1.4.1.2空间中直线、平面的平行教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第2课时 空间中直线、平面的平行  一、教学目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量方法证明直线与平面、平面与平面的平行关系.   二、教学重难点 重点：熟练利用向量证明空间中的平行关系. 难点：理解利用空间向量证明空间中的平行关系  三、教学过程 （一）创设情境 牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝. 在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口.牌楼中有一种有柱门形构筑物，一般较高大.如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢? 师生活动：教师展示牌楼图片，之后提出问题，引导学生思考如何判断直线与平面的平行. 设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移. （二）探究新知 任务1：探索用向量表述直线与直线的平行关系. 探究： 如图①，设,分别是直线的方向向量，若直线，那么,有什么关系？反过来，若，那么直线有什么关系？ 图① 要求：1.先独立思考2分钟； 2.小组内交流讨论； 3.以小组为单位进行展示汇报. 师生活动：先独立思考，再小组内交流，并汇报展示. 设计意图：由直线与直线平行，延伸至方向向量的平行，回顾旧知，得出新知，同时，培养学生团队合作的意识. 总结：如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行.并进一步引导学生得到两条直线平行的向量表达式，即设直线的方向向量分别为,则 R,使得 任务2：探索用向量表述直线与平面的平行关系. 探究：如图②，设是直线的方向向量，是平面的法向量，，若，那么，有什么关系？反过来，若，那么直线与平面有什么关系？ 图② 要求：1.小组内交流讨论； 2.以小组为单位进行展示汇报； 3.师生共同归纳总结. 师生活动：小组内交流，并汇报展示，师生共同归纳. 设计意图：实现将直线和平面的平行与直线的方向向量和平面法向量垂直的转化，突出重点，突破难点. 总结：设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则 . 任务3：探索用向量表述平面与平面的平行关系. 探究：如图③，设,分别是平面,的法向量，若平面，那么,有什么关系？反过来，若，那么平面有什么关系？ 图③ 要求：1.先独立思考1分钟； 2.学生代表进行展示汇报. 师生活动：学生独立思考，并汇报展示. 设计意图：实现将平面和平面的平行与平面法向量平行的转化，同时，培养了学生独立思考、解决问题的能力. 总结：设,分别是平面的法向量，则 R,使得 （三）应用举例 例1 证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 分析：设平面的法向量为,直线的方向向量分别为，则由已知条件可得，由此可以证明与平面内的任意一个向量垂直，即也是的法向量. 证明：设平面的法向量为,直线的方向向量分别为, 因为，所以 因为， 所以对任意点，存在,使得 从而 所以，向量也是平面的法向量．故. 设计意图：例1是用向量方法证明平面与平面平行的判定定理，设置例1的目的是使学生体会利用法向量证明两个平面平行的一般基本思路. . 总结：向量法证明面面平行的思路 (1)证明两个平面的法向量共线. (2)根据面面平行的判定定理,证明一个平面内有两个相交向量与另一个平面内的向量共线. (3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量. 例2 在长方体中，，点在棱上，且，点在上，且，点分别为的中点.求证： 分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，找出问题中涉及的直线的方向向量,，通过证明两个方向向量的平行，进而得到两条直线的平行关系. 师生活动：学生读懂题意，尝试解答. 证明：　如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得： , 则,分别为的方向向量，, 所以. 设计意图：例2是用向量方法证明直线与直线的平行，设置例2的目的是使学生在例1证明平面与平面平行的基础上，进行拓展与延伸，体会利用法向量证明两条直线平行的一般基本思路. 总结：向量法证明线线平行的思路 要证明线线平行,只需取两直线的方向向量,证得 即可. 具体方法有如下两种: (1)坐标法.根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,求出两直线方向向量的坐标,证明它们共线. (2)基向量法.取空间一个基底,用基底表示两直线的方向向量, 证得它们共线. 例3 如图在长方体中， 线段上是否存在点，使得平面? 师生活动：学生读懂题意，尝试解答，老师引导分析. 分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量，，以及平面的法向量等都可以用坐标表示．如果点存在，那么就有，由此通过向量的坐标运算可得结果. 师生活动：学生完成求解，教师示范解答.   解:以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为的坐标分别为 所以. 设是平面的法向量， 则, 即,所以. 取,则, 所以是平面的一个法向量, 由的坐标分别为， 得， 设点 满足, 则， 所以. 令，得，解得，这样的点存在. 所以,当，即为的中点时，平面. 设计意图：例3是用向量方法判断直线与平面平行的问题，设置例3的目的是使学生体会利用法向量和坐标法解决直线与平面平行问题的一般思路.本题也可以利用共面的充要条件求解. 总结：向量法证明线面平行的思路 (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一个基底表示. (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行的判定定理得证. (3)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 问题：通过例3的解题过程，同学们能否总结出用向量方法解决立体几何问题的步骤吗？ 总结： 1.建系；2.设点；3.表示相关向量；4.进行向量运算；5.将向量运算结果还原为几何结论. 例4 已知正方体 的棱长为2，分别是的中点， 求证：(1)平面. (2)平面平面. 分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、直线的方向向量、以及平面的法向量等都可以用坐标表示.由此通过向量的坐标运算可得线面平行以及面面平行. 师生活动：学生读懂题意，尝试解答. 证明：以为原点所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则 于是 (1)设平面ADE的法向量是， 则 即,. 取,则, 所以平面ADE的法向量是, 平面,平面. (2) 设平面的法向量是， 则 即,. 取,则, 所以平面的法向量是，, 平面平面. 设计意图：在总结出用向量方法解决立体几何问题的步骤之后设置例题4，目的是对所学知识进行检验，让学生能够学以致用. 思考：你能解决“情境”中的问题了吗？ 设计意图：利用所学知识解决“情境”中的问题，首尾呼应，使知识结构更完整，同时，问题的解决让学生体会到成功的喜悦感. （四）课堂练习 1.在长方体中，四边形为正方形，，，为的中点，点是上的一点，且，则下列选项正确的有(    ) A. 平面 B. 为平面的法向量 C. 为平面的法向量 D. 解：以点为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，， ，，， ，，， 故，， ，，， ，， 则， 故， 又平面，平面， 故平面，故 A正确 ， 所以与不垂直，故B错误 由，得， 所以，， 所以， ， 所以，， 且，，平面， 故为平面的法向量，故C正确 ，故D正确． 故选ACD． 2.已知两个不重合的平面与平面，若平面的法向量为，，，则平面和平面的位置关系是          ． 解：由题意，计算，得 计算，得； 又，，平面， 所以平面， 所以平面的法向量与平面的法向量共线，则平面平面． 故答案为平面平面． 3.如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，， ，，，，分别是棱，，的中点． 证明：直线平面． 证明：因为，，是棱的中点，  所以，为正三角形，  因为为等腰梯形，所以，  取的中点，并连接，则，所以，  以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，  则， ，，， ，，，，  ， ， ，， ，，，  所以 ，  ， ，   设平面的法向量为   则 ，则  ， 取 ,  则 ，  所以 ， 所以直线平面  4.如下图，四棱锥中，平面，，且，，，在线段上移动，且． 当时，证明：直线平面． 解：因为平面，，， 所以，，两两垂直， 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，， 当时，，， 设平面的法向量为， 则，即， 可取 ， 平面， 直线平面． 5.在四棱锥中，底面是正方形，平面，，是的中点，作交于。 证明：平面； 若在线段上, 且 ，在棱上求一点使得平面． 证明：以为坐标原点，射线，，分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系 不妨设． 连接交于，连接． 依题意得，，． 因为底面是正方形， 所以是此正方形的中心，故点的坐标为， 所以，． 则，故． 而平面，平面， 所以平面． 因为，得，， 设平面的法向量为， 故，令，则，，故， 设， 又因为，平面， 所以即，解得， 所以点为棱的中点时，平面．  设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固异面直线垂直和求异面直线所成角，能够灵活运用. （五）归纳总结 【课堂小结】通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？ 1.空间线线、线面、面面平行如何用向量表示？ 2.如何利用向量法证明空间线线线、线面、面面平行？ 学科网（北京）股份有限公司 $$