1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示   一、教学目标 1.感受立体图形与空间向量的联系，体会用空间向量确定空间图形基本要素的方法; 2.掌握空间图形基本要素点、直线、平面的空间向量表示; 3.能说出求解直线的方向向量与平面的法向量的一般步骤,会求直线的方向向量与平面的法向量. 4.理解直线的方向向量和平面的法向量的过程中，经历数学概念的抽象过程，培养数学抽象素养，发展数学运算素养.   二、教学重难点 重点：掌握空间中点、直线、平面的空间向量表示. 难点：求直线的方向向量与平面的法向量．   三、教学过程 （一）创设情境 我们知道平面向量可以推广到空间向量，通过空间向量建系转化为代数的运算. 问题：空间向量解决了哪些几何问题？ 预设答案：空间向量可以解决平行、垂直、距离和夹角问题. 追问：利用空间向量解决立体几何问题的关键是什么？ 关键是将空间向量与立体几何建立对应的关系. 那么立体几何中的点、线、面在空间向量中应如何表示呢？ 师生活动：教师提出问题，让学生思考回答，引导学生理解空间向量与立体几何间的对应关系. 设计意图：通过复习空间向量与立体几何间关系，自然引申出本节课的教学重点——空间中点、线、面的向量表示. （二）探究新知 任务1：空间中点和直线的向量表示 思考：在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报展示. 如图，在空间中,我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，向量称为点P的位置向量. 设计意图：通过思考探究，让学生深刻、形象地掌握向量表示空间中的一个点，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养. 思考:空间中，如何确定一条直线呢？ 直线l 由点A和方向向量 唯一确定. 空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l． 探究：如何用向量表示直线l？ 师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报展示. 取=,对直线l上任意一点P，点P在直线l上的充要条件是存在实数t, 使得=t⃗，即=t. 小结：直线上点A和方向向量 确定直线 l. 取定空间中任一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 =+t ①， 将=代入①式，得=+t ②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 总结： 向量表示直线的三种形式 ①点P在直线 l 上的充要条件是存在实数 t, 使得 =t，即=. ②取定空间中任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 =+t . ③取定空间中任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+t . 思考：如何理解直线的方向向量？ （1）在空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件： ①是非零向量； ②向量所在的直线与直线l平行或重合． (2)与直线l平行的任意非零向量都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． (3)表示同一条直线的方向向量，模不一定相等，方向相同或相反． 设计意图：通过思考探究，让学生深刻、形象地掌握向量表示空间中的直线及方向向量的特点，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养. 任务2：空间中平面的向量表示 回顾：如何确定一个平面呢？ （1）不共线的三点确定一个平面； （2）直线和直线外一点确定一个平面； （3）两条相交直线确定一个平面； （4）两条平行直线确定一个平面. 思考：一个定点和两个定方向确定一个平面？ 师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报. 设两条直线相交于点A，它们的方向向量分别为和 ，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得 =x+y . 点A与向量，不仅可以确定平面α，还可以具体表示出α内的任意一点. 取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使得 = +x+y. 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式． 思考：一个定点和一个定方向确定一个平面？ 给定空间一点A和一条直线，则过点A且垂直于直线l的平面是唯一确定的，由此得到启发，我们可以利用点 A 和直线l的方向向量来确定平面. 直线l⊥α，取直线l的方向向量，称向量为平面α的法向量. 给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P∣·=0}. 说一说：给定一个平面，该平面的法向量唯一吗？法向量具有怎样的性质呢？ 不唯一，性质如下： (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 追问：如果另有一条直线m ，在直线m上任取向量，与有什么关系？ 由m⊥α，l⊥α，得到l//m，即//， 因此平面可也表示为集合{P∣·=0}. 即平面可由一点和任意一个法向量唯一确定. 师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报. 总结：平面的向量表示方法 ①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使得 = +x+y. ②给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P∣·=0}. 设计意图：通过思考探究，让学生深刻、形象地掌握向量表示空间中的平面，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养. （三）应用举例 例1 在如图所示的空间直角坐标系中，为正方体，棱长为1，求直线和的一个方向向量. 分析：在坐标系中，找到，，，点的坐标，即可求出两直线的方向向量. 解：如图，(0,1,0)，(0,1,1)，(1,0,0)，(1,1,1); =(0-0,1-1,1-0 )=(0,0,1),=(1-1,1-0,1-0 )=(0,1,1). 所以，直线的一个方向向量为(0,0,1)， 直线的一个方向向量为(0,1,1). 追问：直线和是否还有其他的方向向量？ 预设答案：与=(0,0,1)共线的向量都是直线的方向向量， 与=(0,1,1)共线的向量都是直线的方向向量. 【总结】求直线的方向向量的方法： (1)求出直线上任意两点的坐标； (2)利用坐标，求出对应的向量； (3)求出的向量就是直线的方向向量． 例2 已知长方体中，AB=4，BC=3， =2，M为AB中点.以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系. (1)求平面的一个法向量． (2)求平面MCA1的一个法向量. 分析：(1)平面，与y轴垂直，其法向量可以直接写出； (2)平面 MCA1可以看成由，，中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量. 解：(1)因为y轴垂直于平面，所以=(0,1,0)是平面的一个法向量. 追问：平面是否还有其他的法向量？ 与=(0,1,0)共线的向量都是平面的法向量. (2)因为AB=4，BC=3，=2，M是AB的中点，所以M,C,A1的坐标分别为(3,2,0)，(0,4,0)，(3,0,2).因此 =(-3,2,0)，=(0,-2,2). 设=(x,y,z)是平面MCA1的法向量，则 ⊥，⊥ 所以 ∙, ∙, 所以x=z,y=z， 取z=3，则x=2，y=3. 于是=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量. 【总结】平面的法向量的求法： 定义法： 1 找线面垂直即l⊥α； ② l 的方向向量即为平面的法向量. 待定系数法： ① 设出平面的法向量=(x,y,z)； ② 找出平面内两个不共线的向量的坐标=(,,),=(,,) ③ 根据法向量的定义建立关于x,y,z得方程组. ④ 解方程组，取其中一个解，即得法向量. 设计意图：通过例题，熟悉求直线的方向向量及求平面的法向量的方法，并强化数学运算的核心素养． （四）课堂练习 1.已知点，在直线上，写出直线的一个方向向量          ． 解：因为，, 所以，，且都是直线的方向向量． 当时，则直线的一个方向向量． 2.已知三点、、，则平面的法向量可以是          写出一个即可 解：  ，设平面  的法向量为  ， 则有  ，令  ，则  ， 所以  ， 所以平面  的法向量可以是  ． 故答案为：  答案不唯一． 3.在正方体中，平面的一个法向量为(    ) A. B. C. D. 解：如图所示， 由正方体的性质可得：，． 平面． 平面的一个法向量为． 故选：． 3.已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点中，在平面内的是(    ) A. B. C. D. 解：对各个选项进行逐一验证， 对于选项A，，所以， 所以，所以点在平面内， 同理可验证其他三个点不在平面内． 4.如图，在直三棱柱中，，，，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 求平面的一个法向量； 求平面的一个法向量． 解：易知，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，即，可得，令，则， 所以平面的一个法向量为． 易知，，， 则，． 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 所以平面的一个法向量为．  设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固求直线的方向向量和平面的法向量，能够灵活运用. （五）归纳总结 【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $$