3.1.1 椭圆的标准方程（教学课件）数学湘教版选择性必修第一册

湘教版2019高一数学（选修一） 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.1 椭圆的标准方程 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1.理解并掌握椭圆的定义（重点） 2.会用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程（重点） 3.椭圆标准方程的推导（难点） 椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？ 情景导入 [结论]：通过刚才的实验我们发现图板上画出的图形是一个椭圆，整个实验过程我们可以发现笔尖（即点P）到两个定点F1和F2的距离之和始终保持不变（等于这条绳子的长度）． 实验 1．取一条定长的细绳； 2．将细绳两端固定在图板的两点F1和F2上； (注意：绳子长度大于|F1F2|)； 3．然后用笔尖将绳子绷紧，让笔尖在图板上慢慢移动一周． 我们根据这个几何性质来得出椭圆的定义． 新知探究 5 6 平面上到两个定点F1，F2的距离之和为_________________的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离______叫作焦距. 常数(大于|F1F2|) |F1F2| 椭圆的定义: [注意]椭圆的定义中特别强调了常数大于|F1F2|，即|PF1|+|PF2|>|F1F2|时 点P的轨迹是椭圆． 7 如果动点P满足到两定点F1 、F2的距离之和为一个定值，且该定值大于两定点间的距离，即|PF1|+|PF2|=2a>|F1F2|（a为大于零的常数），那么动点P的轨迹是椭圆． 如果|PF1|+|PF2|=|F1F2|，那么动点P的轨迹是什么？ 如果|PF1|+|PF2|<|F1F2|，那么动点P的轨迹是什么？ 当距离的和等于F1F2时，点的轨迹是线段. 当距离的和小于F1F2时，点的轨迹不存在. 8 [问题]：根据椭圆的定义如何用坐标法来探究椭圆的标准方程呢？ （一）建立平面直角坐标系 [注意]根据数学的建系原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴．)建系讲究对称、简洁、尽可能多的点在坐标轴上． 如图，取过焦点F1、 F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． 设椭圆的焦距|F1F2|=2c，椭圆上的点与两定点的距离之和为2a，则F1、 F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)． 9 （二）设曲线上任意一点（或动点）的坐标为(x，y) 设P(x，y)为椭圆上任意一点． （三）找出限制动点的几何条件 因为|PF1|+|PF2|=2a， （四）将坐标代入几何关系 即 （五）化简式子 10 （五）化简式子 两边平方得 两边平方并整理得 整理得 这就是椭圆的方程． 由椭圆的定义知 2a>2c，即a>c，所以a²－c²>0．设a²－c² = b² (b>0)， 则 b²x²＋a²y² = a2b²， 上式两边同时除以a2b²，得 这称为椭圆的标准方程，它所表示的椭圆焦点在x轴上． 11 焦点在x轴上的椭圆的标准方程为： 由上式得，当y = 0时，x = ±a；当x = 0时，y = ±b． 这说明椭圆与x轴的交点为(±a，0)，与y轴的交点为(0，±b)． 12 类似地，如图，若椭圆的两个焦点在y轴上且关于 原点对称，设焦点坐标为F1(0，－c)， F2(0，c)，其中 c > 0． 若椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为2a (a > c)， 则点P(x，y)在该椭圆上的充要条件是|PF1|+|PF2|=2a， 即 仿照焦点在x轴上的情形可将这个方程化简为 这也是椭圆的标准方程，它所表示的椭圆焦点在y轴上，并且a²－c² = b²． 13   焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 __________________ _________________ 图形     焦点坐标 __________________ ___________________ a，b，c的关系 ___________ F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) b2＝a2－c2 14 注意点： (1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a(a＞0). (2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在对应的坐标轴上. 椭圆的标准方程的特点： （1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1； （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a² = b²＋c²； （3）椭圆的标准方程中，大的分母是a² ，小的分母就是 b²； （4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上． 15 例1 求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上任一点到两个焦点的距离之和： 解：（1）已知方程式椭圆的标准方程，由4>1，可知椭圆的焦点在x轴上， 且a² = 4， b² = 1， 所以c² = a² － b² = 3，即 因此椭圆的焦点坐标为 椭圆上任一点到两个焦点的 距离之和为2a = 4． 课本例题 16 例1 求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上任一点到两个焦点的距离之和: 解：（2）已知方程式椭圆的标准方程，由5>4，可知椭圆的焦点在y轴上， 且a² = 5， b² = 4， 所以c² = a² － b² = 1，即c =1． 因此椭圆的焦点坐标为(0，－1)， (0，1)， 椭圆上任一点到两个焦点 的距离之和为2a = ． 课本例题 17 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点坐标为(－3，0)和(3，0)，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和 为10； 解：（1）由于椭圆的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为 由椭圆的定义知2a = 10，所以a = 5． 又因为c = 3，所以 b² = a²－c² =25－9=16． 因此，所求椭圆的标准方程为 课本例题 18 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （2）焦点坐标为(0，－2)和(0，2)，且经过点(3，2)． 解：（2）（解法一）由于椭圆的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为 由椭圆的定义知 因此a = 4． 又因为c = 2，所以 b² = a²－c² =16－4=12． 因此，所求椭圆的标准方程为 课本例题 19 1.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上任一点到两个焦点的距离之和： (1) ； (2) ； (3)4x2+3y2=4． 【解析】解：(1)由椭圆方程 可得长半轴长a=3，短半轴长b=2， 课本练习 椭圆焦点在x轴上，且 ， 故椭圆的焦点坐标为 ， 椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为2a=6； 20 (2)由椭圆方程 可得长半轴长a=4，短半轴长b=3， 椭圆焦点在y轴上，且 ， 故椭圆的焦点坐标为 ， 椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为2a=8； 课本练习 1.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上任一点到两个焦点的距离之和： (1) ； (2) ； (3)4x2+3y2=4． 21 (3)由椭圆方程4x2+3y2=4，即 ， 可得长半轴长 ，短半轴长b=1， 椭圆焦点在y轴上，且 ， 故椭圆的焦点坐标为 ， 椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为 ． 课本练习 1.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上任一点到两个焦点的距离之和： (1) ； (2) ； (3)4x2+3y2=4． 22 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为(-5，0)和(5，0)，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为26； (2)焦点坐标为(0，-3)和(0，3)，且椭圆经过点(8，3)． 【解析】解：(1)因为椭圆的焦点坐标为(-5，0)和(5，0)，设椭圆的标准方程为 ， 因为椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为26，则2a=26，可得a=13， 所以， ， 课本练习 因此，椭圆的标准方程为 23 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为(-5，0)和(5，0)，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为26； (2)焦点坐标为(0，-3)和(0，3)，且椭圆经过点(8，3)． 课本练习 (2)因为焦点坐标为(0，-3)和(0，3)，设椭圆的标准方程为 因为椭圆经过点(8，3)，由椭圆定义可得 ， 所以，a=9，则 ， 因此，椭圆的标准方程为 24 随堂检测 1.椭圆 的焦点坐标是（ ） A.(±5,0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12,0) 因为椭圆的焦点在y轴上， 且a2＝169，b2＝25， 所以c2＝a2－b2＝144， 所以c＝12，故焦点坐标为(0，±12). C 2.若椭圆 上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为（ ） A.6 　　　　B.7 　　　　C.8 　　　　D.9 根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，因为|PF1|＝3，所以|PF2|＝7. B 3.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离之和为8，焦 距为 ，则此椭圆的标准方程为___________. 所以b2＝a2－c2＝16－15＝1. 又椭圆的焦点在y轴上， 4.已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程. 由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1； 圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3. 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R. 动圆P与圆M外切并且与圆N内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>|MN|. 由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(点(－2,0)除外)， 5.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示. (1)求曲线C的标准方程； 由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆， (2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)? 由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3， 因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3， 即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里， 设P(x，y)，B(2，0)，由|PB|＝3， ∴点P的坐标为(2,3)或(2，－3). 定义 焦点位置 图形 方程 特点 共同点 不同点 F1 F2 M • • x y O F1 F2 M • • x y O 焦点在x轴上 焦点在y轴上 课堂小结 Lavf58.51.100  ＋＝1(a>b>0)  ＋＝1(a>b>0) ＋＝1 ＋＝1 所以a＝4，c＝， 所以椭圆的标准方程为＋x2＝1. 2  ＋x2＝1 其方程为＋＝1(x≠－2). ∴曲线C的标准方程为＋＝1. 又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2， ∴解得或 得＝3， $$