周末小金卷12-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（人教版）

周末小金卷·数学·九年级　 　 　 ·17　 · 周末小金卷十二 (考试范围:27. 2. 2~ 27. 3) 　 (时间:45 分钟 满分:100 分) 题序 一 二 三 总分 得分 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(每小题 4 分,共 32 分) 1. 已知△ABC∽△A′B′C′,下列图形中,△ABC 与△A′B′C′不存在位似关系的是 (　 　 ) A B C D 2. 如图,在 4×8 的方格中,点 A,B,C,D 在格点上,以点 P1 为位似中心,将线段 AB 放大到原来的 k 倍得到线段 CD,则 k 为 (　 　 ) A. 2 B. 3 C. 1 2 D. 1 3 第 2 题图 　 　 　 　 第 5 题图 3. 已知△ABC∽△A′B′C′,AD 和 A′D′是它们的对应高线,若 AD = 4,A′D′ = 2,则 △ABC 与△A′B′C′的周长比为 (　 　 ) A. 2 ∶ 1 B. 2 ∶ 3 C. 4 ∶ 1 D. 4 ∶ 9 4. 在平面直角坐标系中,已知点 E( -4,8),F( -2,-2),以原点 O 为位似中心,将 △EFO 缩小为原来的一半,则点 E 的对应点 E1 的坐标为 (　 　 ) A. ( -2,4) B. ( -8,16) C. ( -8,16)或(8,-16) D. ( -2,4)或(2,-4) 5. (新考法·数学文化)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传 统数学的基本框架. 其中第九卷,主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三 边互求的关系. 其中记载:“今有邑,东西七里,南北九里,各中开门,出东门一十 五里有木,问:出南门几何步而见木?” (如图)译文:“今有一座长方形小城,东西 向城墙长 7 里,南北向城墙长 9 里,各城墙正中均开一城门. 走出东门 15 里处有 棵大树,问走出南门多少步恰好能望见这棵树?”因此想要恰好能望见这棵树需 要走出南门(注:1 里= 300 步) (　 　 ) A. 205 步 B. 215 步 C. 305 步 D. 315 步 6. 如图,点 F 在平行四边形 ABCD 的边 AD 上,延长 BF 交 CD 的延长线于点 E,交 AC 于点 O. 若 S△AOB S△COE = 4 9 ,则AF DF 等于 (　 　 ) A. 2 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 2 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 7. (新考法·跨学科)如图是凸透镜成像示意图,CD 是蜡烛 AB 通过凸透镜 MN 所 成的虚像. 已知蜡烛的高 AB 为 5. 4 cm,蜡烛 AB 离凸透镜 MN 的水平距离 OB 为 6 cm,该凸透镜的焦距 OF 为 10 cm,AE∥OF,则像 CD 的高为 (　 　 ) A. 15 cm B. 14. 4 cm C. 13. 5 cm D. 9 cm 8. 如图,CE 是▱ABCD 的边 AB 的垂直平分线,垂足为 O,CE 与 DA 的延长线交于点 E. 连接 AC,BE,OD,且 OD 与 AC 交于点 F,则下列结论:①四边形 ACBE 是菱形; ②∠ADC= ∠ABE;③AF ∶ AD = 2 ∶ 5;④S四边形AFOE ∶ S△COD = 2 ∶ 3. 其中正确的结 论有 (　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9. 已知两个相似三角形对应角平分线的比为 4 ∶ 3,那么这两个三角形对应高的比 为 . 10. 如图,四边形 ABCD 和 A′B′C′D′是以点 O 为位似中心的位似图形,若 OA ∶ OA′= 2 ∶ 3,则四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′的面积比为 . 　 第 10 题图 　 第 11 题图 　 第 12 题图 11. 如图,用一个卡钳(AD=BC,OC OB =OD OA = 1 3 )测量某个零件的内孔直径 AB,量得 CD 长度为 6 cm,则 AB 等于 cm. 12. 如图,△ABC 与△A′B′C′是位似图形,且顶点都在格点上,则位似中心的坐标为 　 　 　 　 . 13. 如图,在△ABC 中,A,B 两个顶点在 x 轴的上方,点 C 的坐标为( -1,0) . 以点 C 为位似中心,在 x 轴的下方作△ABC 的位似图形,并把△ABC 的边长放大到原 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 来的 2 倍,记所得的图形△A′B′C. 设点 B 的横坐标为-a,则点 B 的对应点 B′的 横坐标为 . 第 13 题图 　 　 　 第 14 题图 14. 如图,△ABC 是一块锐角三角形余料,边 BC = 60 mm,高 AD = 40 mm,要把它加 工成正方形零件,使正方形的一边 QM 在 BC 上,其余两个顶点 P,N 分别在 AB, AC 上,则这个正方形零件的边长为　 　 　 　 mm. 三、解答题(共 38 分) 15. (8 分)在边长为 1 的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系, △ABC 是格点三角形(顶点是网格线的交点),点 A,B,C 的坐标分别为 A(3, 0),B(4,2),C(2,4) . (1)画出△ABC 以点 C 为旋转中心、顺时针旋转 90°后得到的△A1B1C1; (2) 以点 O 为位似中心,在 y 轴右侧画出 △ABC 的位似图形 △A2B2C2,使 △A2B2C2 与△ABC 的相似比为 2 ∶ 1,并写出点 B 的对应点 B2 的坐标. 16. (10 分)如图,AB 和 A′B′分别与 x 轴垂直,点 A 的坐标为( 1,2), △AOB 和 △A′OB′是位似三角形,且相似比为 1 ∶ 3,C 是 OA′的中点,反比例函数 y= k x (x> 0)的图象经过点 C,与 A′B′交于点 D. (1)求点 D 的坐标; (2)连接 BD,CD,求四边形 ABDC 的面积. 17. (8 分)(新情境·项目式学习)某“综合与实践”小组开展测量本校旗杆高度的 实践活动. 他们制订了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量,测量报告 如下: 课题 测量旗杆的高度 成员 组长:×××　 　 　 组员:×××,×××,××× 测量工具 皮尺,标杆 测量示意图 　 　 　 　 说明:在水平地面上直立一根标杆 EF,观测者沿着直线 BF 后退到点 D,使眼睛点 C、标杆的顶端点 E、旗 杆的顶端点 A 在同一直线上. 测量数据 观测者与标杆的 距离 DF 1 m 观测者与旗杆的 距离 DB 18 m 标杆 EF 的长 2. 4 m 观测者的眼睛离 地面的距离 CD 1. 6 m 问题解决 如图,过点 C 作 CH⊥AB 于点 H,交 EF 于点 G…… 请根据以上测量结果及该小组的思路,求学校旗杆 AB 的高度. 18. (12 分)如图,F 是平行四边形 ABCD 的边 AD 上的一点,直线 CF 交线段 BA 的 延长线于点 E. (1)求证:△AEF∽△DCF; (2)若 AF ∶ DF= 1 ∶ 2,AE= 2 ,S△AEF = 2 3 , ①求 AB 的长; ②求△BEC 的面积. ·18·　 　 　 周末小金卷·数学·九年级 周末小金卷·数学·九年级　 　 　 ·29　 · (2)∵ a b = c d = e f = 2, ∴ a b = -2c -2d = 3e 3f = 2. ∴ a -2c+3e b-2d+3f = 2. ∵ b-2d+3f= 5, ∴ a-2c+3e= 2×5 = 10. 16.解:(1)∵ AD∥BE∥CF,EF= 10. ∴ AB AC =DE DF = 2 7 . ∴ DE DE+10 = 2 7 . ∴ DE= 4. ∴ DF=DE+EF= 4+10 = 14. (2)∵ G 是 DE 的中点,AD∥BE,QG= 3, ∴ DG DE =QG QH = 1 2 . ∴ QH= 6. ∵ AD∥BE∥CF,∴ QH PH =DE EF . ∴ 6 PH = 4 10 . ∴ PH= 15. 17. (1)证明:∵ ∠B= 72°,AB=AC,∴ ∠A= 36°. ∵ CD 平分∠ACB, ∴ ∠ACD= ∠BCD= 36°. ∴ ∠A= ∠ACD. ∴ AD=CD. ∵ ∠BDC= 72°, ∴ ∠BDC= ∠B. ∴ BC=CD. ∴ BC=AD. ∵ ∠B= ∠B,∠A= ∠BCD= 36°, ∴ △BAC∽△BCD. ∴ BC BD = AB CB . ∴ AD BD = AB AD . ∴ AD2 =BD·AB. ∴ 点 D 是线段 AB 的黄金分割点. (2)解:∵ 点 D 是线段 AB 的黄金分割点, ∴ AD= 5 -1 2 AB= 5 -1. ∴ BC= 5 -1. 18.证明:(1)∵ BE2 =EF·AE,∴ BE EF = AE BE . ∵ ∠AEB= ∠BEF,∴ △AEB∽△BEF. ∴ ∠FAB= ∠EBF. ∵ AD∥BC,∴ ∠ADB= ∠EBF. ∴ ∠ADB= ∠FAB. ∵ ∠ABD= ∠FBA,∴ △DAB∽△AFB. (2)∵ AB·OB=BC·AF,∴ AB BC = AF OB . ∵ ∠FAB= ∠OBC,∴ △FAB∽△OBC. ∴ ∠AFB= ∠BOC. ∴ 180°-∠AFB= 180°-∠BOC. ∴ ∠AFO= ∠AOF. ∴ AO=AF. ∵ ∠DOA= ∠BOC,∴ ∠DOA= ∠AFB. 又∵ ∠ADO= ∠BAF,∴ △ADO∽△BAF. ∴ AO BF =OD FA . ∴ AF2 =OD·BF. 周末小金卷十二 1. D　 2. A　 3. A 4. D　 【解析】根据题意可得相似比为 1 2 ,当点 E 和点 E1 在原点的同侧时,点 E1 的坐标为 (-2,4);当点 E 和点 E1 在原点的两侧时,点 E1 的坐标为(2,-4) . 综上所述,点 E1 的坐标 为(-2,4)或(2,-4) . 故选 D. 5. D　 【解析】∵ AC⊥AB,DE⊥CD,AC⊥CD,BE 经过点 C,∴ CD∥AB,AC∥DE. ∴ ∠BAC= ∠CDE= 90°,∠ACB= ∠DEC. ∴ △BAC∽△CDE. ∴ AB DC = AC DE . ∵ AC= 4. 5 里,DC= 3. 5 里,又∵ AB= 15 里, ∴ 15 3. 5 = 4. 5 DE . 解得 DE= 1. 05. ∵ 1 里= 300 步,∴ 1. 05×300 = 315(步) . ∴ 出南门 315 步而见木. 故选 D. 6. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,AD=BC,AB∥CD. ∵ AB∥CD,∴ △ABO∽△CEO. ∴ OA OC( ) 2 = S△AOB S△COE = 4 9 . ∴ OA OC = 2 3 . ∵ AD∥BC,∴ △AFO∽△CBO. ∴ OA OC = AF CB = AF AD = 2 3 . ∴ AF DF = AF AD-AF = 2 3-2 = 2. 故选 A. 7. C　 【解析】根据题意,得 AB∥MN,AE∥OF, AB∥CD. ∴ 四边形 ABOE 是平行四边形. ∴ AE=OB= 6 cm. ∵ AE∥OF,∴ △CAE∽△COF. ∴ AC OC = AE OF = 6 10 = 3 5 . ∴ OA OC = 2 5 . ∵ AB∥CD,∴ △OAB∽△OCD. ∴ AB CD =OA OC . ∴ 5. 4 CD = 2 5 . ∴ CD= 13. 5 cm. 故选 C. 8. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD,AB=CD. ∵ CE 垂直平分 AB, ∴ OA=OB= 1 2 AB= 1 2 CD,CD⊥CE. ∵ OA∥CD,∴ AE DE =OE CE =OA CD = 1 2 . ∴ AE=AD,OE=OC. ∵ OA=OB,OE=OC, ∴ 四边形 ACBE 是平行四边形. 又∵ CE⊥AB, ∴ ▱ACBE 是菱形. 故①正确; ∵ ∠DCE= 90°,AD=AE,∴ AC=AD=AE. ∴ ∠ACD= ∠ADC= ∠BAE. ∵ AE=BE, ∴ ∠ABE= ∠BAE. ∴ ∠ADC= ∠ABE. 故②正确; ∵ OA∥CD,∴ AF CF =OA CD = 1 2 . ∴ AF AD =AF AC = AF BE = 1 3 . 故③错误; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 设 S△AOF = a,则 S△COF = 2a,S△CDF = 4a,S△AOC = S△AOE = 3a,∴ S四边形AFOE = 4a,S△COD = 6a. ∴ S四边形AFOE ∶ S△COD = 2 ∶ 3. 故④正确. 故选 C. 9. 4 ∶ 3　 10. 4 ∶ 9　 11. 18　 12. (9,0) 13. 2a-3　 【解析】如图,过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E,过点 B′作 B′F⊥x 轴于点 F, 则△BEC∽△B′FC. ∴ CE CF = BC B′C = 1 2 . ∵ 点 B 的横坐标为-a,∴ CE=a-1. ∴ CF= 2a-2. ∴ OF= 2a-3. ∴ 点 B 的对应点 B′的横坐标为 2a-3. 14. 24 　 【解析】 ∵ 正方形 PQMN 的边 QM 在 BC 上, ∴ PN∥BC,AD⊥BC. ∴ AE⊥PN. ∴ △APN∽△ABC. ∴ PN BC = AE AD . 设 DE= x,则 PN=MN= x,AE= 40-x. ∴ x 60 = 40-x 40 . 解得 x= 24. ∴ 这个正方形零件的边长为 24 mm. 15.解:(1)如图,△A1B1C1 即为所求作. (2)如图,△A2B2C2 即为所求作. 点 B 的对应点 B2 的坐标为(8,4) . 16. 解:(1)∵ AB 和 A′B′分别与 x 轴垂直,点 A 的 坐标为(1,2), ∴ 点 B 的坐标为(1,0) . ∵ △AOB 和△A′OB′是位似三角形,且相似比 为 1 ∶ 3, ∴ 点 B′的坐标为(3,0),点 A′的坐标为(3,6) . ∵ C 是 OA′的中点, ∴ 点 C 的坐标为 3 2 ,3( ) . ∵ 反比例函数 y= k x (x>0)的图象经过点 C, ∴ k= 3 2 ×3 = 9 2 . ∴ 反比例函数的解析式为 y= 9 2x (x>0) . 当 x= 3 时,y= 3 2 , ∴ 点 D 的坐标为 3, 3 2( ) . (2)如图,连接 BD,CD. S四边形ABDC = S△A′OB′ -S△AOB -S△DBB′ -S△A′CD = 1 2 × 3×6- 1 2 ×1×2- 1 2 ×2× 3 2 - 1 2 × 3 2 × 9 2 = 9-1- 3 2 - 27 8 = 25 8 . 17.解:由题意,得 CD =FG =BH = 1. 6 m,CG =DF = 1 m,CH=DB= 18 m,∠CGE= ∠CHA= 90°. ∵ EF= 2. 4 m, ∴ EG=EF-FG= 2. 4-1. 6 = 0. 8(m) . ∵ ∠ECG= ∠ACH,∴ △ECG∽△ACH. ∴ CG CH =EG AH ,即 1 18 = 0. 8 AH . ∴ AH= 14. 4 m. ∴ AB=AH+BH= 14. 4+1. 6 = 16(m) . ∴ 学校旗杆 AB 的高度为 16 m. 18. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD. ∴ ∠E= ∠FCD,∠EAF= ∠CDF. ∴ △AEF∽△DCF. (2)解:①由(1)知,△AEF∽△DCF, ∴ AE DC = AF DF . ∵ AF ∶ DF= 1 ∶ 2,AE= 2 , ∴ 2 DC = 1 2 . ∴ DC= 2 2 . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB=DC. ∴ AB= 2 2 . ②∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC. ∴ △AEF∽△BEC. ∴ S△AEF S△BEC = AE BE( ) 2 . ∵ AB= 2 2 ,AE= 2 , ∴ BE=AE+AB= 3 2 . ∴ AE BE = 2 3 2 = 1 3 . ∵ S△AEF = 2 3 , ∴ 2 3 S△BEC = 1 3( ) 2 . 解得 S△BEC = 6,即△BEC 的面积为 6. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·30·　 　 　 周末小金卷·数学·九年级