2024年 苏科版中考数学几何模型专题八：相似三角形中的模型（二）

编号： 13 学生姓名： 年 级： 九年级 辅导科目：数学 课题 相似三角形专题 教学内容 【模型预览】 模型1：“射影定理”模型 模型2：“飞鱼”模型 模型3：“手拉手”模型 模型1：“射影定理”模型 “射影定理”模型为中考的考查模型，总结如下: 考法 图形背景 考查题型 解题原理 利用“射影定理“模型进行 相关证明或计算 正方形(2次)、圆(11次),图形如下: 在解答题考查三角形相似的证明、求线段长、求点到直线的距离或两点间距离 先识别模型,找到直角三角形和该三角形斜边上的高,再利用相似三角形对应边成比例,计算长度 【模型展现】 图示 条件 AD是Rt△ABC斜边上的高(∠BAC=90°,AD⊥BC) 结论 1.△DBA∽△DAC=>AD2=BD·CD; 2.△DBA∽△ABC=>AB2=BD·BC; 3.△DAC∽△ABC≌AC2=CD·BC 结论分析 结论1:△DBA∽△DAC≌AD2＝BD·CD 证明:在△ABD和△CAD中，∵AD⊥BC,∴∠ADC＝90°， ∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∴∠BAD＝∠C. 又∵∠ADB＝∠CDA＝90°，∴△DBA∽△DAC,∴, 即AD2＝BD·CD. 结论2:△DBA∽△ABC≌AB2＝BD·BC 自主证明: 【模型解题三步法】 例1 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若BD＝1，AB＝4，则BC的长为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 例2 已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D，连接AC.若AB＝15,CD＝6,则tan∠CAD的值为_____. 【题以类解】 1.如图，在菱形ABCD中，AB＝8，对角线AC，BD交于点O,过点O作OE⊥AB于点E,若BE＝2，则∠DAB的度数为 （ ） A.30° B.40° C.50° D.60° 2.如图，在矩形ABCD中,点E是BC的中点,将△CDE沿DE折叠后得到△FDE，延长DF交边AB于点G.若AD＝6,CD＝9,则GF＝_____, cos∠AGD＝______. 3.如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且BC2＝BD·AB.若CD＝4,BD＝6,则AD的长为______. 4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CE是∠ACB的平分线，CD为AB边上的高，若AC＝9，BC＝12，则DE的长为______. 5.（模型迁移）如图,正方形ABCD的顶点A和顶点D恰好在反比例函数（k≠ 0）的图象上，点B为x轴负半轴上一点，边AB与第二象限内反比例函数图象交于点A，E，若点A的坐标为（-2，4），则点E的坐标为______. 6.如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，连接AC，BC，过点B作⊙O的切线BD，连接AD,交BC于点E,交⊙O于点F,连接BF, 且AD恰好平分∠BAC. （1）求证:BD＝BE; （2）若DE＝2，，求⊙O的半径. 模型2：“飞鱼”模型 【模型展现】 基础模型 图示 条件 在△ACD和△BCE中,点B在AC上,点D在CE上,AD与BE交于点F 已知：1.AB:BC＝1:m; 2.DE:CD＝1:n; 3.AF:DF＝1:x; 4.EF:BF＝1:y 结论 从上述4个关系式中，任选两个作为已知条件，可求出另外两个的值，即“知二推二”.如已知，，则 结论分析 结论:已知，，则 证明:如图，过点D作DG∥BE交AC于点G， ∴， ∴，∴ ∵，∴， ∵BB∥DC，∴ = = = 模型拓展 拓展方向:解决“飞鱼”模型常见辅助线作法 类型 过点A作辅助线 过点B作辅助线 过点C作辅助线 过点F作辅助线 图示 过点E与点A辅助线作法一样 过点D与点B辅助线作法一样 【模型解题三步法】 例 一题多解如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，AE:CE＝1:2，F是BE的中点，连接AF并延长交BC于点D，则BD:CD的值为（ ） A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.2:3 【题以类解】 1.如图，PA是⊙O的切线，OP交⊙O于点B，点C是⊙O上一点,连接AC,BC,AC交OP于点E,延长CB交PA于点D,且CD⊥PA, 若AE:EC＝3:4,PD:DA＝3:5,PB＝2,则OE的长为______. 2.如图，在△ABC中，点P是边AB上一点，点M,N在边AC上,且有AP＝PB,AM＝MN＝NC,连接CP,BM,BN,BM,BN与CP分别相交于点R，Q，若△ABC的面积为1，则△BRQ的面积为_____. 3.（模型构造）如图，在矩形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,DE与AF,BF分别交于点P,Q.若AB＝4,BC＝6,则PQ 的长为______. 4.在△ABC中,AD是△ABC的中线,点E为AB上一点. （1）如图① ，若点E是AB的中点，CE与AD交于点O，求证:AO＝20D; （2）如图② ，点F为AC上一点，连接EF交 AD于点O，若，AO＝2OD，求的值. 模型3：“手拉手”模型 “手拉手”模型为中考的考查模型，总结如下: 考法 图形背景 考查题型 解题原理 考法1 从复杂图 形中抽离 模型 三角形(11次)、正方形(4次)、矩形(1次),图形如下: 1.常在选择或填空题中考查多结论判断、求面积比值; 2.常在解答题考查相似的证明、求线段长、线段比值 先要识别模型,再利用“两边对应成比例且夹角相等“来判定三角形相似,进而求线段长或面积 考法2 构造模型 一般四边形(1次)、三角形(3次)、正方形(5次)、矩形(1次),图形如下: 常在解答题利用模型构造考查求线段长、线段比值、线段最值或角度 寻找题目中已知的成比例的边,通过旋转等方法构造等角,从而构造相似三角形 【模型展现】 基础模型 图示 AD在△ABC内且 拉手线无交点 AD在△ABC外且 拉手线无交点 AD在△ABC外且 拉手线有交点 条件 在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,将△ADE绕点A旋转 结论 1.△ADE∽△ABC,△ADB∽△AEC; 2.两条拉手线BD,CE交于点F,则: (1)∠BFC=∠BAC=α; (2)点A,B,C,F四点共圆. 结论分析 结论1:△ADE∽△ABC,△ADB∽△AEC 证明:∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC, ∴,即 由旋转的性质得，∠BAD＝∠CAE， ∴△ADB∽△AEC. 结论2:两条拉手线BD，CE交于点F，则（1）∠BFC＝∠BAC 证明:如图① ，AC，BD交于点G， ∵△ADB∽△AEC, ∴∠ABD＝∠ACE, ∵∠AGB＝∠CGF（对顶角相等）， ∴∠BAC＝∠BFC. （2）A，B，C，F四点共圆 证明:如图② ，∵BC为△ABC和△BCF的公共边，且点A，F在BC的同侧， 由结论2（1）得∠BAC＝∠BFC＝α， ∴点A，B，C，F在同一个圆上，即A，B，C，F四点共圆. 模型拓展 拓展方向:公共角为直角的“手拉手”模型应用 图示 条件 在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,∠BAC=90°,将△ADE绕点A旋转 结论 1.△ADE∽△ABC,△ADB∽△AEC; 2.BD⊥CE; 3.连接BE,CD,则①BE2+CD2=BC2+DE2;②S四边形BCDE=BD·CE 【模型解题三步法】 例1 如图,在△ABC和△ADE中,∠ACB＝∠AED,∠EAC＝∠DAB,连接BD,CE,若∠ACE＝25°,则∠ABD＝______°. 先抽离一组“手拉手”模型: 第一步:找模型 第二步:抽离模型 第三步:用模型 是否存在共顶点的两个三角形: △ABC和△ADE, 共顶点的两个三角形中是否存在另一 △ADE∽△ABC 组等角: ∠ACB＝∠AED 再抽离一组“手拉手”模型: 第一步:找模型 第二步:抽离模型 第三步:用模型 是否存在共顶点的两个三角形: △CAE和△BAD 两个三角形共顶点的两边是否对应成 △CAE∽△BAD 比例: 例2 （模型构造）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，P为AB的中点，点M，N分别在边AC， BC上,且PM⊥PN,则的值为 . 第一步:找模型 第二步:抽离模型 第三步:用模型 三角形边上是否存在一定点，且 过点P作DP⊥AB交BC于点D,则 过该点有三条不共线的线段: ∠DPN＝∠APM,∠PDN＝∠A 定点:点P, 线段:AB,PM,PN △DPN∽△APM 所求比值的线段是否共顶点: 点P 缺少:另一组成比例线段 【题以类解】 1.如图,在△ABC与△ADE中,∠ACB＝∠AED ＝90°,∠ABC＝∠ADE,连接BD,CE,若AC＝ BC，，则BD的长为（ ） B.2 2.如图，在△ABC中，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，连接BB′，CC′，若AB＝5， AC＝3,则的值为 . 3.（模型构造）如图，在矩形ABCD和矩形DEFG中,AB＝1,,DG＝3,连接AG，BF，则的值为 . 4.图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，某同学在研究等腰直角三角形的旋转过程中，发现了下列问题:如图① ，已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，点D，E分别在线段AB，AC上，且∠C＝∠AED＝90°. （1）观察猜想 该同学将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD,CE,如图② ,延长BD与AC交于点G,当BD的延长线恰好经过点E时，填空: ① 的值为______;② ∠BEC的度数为______; （2）类比探究 如图③ ，该同学在（1）的基础上，继续旋转△ADE，当BD的延长线交CE于点F时，请写出的值及∠BFC的度数，并说明理由; （3）拓展延伸 若，，当CE所在的直线垂直于AD时，请直接写出BD的长. 【综合练习8】 基础过关 1.如图，在矩形ABCD内作正方形AEFD，矩形的对角线AC交正方形的边EF于点G.若点F恰好是边CD的黄金分割点（DF＞FC），且GE＝4，则GF的值为（ ） D.2 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过顶点C作CD⊥AB于点D，点E为BC的中点，连接AE与CD交于点F,若DF:CF＝1:2,则的值为（ ） A.2 C.1 3.如图,在Rt△ACB和Rt△BDE,点D是AB的中点，∠ABC＝∠E＝30°，ED的延长线交BC于点F.若AC＝1，则CF的长为_____. 4.如图,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,点P在边AB上，E为边BC的中点，点Q在CA的延长线上，且∠PEQ＝45°.若∠APE＝ 63°，则∠QEC的度数为______. 5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BD于点E，点F为BC的中点，连接EF,交AC于点H.若AC＝6,BD＝8,则△HFC的面积为______. 能力提升 6.如图，在平面直角坐标系中，@ABCD的边BC与x轴重合，反比例函数（k≠0），在第一象限的图象经过顶点A，与CD边交于点E，连接AC，若S△ADC＝32，点D的坐标为（12，8），则k的值为，若，则点E的坐标为______. 7.如图，AB为⊙O的直径，C，E为圆上两点，连接AC,BC,EC为∠AEO的平分线,过点C作CF⊥AE交EA的延长线于点F，分别延长 CF,BA交于点D. （1）求证:CD是⊙O的切线; （2）若，⊙O的半径为6，求DF的长. 8.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ 的图象分别交x，y轴于A，B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点A，B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点.过点P作PM∥y轴，分别交直线AB，x轴于点C，D，连接BP. （1）求抛物线的解析式; （2）求△ADC∽△PBC时，点P的坐标. 挑战压轴 9.问题背景: （1）如图① ，已知△ABD∽△ACE，求证:△ABC∽△ADE; 解决问题: （2）如图② ，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝ ∠DAE＝90°,∠ABC＝∠ADE＝30°,AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求的值; 拓展延伸: （3）如图③ ，D是△ABC内一点，∠BAD＝ ∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，，求AD的长. 20 1 学科网（北京）股份有限公司 $$