1.4.2.1用空间向量研究距离问题教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时 用空间向量研究距离问题  一、教学目标 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行平面的距离问题； 2.能利用投影向量得到点到直线、点到平面的距离公式，结合一些具体距离问题的解决； 3.能用向量方法解决具体问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用； 4.归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，提升直观想象、数学运算等素养.  二、教学重难点 重点：点到直线的距离的向量表示与点到平面的距离的向量表示． 难点：点到在线的距离、点到平面的距离、两条平行直线之间的距离、直线到平面的距离之间的相互转化．   三、教学过程 （一）创设情境 如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点处，修建一个蔬菜存储库。如何在公路上选择一个点, 修一条公路到达点, 要想使这个路线长度理论上最短, 应该如何设计？ 师生活动：教师展示生活中空间角的实例，之后提出问题，引导学生思考如何将其数学化. 设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移. （二）探究新知 思考：空间中包括哪些距离? 两点间的距离、点到直线的距离、两平行线之间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平行平面间的距离. 问题1：这些距离问题如何归类？ 两点间的距离 问题2：如何用向量研究距离？ 距离 向量的模 空间两点间的距离 空间向量的模 空间中其他距离 投影向量/勾股定理 设计意图：明确研究内容和研究思路，将距离问题归类，引导学生研究其中最基本的问题, 明晰要素，向量表示，探究点到直线的距离. 任务1：用向量方法求点到直线的距离 探究：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.如何利用这些条件求点到直线的距离？ 要求：1.先独立思考2分钟； 2.小组内交流讨论； 3.以小组为单位进行展示汇报. 追问1：问题中有哪些几何要素？如何用向量来表示这些几何要素？ 如图1.4-16，向量在直线上的投影向量为，则是直角三角形． 追问2:作出点到直线的距离,向量与点到直线的距离之间有什么关系? 师生活动:学生自主探究,得出向量及其在直线上的投影向量与之间的关系,得到. 因为都是定点，所以，与的夹角都是确定的．于是可求．再利用勾股定理，可以求出点到直线的距离． 师生活动:教师引导学生用向量表示问题中的点和直线两个几何要素.用直线上任意一点和点构成向量,建立点与直线的关联;直线由一个点和一个方向向量确定,可以取单位方向向量表示直线的方向向量. 设，则向量在直线上的投影向量． 追问3:你能借助图形,用向量方法求出点到直线的距离吗? 在中，由勾股定理，得 思考1:类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 师生活动:教师先引导学生得出在直线上的投影向量的表达式,进而在中,由勾股定理得点到直线的距离公式,讨论得出将两条平行直线之间的距离转化为点到直线的距离. 设计意图:让学生感悟转化思想,化未知为已知.为后续把直线与平面间的距离、两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离,在思想方法上作铺垫. 任务2：用向量方法求点到平面的距离. 探究：类似于点到直线的距离,如何求平面外一点到平面的距离? 要求：1.小组内交流讨论； 2.以小组为单位进行展示汇报； 3.师生共同归纳总结. 如图1.4-17，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点． 追问1:类似于直线可由一个点和方向向量确定,确定一个平面的条件是什么? 师生活动:由学生回答. 追问2:你能类比求点到直线的距离的方法,利用向量投影求出点到平面的距离吗? 过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度． 因此. 师生活动:学生独立思考,然后分组讨论交流;教师巡视、点拨;学生分享研究成果,多媒体投影展示,师生评价,梳理成果. 设计意图:类比点到直线距离的研究过程,合作探究,得到点到平面的距离公式,让学生进一步体会平面的法向量在刻画平面、求距离中的作用.在求解点到平面的距离的过程中,平面的法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了图形直观,又提供了代数定量刻画.在这个过程中,向量与起点无关的自由性也为求距离带来了便利. 问题5:如何求平行于平面的直线到平面的距离?两个平行平面之间的距离呢? 师生活动:通过学生回答,把问题转化为求平面外一点到平面的距离,由此得到求距离问题的统一公式. 设计意图:师生共析,将平行于平面的直线到平面的距离和两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离,得到统一的向量表达式,进一步体会转化的思想. （三）应用举例 例1如图1.4-18，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）若为的中点,试求直线到直线的距离. （1）分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离． 解：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则=, 取则 所以，点到直线的距离为． 总结：用向量法求点到直线的距离时的步骤： (1) 建系求有关点的坐标; (2) 直线上任取两点得方向向量，计算其单位向量 ; (3) 由定点与直线上任一点得“斜”向量，并记为； (4) 利用公式得点线距离. （2） 分析：求直线到直线的距离，可以转化为求点到直线的距离.用坐标表示相关的点、直线的单位方向向量，再利用点到直线的距离公式，通过坐标运算即可得出最后结果. 解： 又由的单位向量 . 所以直线到直线的距离即为点到的距离，即 . 总结：用向量法求直线到直线的距离： 求直线到直线的距离，可以转化为求点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式，通过坐标运算即可. 师生活动:教师引导学生分析问题的条件和所求,再根据问题条件建立适当的直角坐标系,用坐标表示相关的点、直线的方向向量、平面的法向量,再利用有关公式,经过坐标运算解决问题.本题的第一问师生共同分析完成,教师示范;第二问学生完成,教师评价. 设计意图:通过典型例题,使学生巩固并逐步掌握利用向量方法求空间距离的方法,体会向量方法在解决距离问题中的作用,渗透用空间向量解决立体几何问题的一般过程. 例2 已知四边形是边长为4的正方形，分别是的中点，平面且,求点到平面的距离. 分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、平面的法向量，再利用点到平面的距离公式，通过坐标运算得出相应的距离。 解：如图，建立空间直角坐标系，则 设平面的法向量则 即 所以, 取，则点到平面的距离 . 总结：用向量法求点到平面的距离的步骤： （1）建系求有关点的坐标 （2）求点与平面上任一点连线的方向向量（如图中的） （3）求平面的法向量； （4）套用点到平面的距离公式求解. 例3 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． 求直线到平面的距离.A B C D A1 B1 C1 D1 E F 分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量、平面的法向量，将直线到平面的距离转化为点到面的距离，再利用点到平面的距离公式，通过坐标运算得出相应的距离。 解：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 =,, x z y A B C D A1 B1 C1 D1 E F ,,平面. 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离． 设平面的法向量则 即 所以, 取是平面的一个法向量. 又因为所以点到平面的距离为. 即直线到平面的距离为. 例4 如图，在棱长为1的正方体中，求平面到平面的距离. A B C D A1 B1 C1 D1 E F x z y 分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、平面的法向量，将平面到平面的距离转化为点到面的距离，再利用点到平面的距离公式，通过坐标运算得出相应的距离。 解：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 =,, 设平面的法向量则 即所以, 取是平面的一个法向量. 设平面的法向量,则 容易由得到 所以平面∥平面 所以点到平面的距离即为平面到平面的距离. 平面到平面的距离为. 总结：求直线到平面的距离、平面到平面的距离 平行直线与平面距离 平行平面的距离 点面距离 点面距离 直线到平面的距离、平面到平面的距离均可转化为点到面的距离，再利用点到平面的距离公式，通过坐标运算得出相应的距离。 总结：用空间向量解决立体几何问题的"三步曲": （1）化为向量问题：建立空间直角坐标系，求所需向量的坐标 （2）进行向量运算：应用向量距离计算公式 （3）回到图形问题：得到所求距离. （四）课堂练习 1.底面为矩形的直四棱柱中，，点在棱上且满足分别为棱的中点，是底面内一点，若直线与平面垂直，则点到平面的距离的大小是          . 解：以  为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设  ，  ，  ，，， 直线平面，   ，解得：  ，即 ， 设点  到平面  的距离为  ，则有： ， 故答案为： ． 2. 如图，已知正三棱柱的所有棱长均为，则线段上的动点到直线的距离的最小值为          ． 解：在正三棱柱  中，在平面  内过作  ， 根据正三棱柱的性质显然得射线  两两垂直， 以点为原点，射线  分别为  轴建立空间直角坐标系，如图， 因正三棱柱  的所有棱长均为， 则  ， 所以  ， 因动点在线段  上，则令  ， 即有点  ，所以  ，则  ， 从而  ， 因此点到直线  的距离   ，当且仅当  时取等号， 所以线段  上的动点到直线  的距离的最小值为  ． 故答案为： ． 3.已知正方形的边长为，平面，且，，分别为，的中点． 求点到平面的距离 求直线到平面的距离． 解：建立以点为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向的空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则 令，则，，所以． 所以点到平面的距离． 因为，所以点到平面的距离． 因为，分别为，的中点，所以． 又因为平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离． 所以直线到平面的距离为．  4.如图，在直三棱柱中，，，，点在棱上，，，，分别为，，的中点，与相交于点． 求证：平面； 求平面与平面的距离． 证明：如图所示建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，，，，． 所以，，． 所以，． 所以， 所以，． 又，平面，平面， 所以平面． 解：由可得，，，， 所以，，所以． 所以  ，  ． 又，，所以平面 平面． 故可知，是平面和平面的法向量． 因为平面 平面， 所以点到平面的距离就是平面与平面的距离，设为． 因为，， 所以． 即两平面间的距离为． 5.如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，点在棱上 求的长，并证明平面； 若，试确定的值，使得到平面的距离为． 证明：因为，，， 在中，由余弦定理得， 所以，即， 又侧面，侧面， 故AB， 又，、平面， 所以平面． 由知，，，两两垂直， 以为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系， 则，，，，， 若，，则，， 设平面的一个法向量为， 则 由题可得， 令，则，，得， 又， ， 解得或符合题意， 当或时，到平面的距离为．  6.如图，高为的等腰梯形，，为的四等分点．现将沿折起，使平面平面，连接、． 若，且满足平面，求实数的值； 当点为边中点时，求点到平面的距离． 解：连接交于，连接   梯形中，，则， 由平面，平面，平面平面， ， 在中，  故即，所以． 设点到平面的距离为． 因为平面平面，平面平面， 在平面中，，， 所以平面． 建立如图所示空间直角坐标系， ，所以，． 设平面的一个法向量为，，  则有，即 令，有， ， 故点到平面的距离为． 设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固点到直线的距离公式与点到平面的距离公式，能够灵活运用. （五）归纳总结 【课堂小结】通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？ 设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。 学科网（北京）股份有限公司 $$