14.1 勾股定理 同步练习-2024-2025学年华东师大版数学八年级上册

14.1 勾股定理 一、单选题 1．在中，三边长分别为6，8，10，那么的面积为（    ） A．48 B．24 C．30 D．40 2．如图，小正方形的边长均为1，、、是小正方形的顶点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　 　） A． B． C． D． 4．小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边米远的水底，竹竿高出水面米，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 6．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则为长度的（   ） A． B． C． D． 7．如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 8．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．，， B．4，6，8 C．6，8，10 D．3，6，9 9．的三条边是,下列条件不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 10．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 二、填空题 11．用反证法证明“直角三角形两锐角中至少有一个不小于”，应先假设这个直角三角形中的每一个锐角都 ． 12．一个直角三角形的一条直角边长为9，斜边比另一条直角边长1，该直角三角形的面积为 ． 13．在中，，，为边上的高，且，则 ． 14．等腰三角形底边长是10，腰长是13，则底边上的高是 ． 15．如图，三个正方形围成一个直角三角形，49、625分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形面积是 ． 16．如题图，在中，，于D，且，，则长为 ． 17．如图，点P在的平分线上，于点C，，点D在边上，，，则 ． 18．边长为6，8，10的内有一点到三边的距离均为，则的值为 ． 19．如题图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为 ． 20．在中，，，， 点N， M分别是边和上的动点， 始终保持， 连接，， 则的最小值为 ．    三、解答题 21．如图，在等腰三角形中，，是底边上的高，请你利用反证法证明是一个锐角． 22．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，使点B与点A重合，折痕为． (1)求的周长． (2)求的长． 23．如图，将长方形沿直线 折叠，顶点 恰好落在边上点处，未被覆盖的部分涂黑记为阴影部分，已知，． (1)求 的长; (2)求阴影部分的面积． 24．如图，在中，为边上一动点，以为斜边在右侧构造等腰，连接．求证：． 25．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长部为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理： (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知中，，，，求的面积． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C A D C A C A B 11．小于 12． 13．7或26 14．12 15．576 16． 17． 18．2 19．84 20． 21．证明：假设是钝角或直角． ∵，是底边上的高， ∴． ∵是钝角或直角， ∴，不符合三角形内角和定理， ∴假设不成立， ∴是一个锐角． 22．（1）解：∵将折叠，使点B与点A重合，折痕为， ∴， 则的周长； （2）解：由题意得； 设，则， ， 在中，根据勾股定理得：，即，解得；即． 23．（1）解：四边形是长方形， ，， 由折叠得，， 在中，根据勾股定理可得 ； （2）由（1）得，则  设，则 在中，根据勾股定理可得 即  解得，即 24．证明：将绕点逆时针旋转得到线段，连接， 将绕点逆时针旋转得到线段， ，，， ， ， 又， ∴， ， 是以为斜边的等腰直角三角形， ， ， 、、三点共线， ，， ， ∵是直角三角形， ， ，即， ， ∵， ． 25．（1）证明：梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得， 即千米， （千米）， 答：新路比原路少0.2千米； （3）作，垂足为， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． ． 学科网（北京）股份有限公司 $$