精品解析：福建省福州市鼓楼区福州第二中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

福州第二中学2024-2025学年第一学期期中考试 高二数学 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设两个向量和，其中为实数．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量等式建立之间的等量关系，消去先求出范围，进而可求范围. 【详解】由，得 ， ，即， ，，所以 故选:C 【点睛】此题考查向量坐标表示向量相等，二次函数求值域，二次不等式的解,不等式得性质，属于综合题. 2. 已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，是的垂心.若，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明两个线面垂直“平面”和“平面”，进而得到，得到等式，并将其转化为关系式，求解即可. 【详解】连接，并延长交于点，连接， 连接， 由于三条侧棱、、两两互相垂直，易得平面， 又因为平面，平面，所以，， 因为是的垂心，所以， 因为，，且平面，平面，， 所以平面，且平面， 所以，同理可得， 因为，，且平面，平面，， 所以平面，平面， 所以， 因为， 所以，， 即， 所以， 由平面，易得， 所以， 所以. 故选：B. 3. 设a，b，c为实数，记集合若{S}，{T}分别为集合S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（　　） A. {S}=1且{T}=0 B. {S}=1且{T}=1 C. {S}=2且{T}=2 D. {S}=2且{T}=3 【答案】D 【解析】 【详解】∵当时至少有一个根， 当时，还有一根，只要b≠﹣2a，就有2个根； 当b=﹣2a，是一个根 当时，只有一个根； 当时，只有二个根或三个根； 当a=b=c=0时{S}=1，{T}=0 当a＞0，b=0，c＞0时，{S}=1且{T}=1 当a=c=1，b=﹣2时，有{S}=2且{T}=2 故选：D 4. 在棱长为的正方体中，为正方形的中心，，，分别为，，的中点，则四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点，连接，利用来求解. 【详解】 如图所示，连接交于点，连接，连接, 由正方体的特点可知，，,则格据线面垂直的判定定理可知平面， 则， ,故. 故选：B. 【点睛】计算空间多面积的体积时，注意合理切割，将原几何体转化为若干个小三棱锥的体积之和，解答时注意几何体高的判断与计算. 5. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知奇偶性质得到的周期性与对称性，借助已知条件与待定系数，再利用周期性得，由对称性转化为，代入解析式求解即得. 【详解】由为奇函数，得， 故①，函数的图象关于点对称； 由为偶函数，得②， 则函数的图象关于直线对称； 由①②得， 则， 故的周期为，所以， 由，令得，即③， 已知， 由函数的图象关于直线对称，得， 又函数的图象关于点对称，得 所以，即， 所以④，联立③④解得 故时，， 由关于对称，可得. 故选：A. 6. 已知函数满足：，且当时，，若存在实数，使得关于的方程有且仅有四个不等实根，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由知，函数关于直线对称．以下分、、、、五种情况，采用数形结合方法的逐一讨论即可. 【详解】解：由知，函数关于直线对称． 当时，，函数的图象与直线无公共点，不满足条件； 当时，函数的图象与直线最多只有两个公共点，不满足条件； 当时，如图1所示， 函数的图象与直线可能有四个公共点，满足条件； 当时，如图2所示， 存在，使函数的图象与直线有且仅有四个公共点，满足条件； 当时，如图3所示， 存在实数，使函数的图象与直线有且仅有四个公共点，满足条件． 综上可知，实数的取值范围是， 故选：B． 【点睛】已知方程根的个数求参数的取值范围，一般转化为根据两个函数图像的交点个数求参数取值范围；重在考查函数与方程的关系；难题. 7. 已知定义在上的奇函数满足，当时，.若函数在区间上有10个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知和都是周期为2的周期函数，因此可将的零点问题转换为和的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间. 【详解】由得是一个周期为2的奇函数， 当时，，因此， 因为是奇函数，所以 ，， 且的周期为，且，，，， 求的零点，即是与的交点，如图：    为与在区间的交点图形，因为与均为周期为2的周期函数， 因此交点也呈周期出现，由图可知的零点周期为， 若在区间上有10个零点，则第10个零点坐标为， 第11个零点坐标为，因此. 故选：A 【点睛】思路点睛：函数的零点问题，往往可以转化为常见函数的交点的个数问题，而图象的刻画需结合函数的奇偶性、周期性等来处理. 8. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，点P，Q分别为的中点，G在侧面上运动，且满足G∥平面，以下命题错误的是（　　） A. B. 多面体的体积为定值 C. 侧面上存在点G，使得 D. 直线与直线BC所成的角可能为 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合线线垂直的判定定理、线面垂直的性质，以及异面直线夹角的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：连接，作图如下： 因为为正方体，故可得//，又，与是同一条直线， 故可得，则，故A正确； 对B：根据题意，，且线段在上运动，且点到直线的距离不变， 故△的面积为定值，又点到平面的距离也为定值， 故三棱锥的体积为定值，故B正确； 对C：取的中点分别为，连接，作图如下： 容易知在△中，//，又//，， 面面，故面//面， 又G在侧面上运动，且满足G∥平面，故的轨迹即为线段; 又因为为正方体，故面面，故， 则当与重合时，，故C正确； 对D：因为//，故直线与所成角即为直线与所成角，即， 在中，， 故，而当直线与直线BC所成的角为时， ，故直线与直线BC所成的角不可能为，故D错误. 故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中的动点轨迹的问题，以及线线垂直、线面垂直、异面直线夹角、棱锥体积的求解，属综合困难题；解决问题的关键是把握动点的轨迹，熟练的应用垂直关系之间的转化. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 设函数，函数．则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数有3个零点 B. 当时，函数只有1个零点 C. 当时，函数有5个零点 D. 存在实数，使得函数没有零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】当时，得或，当时，，问题转为，的交点个数，结合图象可得答案. 【详解】函数的零点个数即方程异根的个数， 当时，，则，， 由，有，所以或， 当时，，则，， 由，有，所以， 所以问题转为，的交点个数， 作出函数图象可知： 当，即时，有3个交点，即函数有4个零点， 当，即时，有4个交点，函数有5个零点， 当时，只有，函数只有1个零点， 当或即或时，有2个交点，函数有3个零点， 无论实数取何值，使得函数总有零点． 故选：ABC． 10. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ） A. 球与圆柱的表面积之比为 B. 平面DEF截得球的截面面积最小值为 C. 四面体CDEF的体积的取值范围为 D. 若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用球的表面积公式及圆柱的表面积公式可判断A，由题可得到平面DEF的距离为，进而可得平面DEF截得球的截面面积最小值可判断B，由题可得四面体CDEF的体积等于可判断C，设在底面的射影为，设，，然后利用二次函数的性质可得的取值范围可判断D. 【详解】由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则球表面积 为，圆柱的表面积， 所以球与圆柱的表面积之比为，故A错误； 过作于，则由题可得， 设到平面DEF的距离为，平面DEF截得球的截面圆的半径为， 则，， 所以平面DEF截得球的截面面积最小值为，故B正确； 由题可知四面体CDEF的体积等于，点到平面的距离， 又，所以，故C正确； 由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的射影为， 则， 设，则，， 所以 ， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查圆柱与球的表面积、体积以及折线段的最值问题，考查逻辑推理能力，是一道难题. 11. 当时，不等式成立．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】将给定不等式变形，构造函数，利用函数单调性，逐项分析判断作答. 【详解】当时，不等式，令，则在上单调递增， 因，则，A正确； 因，则，B不正确； 由知，，有，则， 由选项A知，，即，C不正确； 由得，，则，D正确. 故选：AD 【点睛】关键点睛：涉及两个量的大小，构造函数，分析并运用函数的单调性是求解作答的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上. 12. 已知函数满足，且在区间上恰有两个最值，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据是函数的最小值求出与间的等量关系，进行消元，再结合在给定区间上恰有两个最值的条件建立不等关系，建立不等关系时，要注意结合三角函数的图像，特别注意端点值的取舍． 【详解】因为，所以， 所以，，即，， 所以． 当时，． 因为在区间上恰有两个最值，且， 所以，解得． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据已知条件建立不等关系，特别注意端点值的取舍． 13. 已知为锐角三角形的外心，若，，则的最大值______. 【答案】 【解析】 【分析】设外接圆的半径为，,求出，，在两别分别乘以，可表示出，利用基本不等式可求出最值. 【详解】设外接圆的半径为，,如图， ，， 可得， 同理可得， 在两别分别乘以得 ，整理得， ， 当且仅当，即等号成立, 则的最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查向量关系的处理，考查基本不等式的应用，属于较难题. 14. 已知，，且，则的最大值为____． 【答案】 【解析】 【分析】 由，， 利用均值不等式得， 解得的取值范围，进而求得的最大值. 【详解】由，，得， 即 又， 当且仅当，即时，取等， 故， 解得或（舍） 故，即的最大值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15小题12分，16小题16分，17小题15分，18小题17分，19小题17分） 15. 某中学长期坚持贯彻以人为本，因材施教的教育理念，每年都会在校文化节期间举行“数学素养能力测试”和“语文素养能力测试”两项测试，以给学生课外兴趣学习及辅导提供参考依据．成绩分为，，，，五个等级（等级，，，，分别对应5分，4分，3分，2分，1分）．某班学生两科的考试成绩的数据统计如图所示，其中“语文素养能力测试”科目的成绩为的考生有3人． （1）求该班“数学素养能力测试”的科目平均分以及“数学素养能力测试”科目成绩为的人数； （2）若该班共有9人得分大于7分，其中有2人10分，3人9分，4人8分．从这9人中随机抽取三人，设三人的成绩之和为，求． （3）从该班得分大于7分的9人中选3人即甲，乙，丙组队参加学校内的“数学限时解题挑战赛”．规则为：每队首先派一名队员参加挑战赛，在限定的时间，若该生解决问题，即团队挑战成功，结束挑战；若解决问题失败，则派另外一名队员上去挑战，直至派完队员为止．通过训练，已知甲，乙，丙通过挑战赛的概率分别是，，，问以怎样的先后顺序派出队员，可使得派出队员数目的均值达到最小？（只需写出结果） 【答案】（1）2.575,4；（2）；（3）乙，甲，丙． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，直接求加权平均数，再根据语文素养能力测试为的频率和人数得出总人数，再根据“数学素养能力测试”科目的频率即可得解. 【详解】（1）由图可知，数学素养能力测试为的频率为0.1，故该班“数学素养能力测试”的科目平均分为， 语文素养能力测试为的频率为0.075，故而该班有人．“数学素养能力测试”科目成绩为的人数（人）． （2）依题：的取值可为29，28，27，26，25，24． ，，， ，，， ， ． （3）乙，甲，丙． 【点睛】本题考查了频率分布直方图的识别与分析，考查了利用排列组合求概率及期望，以及对概率的深入理解，考查了计算能力和分类讨论思想，属于较难题. 16. 在中，角所对的边分别记作已知的周长为，且有． （1）求的面积； （2）设内心为，外心为O，，求外接圆半径． 注：在中，有，其中r和R分别为三角形内切圆与外接圆的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 直接由三角形的面积公式即可求得答案； （2）首先由等面积法可得内接圆的半径，再结合题干给的公式以及正、余弦定理即可求得外接圆半径为R. 【小问1详解】 可知，即，解得． 【小问2详解】 可知内接圆的半径． 连接IB、OB，设，则． 不妨设外接圆半径为R，则． 由角度关系，， 因此代入有 ， 整理：． 右式 由于，因此，解得． 17. 已知函数的定义域为，实数和满足，若在区间上不存在最小值，则称在上具有性质. （1）若，判断函数在下列区间上是否具有性质；①；②； （2）若对任意实数都成立，当时，，若在区间上具有性质，求实数的取值范围； （3）对于满足的任意实数和，在区间上都有性质，且对于任意，当时，均满足.设，，试判断数列的单调性，并说明理由. 【答案】（1） ①不具有；②具有 （2） （3）单调递增，理由如下： 由在区间上都有性质， 则在，上，且， 又，所以，即，对于， 因， 令，因，所以， 所以，即， 所以数列是单调递增的. 【解析】 【分析】(1)由对称轴，即可判断； (2)求出在上的函数解析式，根据在上没有最小值，即可讨论的情况，得出结果； (3)由在区间上都有性质，可以得出以及，进而结合，可得，对于，利用进行证明即可. 【小问1详解】 ，对称轴为， 当时，有最小值，不具有性质； 当时，递增，无最小值，具有性质. 【小问2详解】 由题知，当时，， 则当，即时， ， 所以当时，， 所以， 那么，当时，无最小值，符合题意； 当时，需满足，即，解得； 当时，无最小值，符合题意. 综上所述，. 【小问3详解】 略 18. 某加油站拟造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位：米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，（为圆柱的高，为球的半径，）.假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元.设该储油罐的建造费用为千元. （1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该储油罐的建造费用最小时的的值. 【答案】（1），（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）求实际问题函数解析式，关键正确理解题意，列出正确的等量关系，明确自变量取值范围. 储油罐的建造费用等于圆柱形部分建造费用与半球形部分建造费用之和，由得：，（2）所研究函数是一个关于的一元二次函数，求其最值关键在于研究对称轴与定义区间之间位置关系，，在上是增函数，所以当时，储油罐的建造费用最小. 试题解析：[解] ：(1）3分 （） 6分 (2)，8分 ，在上是增函数，12分 所以当时，储油罐的建造费用最小. 14分 考点：函数解析式，二次函数最值 19. 如图，已知三棱柱，平面平面ABC，，，E，F分别是AC，的中点．请你用几何法解决下列问题： （1）证明：； （2）求直线EF与平面所成角的余弦值； （3）求二面角的正弦值 【答案】 （1）连接，，是的中点，， 又平面平面，平面，平面平面， 平面，， ，，， ，平面， . （2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）运用几何法，则需要通过证明线面垂直实现； （2）取中点，连接､，在平面上的射影在直线上，连接，交于，则是直线与平面所成角(或其补角)，可求得直线与平面所成角的余弦值． （3）过点B作于H，连接AH， 在平面的射影是，利用射影面积法可求得二面角的正弦函数值． 【详解】（1）略 （2）取中点，连接､，则是平行四边形， 由于平面，故，平行四边形是矩形， 由（1）得平面，则平面平面， 在平面上的射影在直线上， 连接，交于，则是直线与平面所成角(或其补角)， 不妨设，则在△中，，， 是的中点，故，， 直线与平面所成角的余弦值为. （3）过点B作于H，连接AH，因为平面平面ABC，所以平面，所以在平面的射影是， 设二面角为，由图示知为锐角， 在中，，设，所以，， 在中，， ． 所以二面角的正弦值为． 【点睛】思路点睛：线面角的二种求法： 1.几何法：一般要有三个步骤：一作，二证，三算. 2. 向量法：直线a的方向向量和平面的法向量分别为和.直线a的方向向量和平面所成的角θ满足: 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州第二中学2024-2025学年第一学期期中考试 高二数学 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设两个向量和，其中为实数．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，是的垂心.若，，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 设a，b，c为实数，记集合若{S}，{T}分别为集合S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（　　） A. {S}=1且{T}=0 B. {S}=1且{T}=1 C. {S}=2且{T}=2 D. {S}=2且{T}=3 4. 在棱长为的正方体中，为正方形的中心，，，分别为，，的中点，则四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足：，且当时，，若存在实数，使得关于的方程有且仅有四个不等实根，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知定义在上的奇函数满足，当时，.若函数在区间上有10个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，点P，Q分别为的中点，G在侧面上运动，且满足G∥平面，以下命题错误的是（　　） A. B. 多面体的体积为定值 C. 侧面上存在点G，使得 D. 直线与直线BC所成的角可能为 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 设函数，函数．则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数有3个零点 B. 当时，函数只有1个零点 C. 当时，函数有5个零点 D. 存在实数，使得函数没有零点 10. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ） A. 球与圆柱的表面积之比为 B. 平面DEF截得球的截面面积最小值为 C. 四面体CDEF的体积的取值范围为 D. 若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为 11. 当时，不等式成立．若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上. 12. 已知函数满足，且在区间上恰有两个最值，则实数的取值范围为______． 13. 已知为锐角三角形的外心，若，，则的最大值______. 14. 已知，，且，则的最大值为____． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15小题12分，16小题16分，17小题15分，18小题17分，19小题17分） 15. 某中学长期坚持贯彻以人为本，因材施教的教育理念，每年都会在校文化节期间举行“数学素养能力测试”和“语文素养能力测试”两项测试，以给学生课外兴趣学习及辅导提供参考依据．成绩分为，，，，五个等级（等级，，，，分别对应5分，4分，3分，2分，1分）．某班学生两科的考试成绩的数据统计如图所示，其中“语文素养能力测试”科目的成绩为的考生有3人． （1）求该班“数学素养能力测试”的科目平均分以及“数学素养能力测试”科目成绩为的人数； （2）若该班共有9人得分大于7分，其中有2人10分，3人9分，4人8分．从这9人中随机抽取三人，设三人的成绩之和为，求． （3）从该班得分大于7分的9人中选3人即甲，乙，丙组队参加学校内的“数学限时解题挑战赛”．规则为：每队首先派一名队员参加挑战赛，在限定的时间，若该生解决问题，即团队挑战成功，结束挑战；若解决问题失败，则派另外一名队员上去挑战，直至派完队员为止．通过训练，已知甲，乙，丙通过挑战赛的概率分别是，，，问以怎样的先后顺序派出队员，可使得派出队员数目的均值达到最小？（只需写出结果） 16. 在中，角所对的边分别记作已知的周长为，且有． （1）求的面积； （2）设内心为，外心为O，，求外接圆半径． 注：在中，有，其中r和R分别为三角形内切圆与外接圆的半径． 17. 已知函数的定义域为，实数和满足，若在区间上不存在最小值，则称在上具有性质. （1）若，判断函数在下列区间上是否具有性质；①；②； （2）若对任意实数都成立，当时，，若在区间上具有性质，求实数的取值范围； （3）对于满足的任意实数和，在区间上都有性质，且对于任意，当时，均满足.设，，试判断数列的单调性，并说明理由. 18. 某加油站拟造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位：米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，（为圆柱的高，为球的半径，）.假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元.设该储油罐的建造费用为千元. （1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该储油罐的建造费用最小时的的值. 19. 如图，已知三棱柱，平面平面ABC，，，E，F分别是AC，的中点．请你用几何法解决下列问题： （1）证明：； （2）求直线EF与平面所成角的余弦值； （3）求二面角的正弦值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $