福建省厦门外国语学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

厦外2024.11.14期中考数学试卷答案： 1．D【解析】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为， 从而直线的倾斜角.故选：D. 2．C【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上，∴，解得，即一定在直线上.故选：C. 3．C【解析】由圆 即，则，圆心为，半径，则圆心到直线的距离，由弦长公式可得，解得，故选：C． 4．A【详解】由可得椭圆，此时离心率为，此时充分性成立；若椭圆的离心率为，当时，可得离心率为，解得，即必要性不成立；综上可知，“”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件.故选：A 5．B【详解】因为共面，则存在实数，使得，即，于，所以在上的投影向量的模为.故选：B 6．B【详解】由题意知，， 所以， 又异面直线a、b所成的角为，即，所以，所以或，故选：B. 7．A【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，设中点为，则，且，可得，又因为，可知为边长为2的等边三角形，则，可得，可知点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆，因为直线上存在点使得， 即直线与圆有交点，可知圆心到直线的距离，解得：.故选：A. 8．D【详解】设，，则，，，由，则①，由B，M，Q三点共线，则，即 ②.又因为，，即，③，将①②代入③得. 9．AB【详解】由直线方程，若，即直线过定点，A对；时，斜率为1，而斜率为，显然斜率乘积为，所以直线与直线垂直，B对；时，，令则，令则，显然截距不相等，C错；若直线与直线平行，即，则两条平行直线之间的距离，D错.故选：AB 10．ABD【详解】对A，设，由可得，即，化简可得，故A错误；对B，过点A且斜率为的直线方程为，即，则圆的圆心到的距离为，故所求弦长为，故B正确；对C，圆圆心到圆心的距离为，又两圆的半径和为，故两圆相交，有两条公切线，故C错误；对D，当直线斜率为0时，圆C上有四个点到直线l距离为不合题意，设直线，则由题意C到的距离等于，即，解得，故斜率直线斜率为，故D正确； 11．BCD【详解】对于A，因为椭圆的长轴长为，所以，又因为椭圆的离心率，所以所以，所以椭圆，故A错；设，则，在中，由余弦定理可得，因为，所以，所以，所以B对 若，则以为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，则，所以，所以，解得，所以存在点，使得，则，所以C错对于C，设，则，在中，由余弦定理可得，因为，所以，所以，故C正确；对于D，显然直线斜率不为0，设直线，    由，整理得：恒成立，所以，依题意有，得，所以，即，同理可得，因为，所以，又因为，所以， 因为，所以，解得，代入到，得，解得：，所以直线的斜率为：，故D正确.故选：BCD 12．2【详解】，平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为， 13．【详解】由，得，其几何意义为平面内一点到两定点距离之差为，由于，由双曲线定义可得点在双曲线的左支上，所以，解得或（舍去）.故答案为：. 14． 【详解】根据椭圆定义得：，所以，因为的最大值为6，，所以，即，解得，所以离心率为；右焦点关于直线l的对称点，设切点为A，由椭圆的光学性质可得：三点共线，所以，即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，圆心到直线的距离为，则圆上的点到直线3x＋4y－24＝0的距离最小值为，最大值为，所以点到直线的距离为，所以表示点到直线的距离的5倍，则，即. 15．（1）； （2）因为，， ，所以， 所以，因为，所以与的夹角为. 16．（1）由解得，所以圆过点.圆C经过点，圆心在直线上，设圆心为，，则，解得，所以圆心为，半径为，所以圆的方程为. （2）圆C的圆心（1，3），半径r，设，由题意可得，由四边形APCQ为正方形，可得|AC|＝，由题意直线l⊥AC，圆C：的圆心（1，3）到直线的距离，可得，m＞0，解得m＝. 17．（1）所以椭圆的方程.（2）设，则，联立方程化简整理得，则.设直线与轴交于点，则三点共线， 于是，即，则， ，即，解得，所以，直线恒过轴上的定点. 18．（1）证明：取的中点，连接、，因为，，则，  所以，所以，所以，又因为，所以，则， 又因为，所以，又因为，，、平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） （3）解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，所以，，因为为棱上的点，设，其中，所以，，且，设平面的法向量为，则，不妨取，可得，因为直线与平面所成角为，所以，则，化简可得：，解得：或（舍）.所以. 19．（1）解：（1）设动圆M的半径为，若动圆与圆内切，且与圆外切，   则，可得，所以动圆圆心的轨迹是以、为焦点的椭圆，其中，，所以轨迹的方程为. （2）①显然直线与垂直，设直线，则，直线l与椭圆交于,由于直线平分直线l与圆O的交线段，则有，于是,由于则则. ②由题知，则易知 令得，则直线l1与椭圆交线长为， 同理可得直线l2与椭圆的一个交点，则D到直线l1的距离，所以.由于.则.当时，四边形不存在.当时，，所以四边形面积的最大值,在时取到. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 厦外2024-2025学年第一学期高二期中考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（     ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（     ） A． B． C． D．（1，0） 3．若圆截直线所得弦长为，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 4．已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（     ） A． B． C． D． 6．两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7．已知是圆上两点，且，直线上存在点使得，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．如图，过原点O的直线AB交椭圆于A，B两点，过点A分别作轴、AB的垂线AP，AQ分别交椭圆C于点P，Q，连接BQ交AP于点M，若，则椭圆C的离心率为（ ） A． B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线，其中，则（     ） A．直线过定点 B．当时，直线与直线垂直 C．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 D．若与平行，则这两条平行直线之间的距离为 10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，已知，，点满足，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是（ ） A. 圆C的方程是 B. 的取值范围为 C. 圆C与圆有四条公切线 D. 过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为，该直线斜率为 11．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，分别为椭圆的左､右焦点，是椭圆上一点，过点的直线与椭圆相交于两点，则下列说法正确的是（     ） A．椭圆的标准方程为 B．若，则 C．若，则的最大值为 D．若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在空间直角坐标系中，点在平面外，点在平面内，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为___________ 13．代数与几何是数学的两个重要分支，它们之间存在着紧密的联系.将代数问题转化为几何问题，可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，满足方程的的值为 . 14．椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：，为其左、右焦点．M是C上的动点，点，的最大值为6.若动直线l为椭圆C在M处的切线，右焦点关于直线l的对称点，，则椭圆C的离心率为 ____；S的取值范围为 __________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，， ，在棱PD上，，设，. (1)试用表示向量； (2)求异面直线与所成的角. 16．平面直角坐标系中，圆C经过直线与的交点，且过点，圆心C在直线上 （1）求圆的方程； （2）若，直线上有且仅有一点A满足：过点A作圆C的两条切线AP、AQ，切点分别为P，Q，且使得四边形APCQ为正方形，求m的值． 17．已知椭圆经过点，且与双曲线有相同的焦点. (1)求椭圆的方程； (2)设的左，右顶点分别为，过点且斜率不为0的直线与交于两点，过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点. 18．如图，在三棱锥 中，，，是线段上的点. （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面所成角的正弦值； （3） 若直线与平面所成角为，求的长. 19．在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）已知直线与交于，两点，与圆交于，两点，若不重合的两条直线与分别平分线段，. ①求证：为定值； ②已知直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，，求四边形面积的最大值. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$