精品解析：江西省宜春市丰城中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

丰城中学2024-2025学年上学期高二期中考试试卷 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系可得出该直线的倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为， 因此，直线的倾斜角为. 故选：A. 2. 过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用待定系数法，结合直线垂直的性质即可得解. 【详解】设垂直于直线的直线方程为， 又直线过点，所以，解得， 故所求直线的方程为. 故选：D. 3. 双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】求出焦点坐标及渐近线的方程，由点到直线的距离公式求出距离. 【详解】解：由，得，渐近线方程为， 由双曲线的对称性，不妨取双曲线的右焦点，一条渐近线方程为， 则焦点到渐近线的距离为 . 故选：B. 4. 无论为何值，直线过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简直线分是否有两部分，再求交点得出定点. 【详解】由得：， 由得 ∴直线恒过定点. 故选：A. 5. 已知是椭圆的左､右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆定义求出，根据边长确定，进而求出，即可求解椭圆离心率. 【详解】 由题意结合椭圆定义可知：的周长为，， 又因为， 所以，又由，知， 故，因此椭圆的离心率为. 故选：A 6. 如图所示，点是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的渐近线斜率为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，由双曲线的定义得，， 根据，列出方程求得，在直角中，利用勾股定理求得，进而求得双曲线的渐近线． 【详解】设，则， 由双曲线的定义得，， 又由得，即，解得，所以， 在直角中，由勾股定理得，即， 整理得，则，双曲线的渐近线斜率为． 故选：B． 7. 已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即，从而得到，三点共线时和最小；再由在圆上，得到最小值. 【详解】 由抛物线方程为，得到焦点，准线方程为，过点做准线的垂线，垂足为， 因为点在抛物线上，所以， 所以，当点固定不动时，三点共线，即垂直于准线时和最小， 又因为在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径，所以， 故选：C. 8. 已知直线与曲线仅有三个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将曲线的表达式整理变形可知，其图象是由上半椭圆和上半双曲线组成的，再根据直线与双曲线的渐近线平行，利用数形结合讨论临界位置结合交点个数即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意得曲线，即，可得； 当时得到即； 当时得到； 由以上可得曲线的如图中所示， 易知直线与双曲线的一条渐近线平行； 把直线向上平移到点时，即与曲线有两个交点，此时； 继续向上平移至与半椭圆相切前有3个交点． 当直线与椭圆的上半部分相切时， 联立直线与椭圆的方程代入整理得 即或（舍），由图示可得； 综上可知. 故选：C 二、多选题：每小题有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知曲线，则（ ） A. 的焦点在轴上 B. 的短半轴长为 C. 的右焦点坐标为 D. 的离心率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】曲线经过变形后可得椭圆标准方程，计算的值即可确定选项. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为. 由题意可得椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点在轴上，故选项A错误. 由椭圆的标准方程为，得， 故其短半轴长为，右焦点坐标为，故选项B，C正确. 椭圆的离心率，故选项D正确． 故选：BCD． 10. 若圆与圆的交点为A，B，则（ ） A. 线段AB的垂直平分线的方程为 B. 线段AB所在直线方程为 C. 线段AB的长为 D. 在过A，B两点的所有圆中，面积最小的圆是圆 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，求出圆心，圆心，得到线段AB的垂直平分线为直线，得到；B选项，两圆相减得线段AB的方程为；C选项，求出圆心到线段AB的距离，进而由垂径定理求出线段AB的长；D选项，由C选项知，线段AB的长与圆的直径相等，D正确. 【详解】A选项，， 圆心，半径为， ，圆心， 由对称性可知，线段AB的垂直平分线为直线， 即，即，A正确； B选项，与相减得 ，即线段AB的方程为，B错误； C选项，圆心到直线的距离为， 故，C错误； D选项，由C选项知，线段AB的长为，而圆的直径为， 故在过A，B两点的所有圆中，面积最小的圆是圆，D正确. 故选：AD 11. 已知抛物线：过点，焦点为，准线为，过点的直线交于，两点，，分别交于，两点，则（ ） A. B. 最小值为4 C. 准线的方程为 D. 以为直径的圆恒过定点， 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，将点代入抛物线方程中可求出的值；对于B，当为通径时，其取最小值；对于C，由于，从而可得准线方程；对于D，设直线的方程为，，，由题意可求出，，从而可得以为直径的圆的方程，整理后可得其过定点 【详解】把点代入曲线可得，∴，故A错误； 抛物线的方程为，把代入可得，∴，可知最小值为4，故B正确； 准线的方程为，故C正确； 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，，，联立 可得，，，直线的方程为，同理直线的方程为，令，可得，，则以为直径的圆的方程为，整理可得，令，可得或，故圆过定点，．当直线的斜率不存在时，将直线的方程代入抛物线方程可得，，可得，，以点为直径的圆方程，显然过两定点，，选项D正确， 故选：BCD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分） 12. 已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由直线恒过定点，分别计算，，结合图象即可得的范围. 【详解】直线经过定点，如图所示， 则， 因为直线与连接两点的线段相交， 所以由图可知，. 故答案为：. 13. 已知为坐标原点，抛物线：上一点到焦点的距离为4，设点为抛物线准线上的动点．若为正三角形，则抛物线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合等边三角形的性质进行求解即可. 【详解】 根据抛物线的对称性，不妨设点在第二象限， 因为为正三角形，所以， 因为抛物线点到焦点的距离等于该点到准线的距离， 所以与准线垂直，， 因此有， 所以抛物线的方程为， 故答案为：. 14. 从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设出双曲线右焦点，连接，利用双曲线的定义和中位线进行解题. 【详解】 不妨将点置于第一象限. 设是双曲线的右焦点，连接. 分别为的中点，故. 又由双曲线定义得， 故. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，满分77分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15. 已知直线，且， （1）求的值； （2）直线过点与交于，，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线与直线平行的充要条件，列出方程求解即可； （2）根据两平行线间距离可判断垂直，利用斜率关系即可求解直线的斜率，进而可求解方程. 【小问1详解】 因为，所以， 整理得，解得或． 当时，，，符合题意， 当时，，，与重合，不满足题意． 综上，． 【小问2详解】 由（1）得，， 所以两直线之间的距离为，而， 所以直线与均垂直， 由于，所以， 故直线方程为 16. 在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求线段的垂直平分线所在直线的方程，进而求圆心和半径，即可得方程； （2）由垂径定理可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式运算求解. 【小问1详解】 因为，的中点为，且直线的斜率， 则线段的垂直平分线所在直线的方程为， 联立方程，解得， 即圆心，， 所以，圆的方程为. 【小问2详解】 因为直线被曲线截得弦长为， 则圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式可得，解得. 17. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为.直线与椭圆交于不同的两点，. （1）求椭圆的方程； （2）当时，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件列出方程组求出，即可得到椭圆方程. （2）利用直线与椭圆联立方程组，通过韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离公式，求解三角形的面积即可. 【小问1详解】 由题意得解得，. 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 由得，， 设点，的坐标分别为，，则，. 所以， 又因为点到直线的距离， 所以的面积为. 18. 已知抛物线：的焦点为. （1）求抛物线的标准方程； （2）抛物线在轴上方一点的横坐标为，过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为，，求证：直线的斜率为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知中抛物线：的焦点为，求出值，可求抛物线的标准方程； （2）设出直线、的方程与椭圆方程联立，求出、的坐标，利用斜率公式，即可证明直线的斜率为定值． 【小问1详解】 抛物线：的焦点为， ，解得， 故抛物线的标准方程为：； 【小问2详解】 点的横坐标为，即，解得， 故点的坐标为，设，， 由已知设：，即， 代入抛物线的方程得，即， 则，故， 所以， 即， 设：，即， 同理可得，则， 即 直线的斜率， 所以直线的斜率为定值． 19. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明轨迹的形状； （2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点． ①当时，求证：的值及的周长均为定值； ②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的方程为， 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆； 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线． （2）①设点，其中且， 由（1）可知的方程为， 因为，所以， 因此，三点共线，且， （法一）设直线的方程为，联立的方程，得， 则， 由（1）可知， 所以 ， 所以为定值1； （法二）设，则有，解得， 同理由，解得， 所以， 所以为定值1； 由椭圆定义，得， ， 解得，同理可得， 所以 ． 因为，所以的周长为定值． ；②存在； 【解析】 【分析】（1）设，由题意可得，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解； （2）设点，其中且. （ⅰ）由可知三点共且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，进而表示出，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由得，，进而表示出，化简计算即可；（ii）由（ⅰ）可知三点共线，且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，计算化简可得，结合由内切圆性质计算即可求解. 【小问1详解】 设点，由题意可知， 即， 经化简，得的方程为， 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线， 根据（ⅰ）的证明，同理可得三点共线，且， （法一）设直线的方程为，联立的方程， 得， ，（*） 因为， 所以 ， 将（*）代入上式，化简得， （法二）设，依条件有，解得， 同理由，解得， 所以． 由双曲线的定义，得， 根据，解得， 同理根据，解得， 所以 ， 由内切圆性质可知，， 当时，（常数）． 因此，存在常数使得恒成立，且． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城中学2024-2025学年上学期高二期中考试试卷 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A. B. C. D. 3. 双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 1 4. 无论为何值，直线过定点（ ） A. B. C. D. 5. 已知是椭圆的左､右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，点是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的渐近线斜率为（ ） A. 3 B. C. D. 7. 已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 已知直线与曲线仅有三个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：每小题有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知曲线，则（ ） A. 的焦点在轴上 B. 的短半轴长为 C. 的右焦点坐标为 D. 的离心率为 10. 若圆与圆的交点为A，B，则（ ） A. 线段AB的垂直平分线的方程为 B. 线段AB所在直线方程为 C. 线段AB的长为 D. 在过A，B两点的所有圆中，面积最小的圆是圆 11. 已知抛物线：过点，焦点为，准线为，过点的直线交于，两点，，分别交于，两点，则（ ） A. B. 最小值为4 C. 准线的方程为 D. 以为直径的圆恒过定点， 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分） 12. 已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是______. 13. 已知为坐标原点，抛物线：上一点到焦点的距离为4，设点为抛物线准线上的动点．若为正三角形，则抛物线方程为________． 14. 从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是__________. 四、解答题（本大题共5小题，满分77分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15. 已知直线，且， （1）求的值； （2）直线过点与交于，，求直线的方程. 16. 在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值. 17. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为.直线与椭圆交于不同的两点，. （1）求椭圆的方程； （2）当时，求的面积. 18. 已知抛物线：的焦点为. （1）求抛物线的标准方程； （2）抛物线在轴上方一点的横坐标为，过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为，，求证：直线的斜率为定值． 19. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明轨迹的形状； （2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点． ①当时，求证：的值及的周长均为定值； ②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $