专项突破5 反比例函数的常见考法-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（人教版）

全程复习大考卷·数学·九年级　 　 　 ·45　 · 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　专项突破五　 反比例函数的常见考法 类型一　 反比例函数的实际应用 1. (新考法·跨学科)大约在两千四五百年前,如图 1,墨子和他的学生做了世界上第 1 个小孔成像的 实验,并在《墨经》中有这样的精彩记录:“景到,在午有端,与景长,说在端” . 如图 2,根据小孔成像的科 学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高 y(单位:cm)是物距(小 孔到蜡烛的距离)x(单位:cm)的反比例函数,当 x= 6 时,y= 2. (1)求 y 关于 x 的函数解析式; (2)若小孔到蜡烛的距离为 4 cm,求火焰的像高; (3)若火焰的像高不得超过 3 cm,求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米? 图 1 　 图 2 2. (新考法·跨学科)如图 1,将一长方体放置于一水平玻璃桌面上,按不同的方式摆放,记录桌面所受 压强与受力面积的关系如下表所示: 桌面所受压强 P / Pa 400 500 800 1 000 1 250 受力面积 S / m2 0. 5 0. 4 0. 25 0. 2 0. 16 (1)根据表中数据,求出压强 P(Pa)关于受力面积 S(m2)的函数解析式; (2)如图 2,将另一长、宽、高分别为 60 cm,20 cm,10 cm,且与原长方体相同重量的长方体放置于该 水平玻璃桌面上,若玻璃桌面承受的最大压强为 2 000 Pa,问这种摆放方式是否安全? 并说明理由. 图 1 　 图 2 类型二　 反比例函数与三角形的综合 3. (新素养·推理能力)如图,一次函数 y= kx+ 9 4 的图象与反比例函数 y= m x 的图象在第一象限交于点 A (1,n),与 x 轴交于点 B( -3,0) . (1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)点 P 在 x 轴上,△ABP 是以 AB 为腰的等腰三角形,请直接写出点 P 的坐标. 4. 如图,点 A 的坐标为( -3,0),点 B 的坐标为(0,4),C 为 OB 的中点. 将△ABC 绕着点 B 逆时针旋转 90°得到△A′BC′. (1)反比例函数 y= k x 的图象经过点 C′,求该反比例函数的解析式; (2)一次函数的图象经过 A,A′两点,求该一次函数的解析式. 5. 如图,已知正比例函数 y= -3x 与反比例函数 y= k x (k≠0)的图象交于 A,B(1,m)两点,点 C 在 x 轴的 负半轴上,∠ACO= 45°. (1)m= ,k= ,点 C 的坐标为 ; (2)点 P 在 x 轴上,若以 B,O,P 为顶点的三角形与△AOC 相似,求点 P 的坐标. 类型三　 反比例函数与四边形的综合 6. 如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 为正方形,其中点 A,C 分别在 x 轴负半轴、y 轴负半轴上, 点 B 在第三象限内,点 A( t,0),点 P(1,2)在函数 y= k x (k>0,x>0) 的图象上. (1)求 k 的值; (2)连接 BP,CP,记△BCP 的面积为 S,设 T= 2S-2t2,求 T 的最大值. 7. 小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案,如图,在平面直角坐标系中,以反比例函数 y = k x 图象上 的点 A( 3 ,1)和点 B 为顶点,分别作菱形 AOCD 和菱形 OBEF,点 D,E 在 x 轴上,以点 O 为圆心,OA 长为半径作 AC ( ,连接 BF. (1)求 k 的值; (2)求扇形 AOC 的半径及圆心角的度数; 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (3)请直接写出图中阴影部分的面积之和. 8. 如图,在平面直角坐标系中,直线 l:y= kx+2 与 x,y 轴分别相交于点 A,B,与反比例函数 y = m x (x>0) 的图象相交于点 C,已知 OA= 1,点 C 的横坐标为 2. (1)求 k,m 的值; (2)平行于 y 轴的动直线与 l 和反比例函数的图象分别交于点 D,E,若以 B,D,E,O 为顶点的四边形 为平行四边形,求点 D 的坐标. 类型四　 反比例函数的综合探究 9. 如图,在反比例函数 y= 8 x (x>0)的图象上有 P1,P2,P3,…P2 024 等点,它们 的横坐标依次为 1,2,3,…,2 024,分别过这些点作 x 轴与 y 轴的垂线,图中 所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 S1,S2,S3,…,S2 023,则 S1 +S2 + S3 +…+S2 023 = . 10. (新考法·拓展探究)【背景】在一次物理实验中,小冉同学用一固定电压为 12 V 的蓄电池,通过调 节滑动变阻器来改变电流大小,完成控制灯泡 L(灯丝的阻值 RL = 2 Ω) 亮度的实验(如图),已知串 联电路中,电流与电阻 R,RL 之间的关系为 I= U R+RL ,通过实验得出如下数据: R / Ω … 1 a 3 4 6 … I / A … 4 3 2. 4 2 b … (1)a= ,b= ; (2)【探究】根据以上实验,构建出函数 y= 12 x+2 (x≥0),结合表格信息,探究函数 y= 12 x+2 (x≥0)的图 象与性质; ①在平面直角坐标系中画出对应函数 y= 12 x+2 (x≥0)的图象; ②随着自变量 x 的不断增大,函数值 y 的变化趋势是 ; (3)【拓展】结合(2)中函数图象分析,当 x≥0 时, 12 x+2 ≥- 3 2 x+6 的解集为 . 11. (新考法·阅读理解)阅读材料: 如图 1,四边形 ABCD 是矩形,△AEF 是等腰直角三角形,记∠BAE 为 α,∠FAD 为 β,若 tan α= 1 2 ,则 tan β= 1 3 . 证明:设 BE= k, ∵ tan α= 1 2 ,∴ AB= 2k. 易证△AEB≌△EFC(AAS) . ∴ EC=AB= 2k,CF=BE= k. ∴ FD= k,AD= 3k. ∴ tan β=DF AD = k 3k = 1 3 . 当 α+β= 45°时,若 tan α= 1 2 ,则 tan β= 1 3 ; 同理:当 α+β= 45°时,若 tan α= 1 3 ,则 tan β= 1 2 . 根据上述材料,完成下列问题: 如图 2,直线 y= 3x-9 与反比例函数 y= m x (x>0)的图象交于点 A,与 x 轴交于点 B. 将直线 AB 绕点 A 顺时针旋转 45°后的直线与 y 轴交于点 E,过点 A 作 AM⊥x 轴于点M,过点 A 作 AN⊥y 轴于点 N,已 知 OA= 5. (1)求反比例函数的解析式; (2)直接写出 tan∠BAM,tan∠NAE 的值; (3)求直线 AE 的解析式. 图 1 　 图 2 · 46·　 　 　 全程复习大考卷·数学·九年级 全程复习大考卷·数学·九年级　 　 　 ·81　 · ∴ ∠ADC+∠AGC= 180°. ∵ ∠AGC+∠FGC= 180°, ∴ ∠ADC= ∠FGC. ∴ ∠FGC= ∠AGD. 7. A　 【解析】如图,连接 AO,延长 AO 交☉O 于点 H,连接 BH,DH,BD. ∵ AH 是☉O 的直径,∴ ∠ABH = ∠ADH = 90°. ∴ AB ⊥ BH. ∵ AB ⊥ CD, ∴ CD∥BH. ∴ ∠DCB = ∠CBH. ∴ BD ( = CH ( . ∴ DH ( = BC ( . ∴ DH = BC = 4. ∴ AH = AD2 +DH2 = 22 +42 = 2 5 . ∴ ☉O 半径的长为 5 . 故 选 A. 8.解:如图,连接 BD. ∵ ∠ACD= 30°,∴ ∠B= ∠ACD= 30°. ∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ADB= 90°. ∴ ∠DAB= 90°-∠B= 60°. ∵ ∠ADB= 90°,∠B= 30°,AB= 8, ∴ AD= 1 2 AB= 4. ∵ ∠DAB= 60°,DE⊥AB,AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ADE= 30°,DE=EF. ∴ AE= 1 2 AD= 2,DE= AD2 -AE2 = 2 3 . ∴ DF= 2DE= 4 3 . 9. (1)证明:如图,连接 BD. ∵ AB 为半圆 O 的直径,∴ ∠ADB= 90°. ∵ CB 为切线,∴ ∠ABC= 90°. ∴ ∠C+∠CBD= 90°,∠ABD+∠CBD= 90°. ∴ ∠C= ∠ABD. ∵ AD ( =DE ( ,∴ ∠ABD= ∠EAF. ∴ ∠EAF= ∠C. (2)解:∵ AD ( =DE ( ,∴ ∠ABD= ∠FBD. 在△ABD 和△FBD 中, ∠ABD= ∠FBD, BD=BD, ∠ADB= ∠FDB, ì î í ïï ïï ∴ △ABD≌△FBD(ASA) . ∴ AB=FB. ∵ BE= 1,EF= 2,∴ BF=BE+EF= 3. ∴ AB= 3. 在 Rt△ABE 中,由勾股定理, 得 AE= AB2 -BE2 = 32 -12 = 2 2 . 由(1)知∠EAF= ∠C,∠AEF= ∠CBA= 90°, ∴ △AEF∽△CBA. ∴ EF BA = AE CB . ∴ 2 3 = 2 2 BC . ∴ BC= 3 2 . 10. (1)证明:如图,连接 OE. ∵ OA=OE,∴ ∠OAE= ∠OEA. ∵ ∠BAE= ∠DAE,∴ ∠DAE= ∠OEA. ∴ AF∥OE. ∵ EF⊥AD,∴ EF⊥OE. ∵ OE 是☉O 的半径,∴ EF 是☉O 的切线. (2)解:如图,连接 OD. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥DC. ∴ ∠BAE= ∠DEA. ∴ BE ( =AD ( . ∵ ∠BAE= ∠DAE,∴ BE ( =DE ( . ∴ BE ( =DE ( =AD ( . ∴ ∠BOE= ∠DOE= ∠AOD= 60°. ∵ OE∥AF∥BC,AB∥CD, ∴ 四边形 OBCE 为平行四边形. ∴ ∠C= ∠BOE= 60°. 11. (1)证明:如图,连接 OD,标注∠1,∠2,∠3,∠4. ∵ OB=OD,∴ ∠B= ∠3. ∵ AD 为☉O 的切线,∴ ∠4 = 90°. ∴ ∠2+∠3 = 90°. ∵ ∠C= 90°,∴ ∠1+∠2 = 90°. ∴ ∠1 = ∠3. ∴ ∠1 = ∠B,即∠CAD= ∠B. (2)解:在 Rt△ABC 中,BC= 8,AC= 4, ∴ AB= AC2 +BC2 = 42 +82 = 4 5 . ∵ ∠CAD= ∠B,∠ACD= ∠BCA, ∴ △ACD∽△BCA. ∴ AC BC =AD BA . ∴ 4 8 = AD 4 5 . ∴ AD= 2 5 . 在 Rt△ADO 中,AD2 +OD2 =AO2, 设 OD= r,则 AO= 4 5 -r. ∴ (2 5 ) 2 +r2 = (4 5 -r) 2,解得 r= 3 5 2 . ∴ ☉O 的半径为3 5 2 . 12. (1)证明:如图,连接 OD. ∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠BAC= ∠C= 60°. ∵ OA=OD,∴ ∠BAC= ∠ODA. ∴ ∠ODA= ∠C. ∴ OD∥BC. ∴ ∠ODE+∠DEB= 180°. ∵ DE⊥BC,∴ ∠DEB= 90°. ∴ ∠ODE= 90°. ∴ DE⊥OD. ∵ OD 是☉O 的半径,∴ DE 是☉O 的切线. (2)解:设 AB 的长为 x. ∵ OD∥BC,∴ AO OB = AD CD . ∵ △ABC 为等边三角形, ∴ AB=AC=BC= x,∠B= ∠C= 60°. ∵ OA=OB,∴ AD=CD= 1 2 AC= 1 2 AB= 1 2 x. 在 Rt△CDE 中, ∵ ∠C= 60°,∴ ∠CDE= 30°. ∴ CE= 1 2 CD= x 4 . ∴ BE=BC-CE= 3x 4 . 在 Rt△BEF 中, ∵ ∠B= 60°,EF= 2 3 ,∴ EF=BE·sin ∠FBE. ∴ 3x 4 · 3 2 = 2 3 . ∴ x= 16 3 ,即 AB= 16 3 . 13. C 　 【解析】 如 图, 连 接 AD. ∵ OA = OD, ∠AOD = 80°,∴ ∠OAD = ∠ADO = 180° -80° 2 = 50°. ∵ AO∥DC, ∴ ∠ODC = ∠AOD = 80°. ∴ ∠ADC = ∠ADO+∠ODC = 130°. ∵ 四边形 ABCD 为圆的内接四边形,∴ ∠B = 180° - ∠ADC = 50°. ∵ ∠B + ∠BAO + ∠OAD + ∠ADC + ∠BCD = 360°, ∴ 50° + ∠BAO + 50° + 130° + ∠BCD = 360°. ∴ ∠BAO+∠BCD= 130°. 故选 C. 14. B　 【解析】如图,连接 AC,CE. ∵ A,B, C,E 都 是 ☉O 上 的 点, ∴ ∠AEC = 180°-∠B= 58°. ∵ AC ( =AE ( ,∴ ∠ACE = ∠AEC = 58°. ∴ ∠CAE = 180° - 58° - 58° = 64°. ∵ A,C,D,E 都是☉O 上的点,∴ ∠D = 180°- 64° = 116°. 故选 B. 15. 13 　 【 解 析 】 如 图, 连 接 BD, BC. ∵ ∠BAC = 60°, ∠DAC = 30°, ∴ ∠BAD= ∠BAC+∠DAC = 90°. ∴ BD = AB2+AD2 = 42 +62 = 2 13 ,∠BCD= 90°. ∵ ∠DAC=30°,∴ ∠CBD=30°. ∴ CD= 1 2 BD= 13 . 专项突破五　 反比例函数的常见考法 1.解:(1)设 y 关于 x 的函数解析式为 y= k x (k≠0), 把 x= 6,y= 2 代入 y= k x (k≠0),得 2 = k 6 . 解得 k= 12. ∴ y 关于 x 的函数解析式为 y= 12 x . (2)把 x= 4 代入 y= 12 x ,得 y= 12 4 = 3. ∴ 火焰的像高为 3 cm. (3)由(2),得当火焰的像高为 3 cm,小孔到蜡烛的距离 为 4 cm, ∴ 火焰的像高不得超过 3 cm,小孔到蜡烛的距离至少为 4 cm. 2.解:(1)由表格可知,压强 P 与受力面积 S 的乘积不变, 故压强 P 是受力面积 S 的反比例函数,设 P= k S (k≠0). 将点(400,0. 5)代入,得 0. 5 = k 400 ,解得 k= 200. ∴ P= 200 S ,即压强 P(Pa)关于受力面积 S(m2 )的函数解 析式为 P= 200 S . (2)这种摆放方式不安全. 理由如下: 10 cm = 0. 1 m,20 cm = 0. 2 m. ∵ S= 0. 1×0. 2 = 0. 02(m2),∴ P= 200 0. 02 = 10 000(Pa) . ∵ 10 000>2 000,∴ 这种摆放方式不安全. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3.解:(1)将点 A(1,n),B( -3,0)分别代入一次函数解析 式 y= kx+ 9 4 ,得 k+ 9 4 =n, -3k+ 9 4 = 0. ì î í ï ï ï ï 解得 k= 3 4 , n= 3. ì î í ïï ï 故一次函数的解析式为 y= 3 4 x+ 9 4 ,点 A(1,3) . 将点 A(1,3)代入反比例函数解析式 y= m x ,得m 1 = 3. 解得 m= 3. 故反比例函数的解析式为 y= 3 x . (2)∵ 点 A(1,3),B( -3,0),∴ AB= 32 +42 = 5. 设点 P(a,0) . 当 AB=AP 时,52 = (1-a) 2 +32 . 解得 a= 5 或-3(不符合题意,舍去) . 故点 P(5,0); 当 AB=PB 时,5 = | -3-a | . 解得 a= -8 或 2. 故点 P( -8,0)或(2,0) . 综上所述,符合条件的点 P 的坐标为(5,0)或( -8,0)或 (2,0) . 4.解:(1)∵ 点 A 的坐标为( -3,0),点 B 的坐标为(0,4), C 为 OB 中点,∴ OA= 3,OB= 4. ∴ BC= 1 2 OB= 2. 将△ABC 绕着点 B 逆时针旋转 90°得到△A′BC′, ∴ 点 C′(2,4) . ∵ 反比例函数 y= k x 的图象经过点 C′,∴ k= 2×4 = 8. ∴ 该反比例函数的解析式为 y= 8 x . (2)如图,过点 A′作 A′H⊥y 轴于点 H. ∵ 将△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°得到△A′B′C′, ∴ A′B=AB,∠ABA′=90°. ∵ ∠AOB=∠A′HB=∠ABA′=90°, ∴ ∠ABO+∠A′BH= 90°,∠ABO+∠BAO= 90°. ∴ ∠BAO= ∠A′BH. ∵ BA=BA′,∴ △AOB≌△BHA′(AAS) . ∴ OA=BH,OB=A′H. ∵ OA= 3,OB= 4,∴ BH=OA= 3,A′H=OB= 4. ∴ OH=OB-BH= 1. ∴ 点 A′(4,1) . 设一次函数的解析式为 y=ax+b(a≠0) . 把点 A ( - 3, 0 ), A′ ( 4, 1 ) 代 入, 得 -3a+b= 0, 4a+b= 1.{ 解 得 a= 1 7 , b= 3 7 . ì î í ï ï ï ï ∴ 该一次函数的解析式为 y= 1 7 x+ 3 7 . 5.解:(1)当 x= 1 时,y= -3 =m,即点 B(1,-3), ∴ k= -3×1 = -3,即反比例函数的解析式为 y= - 3 x . 根据正比例函数的对称性,得点 A 的坐标为( -1,3) . ∴ OA= 10 . 如图,过点 A 作 AH⊥x 轴于点 H. ∴ AH= 3. 由直线 AB 的解析式,知 tan∠AOH= 3,且∠ACO= 45°. 设 AH= 3x=CH,则 OH= x,OA= 10 x= 10 . ∴ x= 1. ∴ AH=CH= 3,OH= 1. ∴ OC=CH+OH= 4. ∴ 点 C 的坐标为( -4,0) . 故答案为-3,-3,( -4,0) . (2)当点 P 在 x 轴的负半轴时,∠BOP>90°>∠AOC. 又∵ ∠BOP>∠ACO,∠BOP>∠CAO, ∴ △BOP 和△AOC 不可能相似; 当点 P 在 x 轴的正半轴时,∠AOC= ∠BOP, 若△AOC∽△BOP,则OA OB =OC OP = 1, ∴ OP=OC= 4,即点 P(4,0); 若△AOC∽△POB,则OA OP =OC OB ,即 10 OP = 4 10 . 解得 OP= 2. 5,即点 P(2. 5,0) . 综上所述,点 P 的坐标为(4,0)或(2. 5,0) . 6.解:(1) ∵ 点 P(1,2) 在函数 y = k x ( k> 0,x > 0) 的图 象上, ∴ 2 = k 1 ,∴ k= 2,即 k 的值为 2. (2)∵ 点 A( t,0)在 x 轴负半轴上,∴ OA= -t. ∵ 四边形 OABC 是正方形, ∴ OC=BC=OA= -t,BC∥x 轴. ∴ S△BCP = 1 2 ×( -t) ×(2-t)= 1 2 t2 -t. ∴ T= 2S-2t2 = 2 ( 12 t 2 -t ) -2t2 = -t2 -2t= -( t+1) 2 +1. ∵ -1<0,∴ 抛物线开口向下. ∴ 当 t= -1 时,T 有最大值,T 的最大值为 1. 7.解:(1)将点 A( 3 ,1)代入 y= k x ,得 1 = k 3 ,解得 k= 3 . (2)如图,过点 A 作 OD 的垂线,交 x 轴于点 G,连接 CG. ∵ 点 A( 3 ,1),∴ AG= 1,OG= 3 ,OA= ( 3 ) 2 +12 = 2. ∴ 扇形 AOC 的半径为 2. ∵ AG= 1 2 OA,∴ ∠AOG= 30°. ∵ 四边形 AOCD 为菱形,∴ ∠AOG= ∠COG= 30°. ∴ ∠AOC= 60°. ∴ 圆心角的度数为 60°. (3)∵ 四边形 AOCD 为菱形, ∴ OD= 2OG= 2 3 ,AC= 2AG= 2. ∴ S菱形AOCD = 1 2 AC·OD= 2 3 . ∴ S扇形AOC = 60π·22 360 = 2π 3 . 在菱形 OBEF 中,S△FHO =S△BHO, ∵ S△FHO = k 2 = 3 2 ,∴ S△FBO = 2× 3 2 = 3 . ∴ S阴影 =S△FBO +S菱形AOCD -S扇形AOC = 3 +2 3 - 2 3 π = 3 3 - 2 3 π. 8.解:(1)∵ OA= 1,∴ 点 A 的坐标为( -1,0) . ∴ -k+2 = 0,解得 k= 2. ∴ 直线 l 的解析式为 y= 2x+2. ∵ 点 C 在直线 l 上,点 C 的横坐标为 2, ∴ 点 C 的纵坐标为 2×2+2 = 6. ∴ 点 C 的坐标为(2,6) . ∴ m= 2×6 = 12. (2 ) 设点 D 的坐标为 ( n, 2n + 2 ), 则点 E 的坐标 为 n,12 n( ) . ∴ DE= 2n+2-12 n . ∵ OB∥DE,∴ 当 OB=DE 时,以 B,D,E,O 为顶点的四边 形为平行四边形. ∵ 直线 y= 2x+2 与 y 轴交于点 B, ∴ OB= 2. ∴ 2n+2-12 n = 2. 当 2n+ 2 - 12 n = 2 时, n1 = 6 , n2 = - 6 ( 不符合题意, 舍去) . 此时,点 D 的坐标为( 6 ,2 6 +2), 当 2n+2-12 n = -2 时,n1 = 7 -1,n2 = - 7 -1(舍去) . 此时,点 D 的坐标为( 7 -1,2 7 ) . 综上所述,以 B,D,E,O 为顶点的四边形为平行四边形 时,点 D 的坐标为( 6 ,2 6 +2)或( 7 -1,2 7 ) . 9. 2 023 253 　 【解析】如图,∵ 点 P1,P2,P3,…,P2 024 的横坐标 依次为 1,2,3,…,2 024, ∴ 阴影矩形的一边长都为 1,将除第一个矩形外的所有 矩形向左平移至 y 轴. ∴ S1 +S2 +S3 +…+S2 023 =S矩形ABP1D . 把 x= 2 024 代入 y= 8 x ,得 y= 1 253 ,即 OA= 1 253 . ∴ S矩形OABC =OA·OC= 1 253 . 由反比例函数的几何意义,得 S矩形OCP1D = 8,∴ S矩形ABP1D = 8- 1 253 = 2 023 253 . 10.解:(1)3 = 12 a+2 ,b= 12 6+2 ,∴ a= 2,b= 1. 5. 故答案为 2,1. 5. (2)①根据表格描点(1,4),(2,3),(3,2. 4),(4,2), (6,1. 5),在平面直角坐标系中画出对应函数 y = 12 x+2 (x≥0)的图象如下: ②由图象可知,随着自变量 x 的不断增大,函数值 y 的 变化趋势是不断减小. 故答案为不断减小. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 82·　 　 　 全程复习大考卷·数学·九年级 全程复习大考卷·数学·九年级　 　 　 ·83　 · (3)如图,由函数图象知,当 x≥2 或 x= 0 时, 12 x+2 ≥- 3 2 x+6, 即当 x≥0 时, 12 x+2 ≥- 3 2 x+6 的解集为 x≥2 或 x = 0. 故 答案为 x≥2 或 x= 0. 11.解:(1)设点 A( t,3t-9) . ∴ OM= t,AM= 3t-9. ∵ OA= 5,∴ t2 +(3t-9) 2 = 52 . 解得 t= 4 或 1. 4. ∴ 点 A 的坐标为(4,3)或(1. 4,-4. 8) (此时点 A 在第 四象限,不符合题意,舍去) . 把点 A(4,3)代入 y= m x (x>0),得 3 = m 4 ,解得 m= 12. ∴ 反比例函数的解析式为 y= 12 x (x>0) . (2)在 y= 3x-9 中,令 y= 0,得 0 = 3x-9. 解得 x= 3. ∴ 点 B(3,0) . ∴ OB= 3. 由(1)知点 A(4,3),∴ OM= 4,AM= 3, ∴ BM=OM-OB= 4-3 = 1. ∴ tan∠BAM=BM AM = 1 3 . ∵ ∠ANO= ∠NOM= ∠OMA= 90°,∴ ∠MAN= 90°. ∵ ∠BAE= 45°,∴ ∠BAM+∠NAE= 45°. 当 α + β = 45° 时, 若 tan α = 1 3 , 则 tan β = 1 2 , 可得 tan∠NAE= 1 2 . (3)由(2)知,tan∠NAE= 1 2 ,∴ NE AN = 1 2 . ∵ 点 A(4,3),∴ AN= 4,ON= 3. ∴ NE 4 = 1 2 . ∴ NE= 2. ∴ OE=ON-NE= 3-2 = 1. ∴ 点 E(0,1) . 设直线 AE 的解析式为 y= kx+b(k≠0) . 把点 A(4,3),E(0,1)代入,得 4k+b= 3, b= 1,{ 解得 k= 1 2 , b= 1. ì î í ïï ï ∴ 直线 AE 的解析式为 y= 1 2 x+1. 专项突破六　 相似三角形的基本模型 1. C　 【解析】设 DF=k,则 AF = 2k,AD= 3k. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,AB∥CD,AB = CD. ∴ ∠AFB = ∠FBC = ∠DFG, ∠ABF = ∠G. ∵ BE 平 分 ∠ABC, ∴ ∠ABF = ∠CBG. ∴ ∠ABF = ∠AFB = ∠DFG = ∠G. ∴ AB=CD = AF = 2k,DF = DG = k. ∴ CG = CD+DG = 3k. ∵ AB∥DG,∴ △ABE∽ △CGE. ∴ BE GE = AB CG = 2k 3k = 2 3 . 故 选 C. 2. 8　 【解析】∵ S△DOE ∶ S△COE = 1 ∶ 3,∴ OD OC = 1 3 . ∵ DE∥BC,∴ △ODE∽△OCB. ∴ DE CB =OD OC = 1 3 . ∵ DE∥BC,∴ △ADE∽△ABC. ∴ S△ADE S△ABC = DE BC( ) 2 = 1 3( ) 2 = 1 9 . ∵ S△ADE = 1,∴ S△ABC = 9. ∴ S四边形DBCE =S△ABC-S△ADE = 9-1 = 8. 3.解:(1)设正方形 EFGH 的边长 EF=EH= x. ∵ 四边形 EFGH 是正方形, ∴ ∠HEF= ∠EHG= 90°,EF∥BC. ∴ △AEF∽△ABC. ∵ AD 是△ABC 的高,∴ ∠HDN= 90°. ∴ 四边形 EHDN 是矩形. ∴ DN=EH= x. ∵ △AEF∽△ABC,∴ AN AD =EF BC . ∵ BC= 120,AD= 60,AN= 60-x, ∴ 60 -x 60 = x 120 . 解得 x= 40. ∴ AN= 60-x= 60-40 = 20. (2)设矩形 EFGH 的边长 EH= y,则 ND= y,AN= 60-y. 同理可证△AEF∽△ABC. ∴ AN AD =EF BC . ∴ 60 -y 60 = EF 120 . ∴ EF= 120-2y. ∴ S矩形EFGH =EF×EH= y(120-2y) = -2(y-30) 2 +1 800. ∵ -2<0, ∴ 当 y= 30 时,矩形 EFGH 的面积最大. ∴ 当 EH= 30 时,矩形 EFGH 有最大面积, 最大面积为 1 800. 4.证明:(1)∵ DC2 =DE·DB,∴ DC DE =DB DC . ∵ ∠CDE= ∠BDC,∴ △DCE∽△DBC. ∴ ∠DCE= ∠DBC. ∵ ∠ABD= ∠CBD,∴ ∠ABD= ∠DCE. ∵ ∠AEB= ∠DEC,∴ △AEB∽△DEC. (2)∵ △AEB∽△DEC,∴ AE DE =EB EC . ∴ AE EB =DE EC . ∵ ∠AED= ∠BEC,∴ △AED∽△BEC. ∴ ∠ADE= ∠BCE. ∵ ∠ABD= ∠EBC,∴ △BDA∽△BCE. ∴ BD BC =DA CE . ∴ BC·AD=CE·BD. 5. (1)证明:∵ AD,BE 是△ABC 的两条高, ∴ ∠ADC= ∠BEC= 90°. 又∵ ∠C= ∠C,∴ △ACD∽△BCE. ∴ CD CE =CA CB ,即 CE·CA=CD·CB. (2)解:∵ CE CD =CB CA ,∴ CE CB =CD AC . ∵ ∠C= ∠C,∴ △CDE∽△CAB. ∵ EC= 5,BC= 13,∴ DE AB =CE CB = 5 13 . 6. (1)证明:∵ AC= 6,BC= 3,CD= 5,CE= 2. 5, ∴ AC BC = 6 3 = 2,CD CE = 5 2. 5 = 2. ∴ AC BC =CD CE . 又∵ ∠ACB= ∠DCE= 90°, ∴ ∠ACD+∠BCD= ∠BCD+∠BCE. ∴ ∠ACD= ∠BCE. ∴ △ACD∽△BCE. (2)解:如图,过点 A 作 AG⊥CD 于点 G. 由(1)知,∠ACD= ∠BCD= ∠BCE= 45°,∴ AG=CG. 在 Rt△ACG 中,由勾股定理,得 CG=AG= 3 2 . ∴ S△ACD = 1 2 AG·CD= 1 2 ×3 2 ×5 = 15 2 2 . 7. (1)①证明:∵ ∠BAD= ∠CAE,∠ABD= ∠ACE, ∴ △ABD∽△ACE. ∴ AB AC =AD AE ,即AB AD =AC AE . 又∵ ∠BAD= ∠CAE, ∴ ∠BAD+∠DAC= ∠CAE+∠DAC, 即∠BAC= ∠DAE. ∴ △ABC∽△ADE. ②解:△ADE 是等腰三角形. 理由如下: 由①知AB AD =AC AE . ∵ AB=AC,∴ AD=AE. ∴ △ADE 是等腰三角形. (2)证明:∵ ∠BAC= ∠DAE,∠B= ∠ADE, ∴ △ABC∽△ADE. ∴ AB AD =AC AE . ∴ AB AC =AD AE . 又∵ ∠BAC-∠DAC= ∠DAE-∠DAC, ∴ ∠BAD= ∠CAE. ∴ △BAD∽△CAE. ∴ ∠B= ∠ACE. ∵ ∠BAC= 90°,∴ ∠B+∠ACB= 90°. ∴ ∠ACE+∠ACB= 90°. ∴ ∠BCE= 90°. ∴ CE⊥BC. 8. (1)解:∵ BD 平分∠ABC, ∴ ∠ABD= ∠CBD. ∵ ∠ABC= 2∠ACB, ∴ ∠ABD= ∠ACB. ∵ ∠A= ∠A,∴ △ABD∽△ACB. ∴ AD AB =AB AC ,即AD 3 = 3 5 . ∴ AD= 9 5 . (2)①证明:∵ AE⊥AC,AF⊥BD, ∴ ∠AFB= ∠EAC= 90°. ∵ ∠ABF= ∠C,∴ △ABF∽△ECA. ∴ ∠BAF= ∠CEA. ∵ ∠BAF= ∠EAF-∠BAE,∠AEC= ∠ABC-∠BAE, ∴ ∠ABC= ∠EAF. ②解:如图,取 CE 的中点 M,连接 AM. 在 Rt△ACE 中,AM= 1 2 CE,∠AME= 2∠C. ∵ ∠ABC= 2∠C,∴ ∠ABC= ∠AME. ∴ AB=AM. ∴ AB CE =AM CE = 1 2 . 9. (1)证明:∵ AB=AC,∴ ∠B= ∠C. ∵ ∠BAP + ∠B + ∠APB = 180°, ∠APB + ∠APM + ∠CPM= 180°,∠APM= ∠B, ∴ ∠BAP= ∠CPM. ∴ △ABP∽△PCM. (2)解:∵ △ABP∽△PCM,△PCM 为直角三角形, ∴ △ABP 为直角三角形. ①当∠APB= 90°时,如图 1 所示. ∵ AB=AC,∴ BP=PC= 1 2 BC= 4 cm. 图 1 　 图 2 ②当∠BAP= 90°时,如图 2 所示. ∵ cos∠ABP= AB BP = 4 5 ,∴ 5 BP = 4 5 . ∴ BP= 25 4 cm. 综上所述,当△PCM 为直角三角形时,线段 PB 的长 度为 4 cm 或 25 4 cm. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋