精品解析：云南省曲靖市麒麟区第四中学2024--2025学年九年级上册数学期中检测试卷

云南省曲靖市麒麟区第四中学2024-2025学年 九年级上册数学期中检测试卷 九年级数学（人教版）试卷 范围：九上21.1~23.3 （全卷共三个大题，27个小题，共8页；满分100，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷，答题前请在答题卡指定位置填写学校、班级、姓名等信息．答案书写在答题卡相应位置上，答在试题卷或草稿纸上的答案无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 在学习图案与设计这一节课时，某同学在网上查找了参选冬奥会会徽设计的部分图案，下列图形既属于轴对称图形又属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带上的物品的移动；③钟摆的运动；④荡秋千运动．属于旋转的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 图象顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 8. 一元二次方程配方正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ） A. B. ， C. ， D. ， 10. 如图，在一块长，宽的矩形耕地上修建两横一纵三条等宽的道路（其中有两条横向和一条纵向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，设道路的宽为，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 13. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 14. 为了备战云南省第二届青少年运动会，小路对自己实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小路此次实心球训练的成绩为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：；；；；其中正确结论的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 点P（-3，4）关于原点对称的点的坐标是_______． 17. 若表示y是x的二次函数，则m的取值范围为_________． 18. 已知二次函数的x、y部分对应值如下表，则该二次函数图象的对称轴为_________． x 0 1 2 y 4 2 4 7 12 19. 若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_________． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点成中心对称的； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的，并写出点的坐标； （3）求的面积． 22. 实数a，b满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决下列问题： 已知实数x、y满足，求的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象交于点A和点． （1）求a，m的值； （2）利用函数图象，直接写出时自变量x的取值范围_________． 24. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）求证：无论k为何值，方程总有一个固定的根． 25. 云南某商店以35元/件的进价购进批纪念品，当售价为55元/件时，第一天销售了25件．该纪念品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． （1）求日销售量的平均增长率； （2）由于新款纪念品的推出，原来旧款纪念品的销量受到影响，为了尽快减少库存，该网店打算将旧款纪念品降价销售．经调查发现，每降价1元，每天可在第三天销售量的基础上多销售3件，那么将旧款纪念品的售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 26. 已知，点B，C分别在射线，上，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作的垂线交射线于点E． （1）如图1，当点D在射线上，时，求证：C是的中点； （2）如图2，当点D在内部时，作，交射线于点F，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 27. 已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． （1）若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． （2）若，，求b的取值范围； （3）当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省曲靖市麒麟区第四中学2024-2025学年 九年级上册数学期中检测试卷 九年级数学（人教版）试卷 范围：九上21.1~23.3 （全卷共三个大题，27个小题，共8页；满分100，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷，答题前请在答题卡指定位置填写学校、班级、姓名等信息．答案书写在答题卡相应位置上，答在试题卷或草稿纸上的答案无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 在学习图案与设计这一节课时，某同学在网上查找了参选冬奥会会徽设计的部分图案，下列图形既属于轴对称图形又属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项选符合题意； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义 ． 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次的方程，叫做一元二次方程，其一般形式为(为常数，)，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是分式方程，不是一元二次方程，此选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，此选项不符合题意； C、当时，方程为，不是一元二次方程，此选项不符合题意； D、是一元二次方程，此选项符合题意；  故选：D ． 3. 下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带上的物品的移动；③钟摆的运动；④荡秋千运动．属于旋转的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后求解． 【详解】解：①地下水位逐年下降，是平移现象； ②传送带上的物品的移动，是平移现象； ③钟摆的运动，是旋转现象； ④荡秋千运动，是旋转现象． 属于旋转的有③④共2个． 故选：B． 4. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程，然后解关于的方程，即可得到答案． 【详解】解：把代入方程得，， 解得：， 选项A符合题意，   故选：A ． 5. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与几何变换，利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：，即， 故选：B． 6. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，牢记当时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴选项A符合题意，   故选： A． 7. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 图象顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据解析式得出开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：A、二次函数的，开口向上，故A选项错误，不符合题意； B、图象的对称轴为直线，故B选项错误，不符合题意； C、图象顶点坐标为，故C选项错误，不符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，D选项正确，符合题意． 故选：D． 8. 一元二次方程配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤：移项、方程两边都加上一次项系数一半的平方的步骤求解即可． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即， 故选：A． 9. 抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】直接观察图象，抛物线与x轴交于，对称轴是直线，所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而求得关于x的一元二次方程的解． 【详解】观察图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为， ∴一元二次方程的解为，． 故选：D． 【点睛】本题考查了用函数图像解一元二次方程的方法．一元二次方程的解实质上是抛物线与x轴交点的横坐标的值． 10. 如图，在一块长，宽的矩形耕地上修建两横一纵三条等宽的道路（其中有两条横向和一条纵向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，设道路的宽为，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路宽，分别表示出除去道路之后矩形的长和宽，然后根据试验田总面积为，列方程即可． 【详解】解：设道路宽，则除去道路之后矩形的长和宽分别为，， 由题意得，． 故选：C． 11. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，将关系式配方得出顶点式，即可得出答案． 【详解】抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为． 故选：D． 12. 如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的基本性质和等腰三角形内角和，由旋转的性质可知，与对应相等，与对应相等，从而通过等腰三角形内角和关系可求的度数． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ，， ， 故选：C． 13. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，利用二次函数的增减性求出对称轴是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性以及点到对称轴的距离解答． 【详解】解：对称轴为直线， ， ∴时，随的增大而减小，时，随的增大而增大， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ， ∴，选项B符合题意；   故选： B． 14. 为了备战云南省第二届青少年运动会，小路对自己实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小路此次实心球训练的成绩为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，小路此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】解：当时，即， 解得：（舍去），， 所以小宇此次实心球训练的成绩为． 故选：B． 15. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：；；；；其中正确结论的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据开口向上，可得，根据对称轴计算公式可得，根据抛物线与y轴的交点位置可得，据此可判断①②；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，则当时，，据此可判断③；根据题意可得函数的最小值为，据此可判断④． 【详解】解：函数图象开口方向向上， ， 对称轴为直线， ∴， ∴，即，故②正确 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ， ，故①错误； 二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， ∴由函数图象可知，当时，， ∴，故③错误； 对称轴为直线，， ∴函数的最小值为， ， ，故④正确； 综上所述，正确的有②④， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 点P（-3，4）关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】（3，-4） 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】解：点P（-3，4）关于原点对称的点的坐标为：（3，-4）． 故答案为：（3，-4）． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键． 17. 若表示y是x的二次函数，则m的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义得出关于的不等式是解题的关键． 根据形如的函数，叫做二次函数，可得答案． 【详解】解：由题意得，， 解得，  故答案为： ． 18. 已知二次函数的x、y部分对应值如下表，则该二次函数图象的对称轴为_________． x 0 1 2 y 4 2 4 7 12 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，比较简单． 由于时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解． 【详解】解∶和2时的函数值都是4， 对称轴为直线， 故答案为∶直线． 19. 若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系、代数式求值，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．据此得到，即可求解． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故答案为：5． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得：． 21. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点成中心对称的； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的，并写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图： （2）的坐标， 如图所示， （3）的面积为（或3.5） 【解析】 【分析】本题考查的是作图—旋转变换及求网格图中三角形的面积，根据题意作出各点在旋转变换下的对应点是解答此题的关键． （1）作出各点关于原点的对称点，再顺次连接即可作出； （2）作出各点绕原点B逆时针旋转所得的对称点，再顺次连接即可，再写出点的坐标； （3）用边长为3的正方形的面积减去三个三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：三个顶点的坐标分别为， 各点关于原点的对称点分别为：，依次描出这三个点，再顺次连接，得， 【小问2详解】 解：绕点B逆时针旋转后，各点的对应点分别为：，依次描出这三个点，再顺次连接，得，的坐标； 【小问3详解】 解：； 答：的面积为． 22. 实数a，b满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决下列问题： 已知实数x、y满足，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查来了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 设，则，原方程变形为，整理得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设，则， 原方程变形为， 整理得， 解得或（舍去）， ， ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象交于点A和点． （1）求a，m的值； （2）利用函数图象，直接写出时自变量x的取值范围_________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，二次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将代入求出m，然后把代入中求出值； （2）先求出点A的坐标，然后根据图像即可求解． 【小问1详解】 解：将代入，得 ， ∴， ∴． 将代入中得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∴． 由图像得：当时，自变量的取值范围是：． 故答案为：． 24. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）求证：无论k为何值，方程总有一个固定的根． 【答案】（1） 证明：， ， 方程总有两个实数根； （2） 解：， ， ∴无论k为何值，方程总有一个固定的根是2． 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，解方程． （1）计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）利用公式法解方程得，，进而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 云南某商店以35元/件的进价购进批纪念品，当售价为55元/件时，第一天销售了25件．该纪念品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． （1）求日销售量的平均增长率； （2）由于新款纪念品的推出，原来旧款纪念品的销量受到影响，为了尽快减少库存，该网店打算将旧款纪念品降价销售．经调查发现，每降价1元，每天可在第三天销售量的基础上多销售3件，那么将旧款纪念品的售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）日销售量的平均增长率为 （2）将旧款纪念品的售价定为每件51元时，每天可获得最大利润，最大利润是768元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的实际问题． （1）设日销售量的平均增长率为a，根据增长率问题列方程解应用题； （2）设旧款纪念品降价x元，每天可获得的利润为W元，列出二次函数求最值解题． 【小问1详解】 解：设日销售量的平均增长率为a， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：日销售量的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设旧款纪念品降价x元，每天可获得的利润为W元， 由题意得：， 这个二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， 则当时，W取得最大值，最大值为768，此时售价为（元）， 答：将旧款纪念品的售价定为每件51元时，每天可获得最大利润，最大利润是768元． 26. 已知，点B，C分别在射线，上，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作的垂线交射线于点E． （1）如图1，当点D在射线上，时，求证：C是的中点； （2）如图2，当点D在内部时，作，交射线于点F，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：连接， 由题意得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴点C是的中点； （2），理由： 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）证明即可证明点C是的中点； （2）先证明，得到，再根据角度计算得到，从而得出和的数量关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 27. 已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． （1）若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． （2）若，，求b的取值范围； （3）当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】（1）；；； （2） （3）b的值为或． 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质． （1）根据根与系数的关系得到，以及，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到，进而得到，利用不等式性质变形，即可判断②③． （2）根据题意得到，结合进行求解，即可解题； （3）根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，由最大值与最小值的差为，分以下三种情况：①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题． 【小问1详解】 解： 与x轴交点的坐标分别为，，且， ，且抛物线开口向上， 与x轴交点的坐标分别为，，且． 即向上平移1个单位， ，且， ①； ， ，即②； ，即③． 故答案为；；；； 【小问2详解】 解：，， ， ， ； 【小问3详解】 解：抛物线顶点坐标为， 对称轴为； 当时，， 当时，， ①当，则， 那么，在取得最大值，在取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）； ②当，解得， 那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）或， ③当，解得， 那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）或； 综上所述，b的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $