专题01 反比例函数（7大题型+过关训练）-2024-2025学年九年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题01 反比例函数 目录 【题型一 用反比例描述数量关系】 1 【题型二 反比例函数的概念】 3 【题型三 反比例函数图像上点的特征】 4 【题型四 根据反比例函数的定义求参数】 6 【题型五 求反比例函数值】 7 【题型六 由反比例函数值求自变量】 8 【题型七 列反比例函数关系式】 10 【题型一 用反比例描述数量关系】 例题：下面每组中的两种量成反比例的是（   ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．利率一定，存款的本金和利息 C．圆柱的体积一定，它的底面积和高 D．折扣一定，商品的原价和折后价 【答案】C 【分析】本题考查了反比例，熟练掌握反比例的定义是关键．根据两种量成反比例的定义：如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么他们就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系，判断即可． 【详解】解：A、长方形的周长一定，它的长和宽的和是定值，故不符合题意； B、利率一定，存款的本金和利息成正比例，故不符合题意； C、因为圆柱的体积底面积高，所以圆柱的体积一定，它的底面积和高成反比例，故符合题意； D、折扣一定，商品的原价和折后价不成反比例，故不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（    ） A．某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系 B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系 C．压强公式中，一定时，压强与受力面积之间的关系 D．三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，对于两个变量，若它们的乘积一定，则这两个变量是反比例函数关系，据此可得答案． 【详解】解：A、由题意得，，则时间与跑步平均速度之间的关系是反比例函数，不符合题意； B、由题意得，，则长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系是反比例函数，不符合题意； C、由题意得，，则一定时，压强与受力面积之间的关是反比例函数，不符合题意； D、由题意得，（l为一边长，h为该边上的高），则l一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系不是反比例函数，符合题意； 故选：D 2．已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是正比例与反比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握待定系数法是解本题的关键； （1）由题意可设设，，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设，， 则 当时，；当时，． 解得： （2）当时，． 【题型二 反比例函数的概念】 例题：下列函数不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，熟知形如（k为常数，）的函数叫反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义进行解答即可． 【详解】解：A、，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意； B、，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意； C、，不符合（k为常数，）的形式，不是反比例函数，故选项符合题意； D、∵， ∴，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意； 故选：C 【变式训练】 1．下列函数中，y关于x的反比例函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式，也可转化为的形式，特别注意不要忽略这个条件．根据反比例函数的一般式是对各个选项进行判断即可． 【详解】解：根据反比例函数的定义，可判断出只有表示是的反比例函数． 故选：D． 2．下列函数中，是的反比例函数的有 （填序号） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）（为常数，）． 【答案】（2）（3）（4）（6）（9） 【分析】根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】由题意可得（2）（3）（4）（6）（9）是反比例函数． 故答案为：（2）（3）（4）（6）（9）． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为（k为常数，）或（k为常数，）．也考查了一次函数的定义． 【题型三 反比例函数图像上点的特征】 例题：反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求反比例函数值．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可． 【详解】解：解：当时，，图象经过，故A符合要求； 当时，，图象不经过，故B不符合要求； 当时，，图象不经过，故C不符合要求； 当时，，图象不经过，故D不符合要求； 故选：A． 【变式训练】 1．在平面直角坐标系中，有五个点，其中有四个点在同一反比例函数图象上，则不在这个反比例函数图象上的点是（   ） A．点E B．点D C．点C D．点B 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．在同一反比例函数上，k的值就相等．由题意得：，横纵坐标相乘得比例系数．只需把所给点的横纵坐标相乘，结果相等的，就在此函数图象上． 【详解】解：A、； B、； C、； D、； E、． 由以上可知C点与其余四点不在同一函数图象上． 故选：C． 2．反比例函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查函数图像上点的坐标特征，将代入反比例函数即可得解．解题的关键是掌握：函数图像上的点表示该点的横纵坐标适合该函数的解析式，反过来也成立． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：． 故答案为：． 【题型四 根据反比例函数的定义求参数】 例题：已知函数 是反比例函数，则的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．任意实数 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义的形式，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， 解得，， ∴， 故选：B ． 【变式训练】 1．若是反比例函数，那么m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数定义求参数，解不等式及绝对值方程等知识，由反比例函数定义得到，且，求解即可得到，熟记反比例函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：是反比例函数， ，且， ， 故答案为：． 2．已知，当 时，是的反比例函数． 【答案】1 【分析】此题考查了反比例函数的定义，形如或的函数叫做反比例函数．据此得到，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，在，当，即时， 是的反比例函数． 故答案为：1． 【题型五 求反比例函数值】 例题：当时，反比例函数 的函数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数性质，将代入反比例函数解析式计算即可． 【详解】解：当时， 故选：B． 【变式训练】 1．如果y是x的反比例函数，那么当x增加它的时，y将（    ） A．减少它的 B．减少它的 C．增加它的 D．增加它的 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据y是x的反比例函数，得出，根据当x增加它的时，自变量变为，设因变量变为，得出，求出，得出答案． 【详解】解：∵y是x的反比例函数， ∴， 当x增加它的时，自变量变为，设因变量变为，则： ， ∴， ∴y将减少它的， 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．将点和代入函数，求得，，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图像经过点和， ∴可有，， ∴． 故答案为：0． 【题型六 由反比例函数值求自变量】 例题：已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上的特征，根据点在反比例函数的图象上，代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：A． 【变式训练】 1．如图反比例函数的图象经过点，若，则x的范围是（  ）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】找到纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值即可． 本题考查的是给定函数的取值范围确定自变量的取值，可直接由函数图象得出． 【详解】解：在第一象限纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值为； 在第三象限纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值为． 故选：C． 2．如图，反比例函数的图象经过点，则当时，x的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，本题属于基础题型．先令代入反比例函数求出的值，然后根据图象即可求出的范围． 【详解】解：由题意可知：， ， 由图象可知：或． 故答案为：或． 【题型七 列反比例函数关系式】 例题：电路中在电压保持不变的条件下，电流与电阻成反比例关系，其函数图象如图所示，则关于的函数表达式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 考查列反比例函数关系式，关键是根据题中所给的值确定常量电压的值． 根据电压=电流×电阻得到稳定电压的值，让即可． 【详解】解：∵当，时， ∴电压=20×11=220， ． 故选：A． 【变式训练】 1．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表： 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为 ，y与x成 比例关系． 【答案】 反 【分析】本题考查由表格求反比例函数的解析式，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 总本数=每包的本数×包数，总本数一定，即乘积一定，那么每包的本数和包数成反比例． 【详解】解：由表格可知：， ， y与x成反比例关系． 故答案为：，反． 2．一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实际问题中的函数关系，解题关键是知道压强与受力面积成反比．根据物理中的压强与接触面积、物体的重量之间的关系：压强压力受力面积，构造反比例模型，解决实际问题即可． 【详解】解：∵压强与接触面积成反比例关系， ∴根据压强公式得： ， 故答案为：． 一、单选题 1．若函数是反比例函数，的值是（　　） A． B．1 C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义求出的值即可． 【详解】∵是反比例函数， ∴， 解得． 故选：A 2．下列函数中：（1）；（2）；（3）；（4），反比例函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数解析式．熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义求解作答即可． 【详解】解：由题意知，是反比例函数，，，不是反比例函数， 故选：A． 3．在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．本题根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，，而时，有，则，然后解不等式即可． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， ，， 当时，有， ， ， 故选：D． 4．当矩形的面积为定值时，下列选项中成反比例的量的是（    ） A．矩形的一边与周长 B．矩形的一边与面积 C．矩形的长与宽 D．矩形的周长与面积 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、设矩形的长为a，宽为b，周长为c，那么，没有乘积为定值的关系，所以不是反比例函数，故本选项不符合题意； B、设矩形的长为a，宽为b，面积为S，那么，没有乘积为定值的关系，所以不是反比例函数，故本选项不符合题意； C、设矩形的长为a，宽为b，面积为S，那么，所以是矩形的长与宽的积为定值，成反比例，故本选项符合题意； D、设矩形的长为a，宽为b，周长为c，面积为S，那么，，没有乘积为定值的关系，所以不是反比例函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 5．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中为定值是解答此题的关键．根据对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：反比例函数中， A、，此点不在函数图象上，故本选项不合题意； B、，此点在函数图象上，故本选项符合题意； C、，此点不在函数图象上，故本选项不合题意； D、，此点不在函数图象上，故本选项不符合题意． 故选：B． 二、填空题 6．若反比例函数的图象经过，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数，把代入反比例函数得关于m的方程，即可得出m的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过， ， 解得：， 经检验是方程的根， 故答案为：． 7．若是反比例函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义及解一元二次方程，熟练掌握反比例函数的解析式是解题的关键．根据反比例函数的定义可得且，求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， 且， 解得， 故答案为：． 8．已知点、、都在反比例函数 的图象上，则、、间的大小关系为 （用“”号连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数值，不等式的性质等知识点，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 将点、、分别代入反比例函数 ，可得，，，然后利用不等式的性质及已知条件即可得出答案． 【详解】解：将点、、分别代入反比例函数 ，得： ， ， ， ，， ，， 即：，， ， 故答案为：． 9．若反比例函数的图象经过，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质、解一元一次方程等，根据题意，将代入表达式得到方程，求解即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：反比例函数的图象经过， ，解得， 故答案为：． 10．双曲线经过点，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，先根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，整体代入计算即可得解． 【详解】解：∵双曲线经过点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．水池内有污水，设放净全池污水所需时间为，每小时放水量为． (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)求当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所需时间＝池内污水量÷每小时放水量可得y与x之间的函数关系式； （2）把代入（1）中函数关系式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）当时，． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出反比例函数关系以及求反比例函数值，正确列出函数关系式是解题的关键． 12．已知函数． (1)当m为何值时，y是x的正比例函数？ (2)当m为何值时，y是x的反比例函数？ 【答案】(1)1 (2)0 【分析】本题考查了正比例函数、反比例函数的定义．熟记定义是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义得到，且； （2）根据正比例函数的定义得到，且； 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴，且，解得． （2）解：∵函数是反比例函数， ∴，且，解得． 即当时，y是x的反比例函数． 13．一辆汽车前灯电路上的电压保持不变，通过灯泡的电流越大，灯就越亮．设选用灯泡的电阻为，通过的电流强度为． (1)若电阻为，通过的电流强度为，求I关于R的函数表达式，并说明比例系数的实际意义． (2)如果电阻大于，那么与原来的相比，汽车前灯的亮度将发生什么变化？ 【答案】(1)所求的函数表达式为．比例系数是12，在本题中的实际意义是指汽车前灯的电压为 (2)当电阻大于时，电流强度I变小，汽车前灯将变暗 【分析】（1）根据欧姆定律知，I与R成反比例，设，然后待定系数法进行求解函数解析式即可； （2）设电阻，此时通过灯泡的电流强度，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在题设条件下，电压U是不为零的常数．由欧姆定律知，I与R成反比例，设． 由题意知，当时，， ∴， ∴． 所以所求的函数表达式为．比例系数是12，在本题中的实际意义是指汽车前灯的电压为． （2）解：设电阻，此时通过灯泡的电流强度． ∵， ∴，即． 也就是说，当电阻大于时，电流强度I变小，汽车前灯将变暗． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义及欧姆定律是解题的关键． 14．已知y与成反比例，当时，． (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数表达式，准确的运算是解题的关键． （1）用待定系数法即可解决问题． （2）将代入即可． 【详解】（1）因为y与成反比例， 所以设， 把代入，得， 所以 （2）当时，． 15．小星根据学习反比例函数的经验，探究函数的图象与性质． (1)下面是画函数图象的步骤： 列表： x … －4 －2 －1 1 2 4 … y … 1 2 a b 2 1 … 其中，______，______， 描点、连线：把图象补充完整； (2)观察函数的图象，当时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)4，4，图见解析 (2)或 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象的画法是解答本题的关键． （1）将和代入解析式，可知、值，画出函数图象即可； （2）根据函数图象可直接写出时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）当时，，当时，， 故答案为：4；4． 图象如图示： （2）根据图像，当时，自变量的取值范围为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 反比例函数 目录 【题型一 用反比例描述数量关系】 1 【题型二 反比例函数的概念】 2 【题型三 反比例函数图像上点的特征】 2 【题型四 根据反比例函数的定义求参数】 3 【题型五 求反比例函数值】 3 【题型六 由反比例函数值求自变量】 3 【题型七 列反比例函数关系式】 4 【题型一 用反比例描述数量关系】 例题：下面每组中的两种量成反比例的是（   ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．利率一定，存款的本金和利息 C．圆柱的体积一定，它的底面积和高 D．折扣一定，商品的原价和折后价 【变式训练】 1．下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（    ） A．某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系 B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系 C．压强公式中，一定时，压强与受力面积之间的关系 D．三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系 2．已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 【题型二 反比例函数的概念】 例题：下列函数不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列函数中，y关于x的反比例函数是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是的反比例函数的有 （填序号） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）（为常数，）． 【题型三 反比例函数图像上点的特征】 例题：反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．在平面直角坐标系中，有五个点，其中有四个点在同一反比例函数图象上，则不在这个反比例函数图象上的点是（   ） A．点E B．点D C．点C D．点B 2．反比例函数的图象经过点，则 ． 【题型四 根据反比例函数的定义求参数】 例题：已知函数 是反比例函数，则的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．任意实数 【变式训练】 1．若是反比例函数，那么m的值是 ． 2．已知，当 时，是的反比例函数． 【题型五 求反比例函数值】 例题：当时，反比例函数 的函数值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如果y是x的反比例函数，那么当x增加它的时，y将（    ） A．减少它的 B．减少它的 C．增加它的 D．增加它的 2．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和，则的值是 ． 【题型六 由反比例函数值求自变量】 例题：已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．8 【变式训练】 1．如图反比例函数的图象经过点，若，则x的范围是（  ）    A． B． C．或 D．或 2．如图，反比例函数的图象经过点，则当时，x的取值范围为 ． 【题型七 列反比例函数关系式】 例题：电路中在电压保持不变的条件下，电流与电阻成反比例关系，其函数图象如图所示，则关于的函数表达式是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表： 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为 ，y与x成 比例关系． 2．一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ． 一、单选题 1．（2024九年级上·全国·专题练习）若函数是反比例函数，的值是（　　） A． B．1 C． D．不能确定 2．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）下列函数中：（1）；（2）；（3）；（4），反比例函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级下·全国·期中）在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·北京·期中）当矩形的面积为定值时，下列选项中成反比例的量的是（    ） A．矩形的一边与周长 B．矩形的一边与面积 C．矩形的长与宽 D．矩形的周长与面积 5．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）若反比例函数的图象经过，则的值是 ． 7．（24-25八年级上·上海·期中）若是反比例函数，则的值为 ． 8．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）已知点、、都在反比例函数 的图象上，则、、间的大小关系为 （用“”号连接）． 9．（24-25九年级上·山东威海·阶段练习）若反比例函数的图象经过，则的值是 ． 10．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）双曲线经过点，则代数式的值为 ． 三、解答题 11．（21-22九年级上·福建三明·阶段练习）水池内有污水，设放净全池污水所需时间为，每小时放水量为． (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)求当时，y的值． 12．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知函数． (1)当m为何值时，y是x的正比例函数？ (2)当m为何值时，y是x的反比例函数？ 13．（21-22八年级下·全国·课后作业）一辆汽车前灯电路上的电压保持不变，通过灯泡的电流越大，灯就越亮．设选用灯泡的电阻为，通过的电流强度为． (1)若电阻为，通过的电流强度为，求I关于R的函数表达式，并说明比例系数的实际意义． (2)如果电阻大于，那么与原来的相比，汽车前灯的亮度将发生什么变化？ 14．（19-20九年级下·全国·课后作业）已知y与成反比例，当时，． (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 15．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）小星根据学习反比例函数的经验，探究函数的图象与性质． (1)下面是画函数图象的步骤： 列表： x … －4 －2 －1 1 2 4 … y … 1 2 a b 2 1 … 其中，______，______， 描点、连线：把图象补充完整； (2)观察函数的图象，当时，直接写出自变量x的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$