工程问题（二）（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学北师大版

工程问题（二） 知识梳理 1．基本公式：工作总量=工作效率×工作时间； 工作效率=工作总量÷工作时间； 工作时间=工作总量÷工作效率. 2．利用常见的数学思想方法： 如代换法、比例法、列表法、方程法等 抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间． 重难点 ①熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法； ②工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理； ③根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换； ④工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用． 例题精讲： 【例1】某水池可用甲、乙两根水管注水，单开甲管需12小时，单开乙管需24小时注满.现要求10小时注满水池，并且甲、乙两管合开的时间尽可能的少，那么甲、乙两管合开最少需多少小时？ 【练习1】一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做10天完成.现在要求6天完 成，甲乙至少合作多少天？ 【例2】甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂每月用18天生产上衣，12天生产裤子，共生产720套衣服.乙厂每月用15天生产上衣，15天生产裤子，共生产750套衣服.现在两厂合作生产，每月（30天）最多能生产多少套服装？ 【练习2】甲、乙木器加工厂，他们生产同一规格的桌子和椅子.但是由于各厂的特长不同，甲厂每月用的时间生产桌子，的时间生产椅子，每月生产270套；乙厂每月用的时间生产桌子，的时间生产椅子，每月生产300套.现在两厂联合生产，尽量发挥各自的特长，那么现在每月（均以30天计算）最多能生产多少套桌椅？（一张桌子和一把椅子为一套） 【例3】一项工程，由甲队承担，需工期80天，工程费用100万；由乙队承担，需工期100天，工程费用80万.为了节省工期和费用，实际施工时，甲、乙两队合作若干天后，撤出一个队，由另一个队继续到工程完成.结算时，共支出工程费用86.5万元.那么甲、乙两队合作了多少天？ 【练习3】某项工程若由甲、乙两队承包，天可以完成，需支付1800元；若由乙、丙两队承包，天可以完成，需支付1500元；若由丙、甲两队承包，天可以完成，需支付1600元.现在决定将工程承包给某一个队，保证工程在一个星期内完成，且支付的工程款最少，应选择哪个工程队？所支付的工程款是多少元？ 【例4】蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需小时；排光一池水，单开排水管需小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水……的顺序轮流各开小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？(精确到分钟) 【练习4】蓄水池有甲丙两根进水管和乙丁两根排水管，要注满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需5小时；要排完一池水，单开乙管要4小时，单开丁管需6小时.现池中有的水，如果按甲乙丙丁的顺序循环打开各管，每次每管只开1小时，那么多少小时后水开始溢出水池？ 【例5】现在有A、B、C三位老师参加阅卷，已知A老师单独改阅需10小时，B老师单独改阅需8小时，C老师单独改阅需6小时. (1)如果三位老师同时改阅需要多少时间？ (2)如果按A，B，C，A，B，C……的顺序每个人改阅1小时，则改阅完全部试卷需要多少时间？ (3)如果调整（2）问中的改阅顺序，是否可以将改阅试卷的时间提前半小时？ 【练习5】一项工程，甲单独做要60小时，乙单独做要50小时，如果按甲做1小时，由乙接着做2小时，再由甲接着做3小时，再由乙做4小时，再由甲接着做5小时……的顺序交替工作，每次工作1，2，3，4，5，6，……小时.那么要多少小时完成? 课后练习 1.一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄8小时，乙抄13小时也可以抄完．现在甲先抄2小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才能完成？ 2.甲乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高，甲、乙合作6小时完成了这项工作，如果甲单独做需要11小时，那么乙单独做需要多少小时? 3.甲、乙、丙三人去完成植树任务，已知甲植一棵树的时间，乙可以植两棵树，丙可以植三棵树．他们先一起工作了5天，完成全部任务的，然后丙休息了8天，乙休息了3天，甲没休息，最后一起完成任务．问：从开始植树算起，共用了多少天才完成任务？ 4.甲乙两水管同时打开9分钟能注满水池，现在先打开甲管，10分钟后打开乙，经过3分钟就注满水池，已知甲比乙每钟多注0.6立方米水，求这个水池的容积是多少立方米？ 5.一项工程，单独完成，甲队需要15天，乙队需要20天.现在甲、乙两队合作，因中途两队各休息了几天，所以用了12天才完成了全部工程.已知甲队休息了3天，乙队休息了多少天？ 6.某工程由甲乙两队合作6天完成，厂家需付甲乙共8700元；乙丙两队合作10天完成，厂家需付给乙丙两队9500元，甲丙两队合作5天完成全部工程的，厂家需付甲丙两队共5500元，现在厂家要求不超过15天完成全部工程，可由哪队单独完成此项工程花钱最少？ 工程问题（二）解析 知识梳理 1．基本公式：工作总量=工作效率×工作时间； 工作效率=工作总量÷工作时间； 工作时间=工作总量÷工作效率. 2．利用常见的数学思想方法： 如代换法、比例法、列表法、方程法等 抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间． 重难点 ①熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法； ②工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理； ③根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换； ④工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用． 例题精讲： 【例1】某水池可用甲、乙两根水管注水，单开甲管需12小时，单开乙管需24小时注满.现要求10小时注满水池，并且甲、乙两管合开的时间尽可能的少，那么甲、乙两管合开最少需多少小时？ 解析：甲的工效为，乙的工效为 要使合开的时间尽可能少，所以甲水管需要一直打开10小时 [1-10×]÷=4（小时） 答：甲、乙两管合开最少需4小时. 【练习1】一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做10天完成.现在要求6天完 成，甲乙至少合作多少天？ 解析：甲的工效为，乙的工效为 [1-6×]÷=2.5（天） 答：甲、乙至少合作2.5天. 【例2】甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂每月用18天生产上衣，12天生产裤子，共生产720套衣服.乙厂每月用15天生产上衣，15天生产裤子，共生产750套衣服.现在两厂合作生产，每月（30天）最多能生产多少套服装？ 解析：750÷15×30=1500（套） 720÷12=60（套/天） （30-1500÷60）××60+1500=1620（套） 答：每月（30天）最多能生产1620套服装. 【练习2】甲、乙木器加工厂，他们生产同一规格的桌子和椅子.但是由于各厂的特长不同，甲厂每月用的时间生产桌子，的时间生产椅子，每月生产270套；乙厂每月用的时间生产桌子，的时间生产椅子，每月生产300套.现在两厂联合生产，尽量发挥各自的特长，那么现在每月（均以30天计算）最多能生产多少套桌椅？（一张桌子和一把椅子为一套） 解析：经分析： 乙厂擅长生产桌子，每月生产300÷=900（张） 甲厂全月生产椅子：270÷=675（把） 以甲厂为标准： 乙厂生产675张桌子要675÷900=（月） 还有个月的时间成套生产300×=75（套） 675+75=750（套） 答：最多能生产750套桌椅. 【例3】一项工程，由甲队承担，需工期80天，工程费用100万；由乙队承担，需工期100天，工程费用80万.为了节省工期和费用，实际施工时，甲、乙两队合作若干天后，撤出一个队，由另一个队继续到工程完成.结算时，共支出工程费用86.5万元.那么甲、乙两队合作了多少天？ 解析：设加队工作为x天，则甲队完成的工作量为，乙队完成的工作量为（1-） 100×+80×（1-）=85.5 解得：x=26 答：甲、乙两队合作了26天. 【练习3】某项工程若由甲、乙两队承包，天可以完成，需支付1800元；若由乙、丙两队承包，天可以完成，需支付1500元；若由丙、甲两队承包，天可以完成，需支付1600元.现在决定将工程承包给某一个队，保证工程在一个星期内完成，且支付的工程款最少，应选择哪个工程队？所支付的工程款是多少元？ 解析：甲乙合作一天完成：1÷=，支付1800×=750（元）； 乙丙合作一天完成：1÷=，支付1500×=400（元）； 甲丙合作一天完成：1÷=，支付1600×=560（元）； 三人合作一天完成：（++）÷2= 三人合作一天支付：（750+400+560）÷2=855（元） 甲单独做每天完成：-=，支付855-400=455（元）； 乙单独做每天完成：-=，支付855-560=295（元）； 丙单独做每天完成：-=，支付855-750=105（元）； 所以通过比较，选择乙来做，在1÷=6（天）完工，且只用295×6=1770（元） 【例4】蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需小时；排光一池水，单开排水管需小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水……的顺序轮流各开小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？(精确到分钟) 解析：1小时排水比1小时进水多，每过2小时，池水就减少 因为，说明水池的水排完不需要8小时 假设水池的水是8小时刚好全部排完，则需要多池子水的 排一池子需要3小时，排一池子水的需要3×=小时 8- =小时=7小时54分 答：7小时54分长时间后水池的水刚好排完. 【练习4】蓄水池有甲丙两根进水管和乙丁两根排水管，要注满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需5小时；要排完一池水，单开乙管要4小时，单开丁管需6小时.现池中有的水，如果按甲乙丙丁的顺序循环打开各管，每次每管只开1小时，那么多少小时后水开始溢出水池？ 解析：四个水管开一个周期的效率为：= 这样5个周期（即20小时）后，=（小时） 水开始溢出水池共需：4×5+=20（小时） 答：20小时后水开始溢出水池. 【例5】现在有A、B、C三位老师参加阅卷，已知A老师单独改阅需10小时，B老师单独改阅需8小时，C老师单独改阅需6小时. (1)如果三位老师同时改阅需要多少时间？ (2)如果按A，B，C，A，B，C……的顺序每个人改阅1小时，则改阅完全部试卷需要多少时间？ (3)如果调整（2）问中的改阅顺序，是否可以将改阅试卷的时间提前半小时？ 解析：（1） （2） 两轮后剩余工作量为： 剩余工作量由A独做1小时后剩下： 最后剩下的工作量由B独做需要的时间： T=6时+1时+56分钟=7时56分钟 （3） 两轮后剩余工作量为： 剩余工作量由C独做需要的时间： 最后剩余的工作量由B独做需要的时间： T=6时+1时+24分=7时24分钟 7时56分钟-7时24分钟=32（分钟） 【练习5】一项工程，甲单独做要60小时，乙单独做要50小时，如果按甲做1小时，由乙接着做2小时，再由甲接着做3小时，再由乙做4小时，再由甲接着做5小时……的顺序交替工作，每次工作1，2，3，4，5，6，……小时.那么要多少小时完成? 解析：甲做1，3，5，7，9小时可完成： 乙做2，4，6，8小时可完成： 剩下的由乙做需要： 1+2+3+4+...+9+=时 课后练习 1.一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄8小时，乙抄13小时也可以抄完．现在甲先抄2小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才能完成？ 9.2小时 2.甲乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高，甲、乙合作6小时完成了这项工作，如果甲单独做需要11小时，那么乙单独做需要多少小时? 18小时 3.甲、乙、丙三人去完成植树任务，已知甲植一棵树的时间，乙可以植两棵树，丙可以植三棵树．他们先一起工作了5天，完成全部任务的，然后丙休息了8天，乙休息了3天，甲没休息，最后一起完成任务．问：从开始植树算起，共用了多少天才完成任务？ 20天 4.甲乙两水管同时打开9分钟能注满水池，现在先打开甲管，10分钟后打开乙，经过3分钟就注满水池，已知甲比乙每钟多注0.6立方米水，求这个水池的容积是多少立方米？ 27立方米 5.一项工程，单独完成，甲队需要15天，乙队需要20天.现在甲、乙两队合作，因中途两队各休息了几天，所以用了12天才完成了全部工程.已知甲队休息了3天，乙队休息了多少天？ 4天 6.某工程由甲乙两队合作6天完成，厂家需付甲乙共8700元；乙丙两队合作10天完成，厂家需付给乙丙两队9500元，甲丙两队合作5天完成全部工程的，厂家需付甲丙两队共5500元，现在厂家要求不超过15天完成全部工程，可由哪队单独完成此项工程花钱最少？ 甲队 1 学科网（北京）股份有限公司 $$