ=|cos⟨u，v⟩| 用空间向量求直线l 与平面α所成角θ的步骤和方法： 化为向量问题：①转化为求直线l 的方向向量u与平面α的法向量n的夹角; 进行向量运算：②计算cos⟨u，n⟩=的值; 回到图形问题：③直线l 与平面α所成角θ的正弦值sinθ=|cos⟨u，n⟩| 用空间向量求平面α与平面β的夹角： 化为向量问题：①转化为求平面α的法向量n1与平面β的法向量n2的夹角 进行向量运算：②计算cos⟨n1，n2⟩=的值. 回到图形问题：③平面α与平面β的夹角为θ，则余弦值 cosθ=|cos⟨n1，n2⟩|. 设计意图：通过两个任务，复习巩固用向量表示空间中的距离和夹角问题，让学生进一步掌握这些知识，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养. （三）应用举例 例1 如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°，已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)． 分析：因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小.8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量. 解：如图， 设水平面的单位法向量为n,其中每根绳子的拉力均为F,因为<n,F>=30°,所以F在n上的投影向量为.所以8根绳子拉力的合力F合=8×=4. 又因为降落伞匀速下落，所以|F合|=|G礼物|=1×9.8=9.8(N). 所以4=9.8，所以|F|=(N) 设计意图：规范解题，作好学生的示范.特别强调先设向量，再把实际问题转化为向量问题来求解，最后回答实际问题. 例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点,作EF⊥PB交点F. (1)求证：PA//平面EDB； (2)求证：PB⊥平面EFD； (3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 问题1：本题主要涉及了立体几何中的几类问题？ 直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角. 问题2：仔细阅读题目条件，你能得到什么启示？用什么样的方法解决本题？ 由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题. 解：以D为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设DC=1. (1) 证明：连接AC，交BD于点G，连接EG. 依题意得A(1，0，0)，P(0，0，1)，E(0，，). 因为底面ABCD是正方形,所以点G是它的中心，故点G的坐标为(，，0)，且=(1，0，-1)，=((，0，−). 所以=2，即PA∥EG. 而EG⊂平面EDB，而PA⊄平面EDB. 因此PA//平面EDB. (2)证明：依题意得， B(1，1，0)，=(1，1，-1)， 又=(0，，)，故∙ =0+−=0. 所以 PB⊥DE. 由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E, 所以 PB⊥平面 EFD. (3)解：已知EF⊥PB，由(2)知DF⊥PB, 故∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角. 设F (x,y,z),则 =(x,y,z-1). 因为=k ,所以(x,y,z-1)=(k,k,-k), 即x=k，y=k，z=1-k. 设∙ =0 ，则(1,1,-1)∙(k,k,1-k)=k+k-1+k=3k-1=0， 所以k=, 所以点F(， ，). 又点E的坐标为(0，，), 所以=(-， ，-) 所以 cos∠EFD=,所以∠EFD=60°， 即平面 CPB 与平面 PBD 的夹角大小为 60°. 设计意图：认识直线上的动点是如何用坐标来研究并解决问题的,为以后提升空间几何问题的解题能力作铺垫. 【总结】用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”: ①用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素-化为向量问题 ②进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系-进行向量运算 ③把运算结果“翻译”成相应的几何意义-回到图形 解决立体几何中的问题，可用三种方法： （1）综合法：以逻辑推理作为工具解决问题； （2）向量法：利用向量的概念及其运算解决问题； （3）坐标法：利用数及其运算来解决问题. 例3 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，甲乙之间拉紧的绳长为d，求库底与水坝所在平面夹角的余弦值. 解： 由题意可知AC=a，BD=b，CD=c，AB=d，所以 d2=²=(++)²=+²+²+2∙+2∙+2∙=a²+c²+b²+2∙=a²+c²+b²−2∙ 则2∙=a²+c²+b²−d², 设向量与的夹角为θ，θ就是库底与水坝所在平面的夹角 因此 2abcosθ=a²+c²+b²−d²,所以cosθ=. 故库底与水坝所在平面夹角的余弦值为. 【总结】利用空间向量解决实际问题 (1)分析实际问题的向量背景，将题目条件、结论转化为向量问题. (2)对于和垂直、平行、距离、角度有关的实际问题，可以考虑建立向量模型，体现了数学建模的核心素养. 设计意图：通过例题，熟悉利用空间向量解决实际问题，并强化数学运算的核心素养． （四）课堂练习 1.如图所示，已知正方体，，分别是正方形和的中心，求和所成的角． 解：以为原点，分别以射线，，为轴、轴、轴的非负半轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为，则，，，，，， ，， ，，异面直线和所成的角是． 2.如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，求直线与平面所成角的正弦值． 解：根据题意，可建立以为坐标原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，如下所示， 则，，， 于是，，， 设平面的法向量为，由 于是得到 解得，， 因此可设， 于是与所成夹角的余弦值为， 因此直线与平面所成角的正弦值即为．  3.直三棱柱，，，点分别为和的中点若二面角为直二面角，求的值． 解：以为坐标原点，分别以直线、、为，，轴，建立直角坐标系，如图， 设，则，于是，，，，，． 所以，， ，， 设是平面的法向量， 由，得， 令，可取， 设是平面的法向量， 由，得 令，则， 因为二面角为直二面角， 所以， 即， 解得．  4.在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”在如图所示的“阳马”中，侧棱底面，记的重心为． 求点到平面的距离． 求平面与平面夹角的大小． 解：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以的重心，，，， 设平面的法向量为， ， 取，则，，则， 所以点到平面的距离为：， ，设平面的法向量为， ， 取，则，，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 又， 所以， 所以平面与平面的夹角为．  设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固利用向量求直线与直线所成角、直线与平面所成角即两平面的夹角，并能够灵活运用. （五）归纳总结 【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？ 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”: ①用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素 ②进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系 ③把运算结果“翻译”成相应的几何意义 解决立体几何中的问题的方法：综合法 ，向量法，坐标法. 设计意图:突出本节课的重点，利用向量法解题的三步曲；加强本节课对于向量法求解立体几何问题的新认知，即向量法解题可以建系用坐标运算法，也可以不建系用基底运算法，还可以用线性运算和数量积运算. 学科网（北京）股份有限公司 $$