1.4.2.2用空间向量研究夹角问题教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第 2 课时 用空间向量研究夹角问题  一、教学目标 1.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成的角； 2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成的角； 3.理解二面角的夹角与两个平面法向量的夹角之间的关系，会用向量方法求二面角的大小．   二、教学重难点 重点：能用向量方法解决空间的夹角问题． 难点：体会向量方法在研究几何问题中的作用．   三、教学过程 （一）创设情境 迈克尔·杰克逊出生于印第安纳州加里市，被称为“流行音乐之王”.迈克尔·杰克逊除了他擅长的歌曲，还有他那漂亮的太空步，尤其像谜一样存在的招牌动作45度倾斜舞步，据说迈克尔杰克逊早在1993年就申请了专利，专利名称“摆脱地心引力的幻想”.同学们，45度到底指的是哪个角呢？ 想一想：空间角包括哪些角？用向量的方法如何求这些角？ 师生活动：教师展示生活中空间角的实例，之后提出问题，引导学生思考如何将其数学化. 设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移. （二）探究新知 任务1：用向量求异面直线所成的角——线线角 若异面直线所成的角为，其方向向量分别是，，两条直线的方向向量的夹角与两异面直线所成角关系是什么？ 要求：1.先独立思考2分钟； 2.小组内交流讨论； 3.以小组为单位进行展示汇报. 师生活动：先独立思考，再小组内交流，并汇报展示. 设计意图：通过对异面直线所成角的知识的梳理，延伸至用方向向量所成角表示异面直线所成的角，明确这节课要突破和学习的重点知识内容. 总结：若异面直线所成的角为，其方向向量分别是，，则 任务2：利用向量方法求直线与平面所成的角. 探究：直线与平面相交于点，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线的方向向量与平面的法向量的夹角与直线与平面所成角关系是什么？ 要求：1.小组内交流讨论； 2.以小组为单位进行展示汇报； 3.师生共同归纳总结. 师生活动：小组内交流，并汇报展示，师生共同归纳. 设计意图：实现将直线和平面所成的角与直线的方向向量和平面法向量所成角的转化，突出重点，突破难点. 总结：直线与平面相交于点，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则 任务3：用向量求两个平面的夹角. 1. 平面与平面所成的角 如图，平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角. 探究：设平面与平面的夹角为，两个平面的夹角与这两个平面的法向量的夹角有什么关系? 要求：1.先独立思考1分钟； 2.学生代表进行展示汇报. 师生活动：学生独立思考，并汇报展示. 设计意图：实现将平面和平面所成的角与平面法向量所成角的转化，同时，培养了学生独立思考、解决问题的能力. 总结：若平面的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角，设平面与平面的夹角为，则 （三）应用举例 例1 如图1.4-19，在棱长为的正四面体中，分别为的中点，求直线和夹角的余弦值. 分析：求直线和夹角的余弦值，可以转化为求向和夹角的余弦值. 用向量方法求解几何问题时，首先要用向量表示问题中的几何元素.对于本问题，如何用向量表示异面直线和？它们所成的角可以用向量之间的夹角表示吗？ 追问1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化成向量问题？ 师生活动：首先教师分析题目的条件：已知正四面体的棱长和棱与棱之间夹角，和是中线，其模长可求，与其他棱的夹角也是确定的，这些条件都有利用向量基底的选取.接着在学生回答的基础上，教师补充后形成共识：求异面直线和的夹角时，只要用基底向量表示它们的方向即可，这样，异面直线和的夹角，可以转化为求向量和的夹角.为此，选择为基底并表示向量和. 在此基础上，将此问题推广到一般，学生思考后作答，教师对学生的回答给予补充.梳理出将立体几何问题转化成向量问题的途径： 途径1：通过建立一个基底，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题； 途径2：通过建立空间直角坐标系，用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题.实际上，空间直角坐标系也是基底，是“特殊”的基底. 追问2：请你通过向量运算，求出向量夹角的余弦值，进而求出直线和夹角的余弦值. 师生活动：学生利用向量的数量积求出向量夹角的余弦值，从而解决问题. 解：化为向量问题以为基底，则 , 设向量和夹角为，则直线和夹角的余弦值为.进行向量运算 = . 而和都是正三角形，所以， 所以， 回到图形问题. 所以，直线和夹角的余弦值为. 师生活动：教师引导学生梳理，得出求异面直线所成的角的两种方法： (1)几何法 解决此类问题，关键是通过平移求解．过某一点作平行线，将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角形求解．主要以“作，证，算”来求异面直线所成的角，同时，要注意异面直线所成角的范围． (2)向量法 利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角转化为两直线的方向向量所成的角，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线的夹角应为两向量夹角的补角，即 . 设计意图：通过用向量方法求解一个空间直线与直线所成角的具体问题，归纳得出用向量方法求解直线与直线所成角的角度的一般方法. 例2 设分别是正方体的棱和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为________. 解：转化为向量问题 建系如图，设， 则 进行向量运算 则 设平面的法向量为 故 令，则， 所以， 回到图形问题 所以与平面所成角的正弦值为|cos〈〉|＝＝. 设计意图：通过用向量方法求解一个空间直线与平面所成角的具体问题，归纳得出用向量方法求解直线与平面所成角的一般方法. 总结：求直线与平面的夹角的方法与步骤 (1)几何法 找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)． (2)向量法 ①建立空间直角坐标系； ②求直线的方向向量； ③求平面的法向量； ④计算：设线面角为，则. 例3 如图1.4-22，直棱柱中，，为中点，分别在棱，上，.求平面与平面夹角的余弦. 分析：平面与平面夹角可以转化为平面与平面法向量的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可. 解：转化为向量问题 以为坐标原点，,所在直线为建立空间直角坐标系，设平面法向量为，平面法向量为，平面与平面夹角即为的夹角或其补角. 进行向量运算 平面的一个法向量为. 由题意，,所以. 设，则 所以, 取，则 回到图形问题 设平面与平面夹角为，则 ， 即平面与平面夹角的余弦为. 师生活动：教师引导学生先分析题意，明确解题思路，再让学生独立解答，教师根据学生的解答板书补充，其中重点关注法向量的求法.为了保证解题规范，教师展示学生的解答，并适当完善学生板书. 设计意图：通过用向量方法求解一个空间平面与平面所成角的具体问题，归纳得出用向量方法求解平面与平面所成角的一般方法. 总结：求平面与平面的夹角的方法与步骤 (1)几何法 在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，把平面角放到三角形中求解二面角的平面角． (2)向量法 ①建立空间直角坐标系； ②求出两个半平面的法向量； ③设二面角的平面角为，则 ；若所求为平面与平面的夹角，则 . ④根据图形判断为钝角还是锐角，从而求出 (或其三角函数). 例4 已知四棱锥,在平行四边形中，为上的点，过的平面分别交于点,且平面. （1） 求证：; （2） 若为的中点，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 分析：（1）根据线面平行的性质定理以及菱形的性质即可得到； （2）根据直线与平面夹角的正弦值，求出线段的长度，建立适当的空间直角坐标系，将平面与平面所成锐二面角的余弦值，转化为求平面和平面法向量夹角的余弦值问题进行求解. (1)证明：如图1， 图1 连接交于点， 因为四边形为平行四边形，且， 所以四边形为菱形，所以． 因为平面，平面平面， 平面， 所以. 因为，所以． (2)解：因为四边形为菱形，所以为的中点. 因为 所以. 因为,所以平面. 所以，∠SAO为直线SA与平面ABCD所成的角. 所以，，所以，, 所以， 因为，，所以，. 如图2，以为原点，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 图2 则 因为为的中点，所以， 因为 所以平面的法向量. 设平面的法向量 因为，则 即 取=， 设平面与平面所成锐二面角为，则 . 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 设计意图：通过例题巩固平面与平面所成的角的求解方法，进一步理解法向量的夹角和两个平面所成角的关系，进一步体会向量方法解决立体几何问题的一般步骤. （四）课堂练习 1.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则异面直线与所成角的余弦值是          与平面所成角的正弦值为          ． 解：根据条件，建立空间直角坐标系，如图： 可知， 则， 则可得 由条件可知平面，则可知 是平面的一个法向量， 又，则可知， 设与平面所成的角为， 则． 2.在长方体中，，，是的中点．则(    ) A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 解：由题意，，A正确； 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，B错误； 设平面的法向量为，，则，取，， 则， 又，所以直线与平面所成角的正弦值为，故C正确； 设平面的，则， 所以，取，则， 又，所以点到平面的距离为，D正确． 故选ACD． 3.如图，在四棱锥中，，，，，，，点为的中点． 证明：平面； 当直线与平面所成角为时，求二面角的余弦值． 解：证明：以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于面的直线向上方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图： 则． 设，则由得 由图知，故解得，所以． 设，则，，， 因为，， 所以有，解得 故，则， 因为，易知平面的一个法向量， 因为，所以平面 由知， 因为直线与平面所成角为，且平面， 故有， 因为，故解得，所以， 则， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 则平面的一个法向量 设平面的法向量为， 则有，令，则， 则平面的一个法向量 设二面角的平面角为，由图知为锐角， 故， 即二面角的余弦值为． 4.如图所示的多面体中，底面为矩形，平面，平面，平面，，且，，，． Ⅰ求的长； Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值． 解：Ⅰ建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 设． 易得平面平面， ，又，所以为平行四边形， 由，得， ，， ， 则． Ⅱ设为平面的法向量，直线与平面所成的角为， ，， 由，可得． 又， 所以． 故直线与平面所成角的正弦值为． 5.中，，，，分别是边，上的点，且，于，，将沿折起，点到达，此时满足面面． 若，求直线与面所成角大小； 若，分别为，中点，求锐二面角的余弦值． 解：解：，，，， 为的中点，，，， ，又平面平面，平面平面，平面， 则为直线与面所成角， 若，由，得，，， ，又， ，又是锐角，， 故直线与面所成角大小为； 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， ，分别为，中点，则，， ，，，，， 设平面的一个法向量为， 由，取，得； 平面的一个法向量， ， 锐二面角的余弦值为. 设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固异面直线垂直和求异面直线所成角，能够灵活运用. （五）归纳总结 【课堂小结】通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？ 设计意图：师生共同小结本节课学习的内容和学习过程，通过小结，让学生体会到，方向向量或法向量刻画了直线与平面的方向的差异，因而可用方向向量或法向量“代表”直线或平面，将直线、平面间的角度问题转化为求相应的方向向量、法向量的夹角. 进一步体会用向量解决立体几何问题的一般步骤. 学科网（北京）股份有限公司 $$