1.4.1.3空间中直线、平面的垂直教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第3课时 空间中直线、平面的垂直   一、教学目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系； 2.通过类比用向量方法判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系； 3.发展用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理的能力，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.   二、教学重难点 重点：掌握用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 难点：会用向量方法判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．   三、教学过程 （一）创设情境 回顾 问题：如何用空间向量表述直线与直线的平行关系呢？ 预设答案：设,分别是直线l1, l2的方向向量， l1∥l2 ⟺ ∥ ⇔ ，使得 =. 问题：如何用空间向量表述直线与平面的平行关系呢？ 预设答案：设是直线l方向向量,是平面α的法向量， l ∥ α ⇔ ⊥ ⟺ ∙=0. 追问：用空间向量表述平面与平面的平行关系又是怎样的呢？ 预设答案：设,分别是平面α，β的法向量， α ∥ β ⇔ ∥ ⇔ ，使得 =. 师生活动：教师提出问题，让学生回顾思考并回答. 设计意图：通过复习用空间向量表述直线、平面的平行关系，为接下来的学习打下铺垫. （二）探究新知 任务1：探索用向量表述直线与直线的垂直关系 思考：类似空间中直线与直线平行的向量表示，在直线与直线的垂直关系中，直线的方向向量之间有什么关系？ 预设答案：一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直. 追问：如何用直线的方向向量表示两条直线的垂直？ 师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报展示. 设,分别是直线l1，l2的方向向量，则 l1⊥l2 ⟺ ⊥⟺ ∙. 设计意图：通过思考探究，让学生深刻、形象地掌握向量表示两条直线的垂直关系，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养. 任务2：探索用向量表述直线与平面的垂直关系 思考：类似空间中直线与平面平行的向量表示，在直线与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？ 预设答案：直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行. 追问：如何由直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面垂直关系？ 师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报展示. 设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则 l⊥α⟺ ∥⟺ ，使得=. 任务3：探索用向量表述平面与平面的垂直关系 思考：类似空间中平面与平面平行的向量表示，在平面与平面的垂直关系中，平面的法向量之间有什么关系？ 预设答案：平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直． 追问：由平面与平面的垂直的关系，可以得到平面的法向量有什么关系？ 师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报展示. 设平面 α，β 的法向量为,，则 α⊥β ⟺ ⊥⟺ ∙ . 【总结】 直线与直线的垂直关系：l1⊥l2 ⟺ ⊥⟺ ∙. 直线与平面的垂直关系：l⊥α⟺ ∥⟺ ，使得=λ. 平面与平面的垂直关系：α⊥β⟺ ⊥⟺ ∙ . 思考：若设=(u1,u2,u3)，=(a1,a2,a3)，=(b1,b2,b3)，=(n1,n2,n3)，=(c1,c2,c3)，=(d1,d2,d3)，则上述关系如何用坐标表示？ 要求：以小组为单位进行讨论交流，再提问回答，最后归纳总结，得出结论. 预设答案： 线线垂直：l1⊥l2 ⟺ ⊥⟺ ∙⟺ a1b1＋a2b2＋a3b3 线面垂直：l⊥α⟺ ∥⟺ ，使得=λ⟺ u1=λn1，u2=λn2，u3=λn3 面面垂直：α⊥β⟺ ⊥⟺ ∙ ⟺ c1d1＋c2d2＋c3d3 设计意图：通过思考探究，让学生深刻、形象地掌握向量表示直线与平面、平面与平面的垂直关系，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养. （三）应用举例 例1 已知正方体的棱长为1，以D为原点，{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系，求证：⊥. 解：由题意可得：(1,0,1)， B(1,1,0)，C(0,1,0)，(0,1,1)， 所以=(−1,1,−1)，=(−1,0,1)， 且 ∙=0， 所以⊥，即⊥. 【总结】 利用空间向量证明线线垂直，即建系后求出两直线的方向向量，再进行坐标运算. 例2 在平行六面体中，AB=AD==1，∠AB=∠AD=∠BAD=60°，求证：直线⊥平面BDD1B1. 分析：根据条件，可以{，，}为基底，并用基向量表示和平面BDD1B1，再通过向量运算证明是平面BDD1B1的法向量即可. 证明：设=，=，=， 则{，，}为空间的一个基底，且=+-，=-，=. 因为AB=AD==1，∠AB=∠AD=∠BAD=60°， 所以2=2=2=l，·=·=·=. 在平面BDD1B1上，取，为基向量， 则对于平面BDD1B1上任意一点 P,存在唯一的有序实数对(λ，μ)， 使得=λ+μ，所以， · =λ ·+μ· =λ(+-)·(-)+μ(+-)·=0. 所以是平面BDD1B1的法向量. 所以直线⊥平面BDD1B1. 例3 证明“平面与平面垂直的判断定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 已知，如图，l⊥α，l⊂β, 求证：α⊥β 证明：取l的方向向量，平面β的法向量. 因为l⊥α， 所以是平面α的法向量 因为l⊂β, 是平面β的法向量， 所以⊥， 所以α⊥β. 【总结】利用空间向量证明面面垂直，即建系后求出两平面的法向量，再进行坐标运算. 例4 如图,在正三棱锥P-ABC中, 三条侧棱两两互相垂直,G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2. 求证：平面GEF⊥平面PBC. 证明：如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 令PA=PB=PC=3，则A(3,0,0)，P(0,0,0)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)， 所以=(0,−1,−1)，=(1,−1,−1). 设平面EFG的法向量是=(x,y,z)，则有⊥， ⊥， 所以y+z=0，x−y−z=0. 令y=1，得z=−1，x=0，即=(0,1,−1). 显然=(3,0,0)是平面PBC的一个法向量， 又·=0，所以⊥. 所以平面GEF⊥平面PBC. 【总结】应用向量证明垂直问题的基本步骤： (1)建立空间图形与空间向量的关系（可以建立空间直角坐标系，也可以不建系，选取适当的基底），用空间向量表示问题中涉及的点、直线和平面； (2)通过向量运算研究垂直问题； (3)根据运算结果解释相关问题. 设计意图：通过例题，熟悉应用向量证明直线、平面的垂直问题，并强化数学运算的核心素养． （四）课堂练习 1.设直线的方向向量分别为，若，则实数等于(    ) A. B. C. D. 解：， ，解得， 实数的值为．故选B． 2.已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则(    ) A. B. C. D. 解：直线的一个方向向量，平面的一个法向量，又， ， ， 解得．故选：． 3.平面与平面垂直，平面与平面的法向量分别为，，则值是          ． 解：因为平面  与平面  垂直， 所以平面  的法向量与平面  的法向量垂直， 所以  ，即  ，解得  ． 故答案为：  ． 4.在棱长为的正方体中，，分别是，上的动点，且，求证：． 证明：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 设， ，． ， ， ， ，即E. 5.如图，在正方体中，，分别是，的中点．求证：平面． 证明  ：设正方体的棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． ， ， ． 而． ， ，． 又，平面，平面， 平面． 设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固利用向量求直线、平面的垂直，能够灵活运用. （五）归纳总结 【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$