椭圆突破练-2025届高三数学一轮复习

椭圆 一、单选题 1．已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆 的标准方程是（   ） A． B． C． D． 2．对于方程表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线 C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上 3．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 5．设是椭圆上一点，，分别是两圆和上的点，则的最小值、最大值分别为（    ） A．8，11 B．8，12 C．6，10 D．6，11 6．已知为椭圆上一点，分别为其左、右焦点，为坐标原点，，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左顶点为，点是椭圆上关于轴对称的两点.若直线的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、多选题 9．在平面直角坐标系中，将对称轴为坐标轴的椭圆绕其对称中心顺时针旋转45°，得到“斜椭圆”：，设在上，则（    ） A．“斜椭圆”的焦点在直线上 B．“斜椭圆”的离心率为 C．“斜椭圆”旋转前的椭圆标准方程为 D． 10．已知，，，动点满足与的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，且，的中点为，则（   ） A．的轨迹方程为 B．的最小值为1 C．若为坐标原点，则面积的最大值为 D．若线段的垂直平分线交轴于点，则点的横坐标是点的横坐标的倍 11．已知椭圆的离心率为，△的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在直线的斜率分别，，，且，，均不为0. 为坐标原点，则（    ） A． B．直线与直线的斜率之积为 C．直线与直线的斜率之积为 D．若直线，，的斜率之和为1，则的值为 12．已知，是椭圆与双曲线共同的焦点，，分别是，的离心率，点M是它们的一个交点，则以下判断正确的有（    ） A．面积为 B．若，则 C．若，则的取值范围为 D．若，则的取值范围为 三、填空题 13．已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ． 14．设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为 . 15．已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值 . 16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围是 . 四、解答题 17．已知椭圆的两个焦点，点满足． (1)求的取值范围； (2)判断直线与椭圆的位置关系． 18．已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆C上．且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线和直线关于PF对称． （i）证明：直线l过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 19．如图，已知分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的动点，若到左焦点距离的最大值为，最小值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过动点作椭圆的切线，分别与直线和相交于两点，记四边形的对角线相交于点，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由. 参考答案： 1．B 依题意，设椭圆的方程为，由在上，得， 显然的内切圆与直线相切，则该圆半径为1，而， 又，于是，，因此，解得， 所以椭圆 的标准方程是. 2．B 对A，当，即时，曲线的方程为， 此时曲线为两条平行的直线，故A错误； 对B，若为负角，即，则， 此时曲线为双曲线，故B正确； 对C，若为正角，即，当时，， 则曲线的方程为1，是圆，故C错误； 对D，若为椭圆，则，又可变形为， 则为焦点在轴上的椭圆，故D错误． 3．C 设椭圆的长半轴为，则 设关于平分线的对称点为Q， 由椭圆对称性及角平分线性质可知P，，Q三点共线且 又因为，所以是正三角形， 设， 由椭圆定义可得，， 又， 所以， 所以，即，， 所以的面积. 4．D 如图， 设圆的半径为，则，， 则， 的轨迹为椭圆，焦点为，， ，即，，． 椭圆方程为：． 由，得，故， ，要使的值最大，则最大， 为椭圆的左焦点，故 即． 5．C 的圆心为，的圆心为，两圆半径均为， 由于，，所以椭圆的两个焦点分别为和， 由椭圆定义可知：， 所以的最大值为，的最小值为. 6．C 令，显然点不在x轴上，， 则， 由余弦定理得， 因此，而， 于是，整理得，则， 所以的离心率为. 7．D 由题意，椭圆的左顶点为， 因为点是椭圆上关于轴对称的两点，可设，则， 所以，可得， 又因为，即， 代入可得，所以离心率为.    8．B 由，得，则，则， 则，即，解得， 则， 因为，所以， 即，整理得， 则，解得或， 故或． 9．BD 联立与：，得两顶点，，一条半轴长. 联立与：，可另两个顶点，，另一条半轴长. 因为，所以，，则， 所以“斜椭圆”的焦点在直线上，离心率为， “斜椭圆”旋转前的椭圆标准方程为，故AC错误，B正确， 由得，所以，选项D正确. 10．BCD 对于选项A，设，因为，，所以，化简得，故A错误； 对于选项B，因为，则，，则， 所以为椭圆的右焦点，则，故B正确； 对于选项C，设的方程 ，代入椭圆方程，得， 设，则，， 所以， 令，则， 令，则，在为增函数，，， 所以，当且仅当时即等号成立，故C正确； 对于选项D，因为，，， 所以，则， 设，则，则， 所以，则点的横坐标是点的横坐标的倍，故D正确. 11．CD 椭圆的离心率为， ∵，∴，则错误； 设，则， 两式相减可得，∴，则错误； 同理可知,,则正确； 又，则正确；    12．ABD 设，，，，不妨设M在第一象限． ∴，，∴，，． . 对于A，在中，由余弦定理可得， ， ，A正确． 对于B，在中，由余弦定理可得， 即， ∴． ∴ ∴，∴．B正确； 对于C，当时， 即，所以，所以．∵， ∴．设，∴， 所以．C错误； 对于D，，记， ∴，即．D正确； 故选：ABD. 13． 由题知：，① 又椭圆经过点， 所以，② 又，③ 联立解得：， 故椭圆的标准方程为：. 故答案为：. 14． 设，，则，， 即， ，即，当且仅当时等号成立， 故，即，. 故答案为： 15．/0.5 由对称性不妨设P在x轴上方，设，， ∴ 当且仅当取等号， ∵直线l上存在点P满足 ∴ 即， ∴，即， 所以， 故椭圆离心率的最大值为. 故答案为：. 16． 设点的横坐标为，， 则由椭圆的定义可得， ，由题意可得， ， ，， 则该椭圆的离心率的取值范围是，， 故答案为：，． 17．(1) (2)椭圆与直线相离，没有公共点． （1） 依题意知，点在椭圆内部且与原点不重合．由椭圆方程得，由数形结合可得， ①当点在线段上且不与原点重合时，； ②当点在线段的延长线或反向延长线上时，； ③当在椭圆内部且不在直线上时，如图延长交椭圆于点，连接， 则， 且， 综上，的取值范围为． （2）解法一：由题意知，点和直线恰好是椭圆的一对极点和极线， ∵点在椭圆内，∴极线与椭圆相离，故极线与椭圆公共点的个数为零． 解法二： 当时，直线，直线方程可化为， 由可得，，则或， ∴，而椭圆上的点的横坐标的取值范围是， ∴此时椭圆与直线无公共点； 当时，由，消去可得， ， 则 由，则，故 ， ∴此时椭圆与直线无公共点． 综上所述：椭圆与直线相离，没有公共点． 18．(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） （1）因为椭圆离心率为，则， 点在椭圆上，点代入椭圆方程，有，则， 所以椭圆的方程为. （2）（ⅰ）设直线l的方程为，由， 消去y，整理得， 因为l交椭圆C于两点，所以， 设，所以，    因为直线和直线关于对称，轴， 所以， 所以， 所以， 解得. 所以直线l的方程为， 所以直线l过定点. （ⅱ）由题意知l斜率不可能为0,设直线l的方程为，由， 消去，整理得， 因为l交椭圆C于两点，所以， 解得， 则， 由题意可知同号，不妨设， 所以， 所以 令 则，当且仅当即时取等号， 所以面积的最大值为. 19．(1) (2)存在，， （1）设为椭圆上任意一点，由得 则， 且，可得， 由题意可得：，解得，则， 所以椭圆的标准方程为. （2）因为点在椭圆上，则，即， 结合在圆上一点处的切线方程猜测椭圆上的一点处的切线方程为， 下面证明这个猜想： 联立方程，消去y整理得， 即，整理得，解得， 可知直线与椭圆有且仅有一个交点， 即切线的方程为， 令得，令知：得， 因为，则直线，① 又因为，则直线，② 由①②知：， 点的轨迹方程为， 即存在定点，使得为定值6， 即的坐标为或. 学科网（北京）股份有限公司 $$