专项突破3 二次函数与几何图形的综合-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（人教版）

全程复习大考卷·数学·九年级　 　 　 ·41　 · 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　专项突破三　 二次函数与几何图形的综合 类型一　 特殊四边形的存在性问题 1. 已知抛物线 y=ax2 +bx+3 的图象与 x 轴相交于点 A 和点 B(1,0),与 y 轴交于点 C,连接 AC,有一动点 D 在线段 AC 上运动,过点 D 作 x 轴的垂线,交抛物线于点 E,交 x 轴于点 F,AB= 4,设点 D 的横坐标 为 m. (1)求抛物线的解析式及顶点坐标; (2)当 m= -2 时,在平面内是否存在点 Q,使以 B,C,E,Q 为顶点的四边形为平行四边形? 若存在,请 直接写出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 　 备用图 2. 如图,二次函数 y= x2 +bx+c 的图象交 x 轴于点 A,B,交 y 轴于点 C,点 B 的坐标为(1,0),对称轴是直 线 x= -1,P 是 x 轴上一动点,PM⊥x 轴,交直线 AC 于点 M,交抛物线于点 N. (1)求这个二次函数的解析式; (2)若点 P 在线段 AO 上运动(点 P 与点 A,O 不重合),求四边形 ABCN 面积的最大值,并求出此时点 P 的坐标; (3)若点 P 在 x 轴上运动,则在 y 轴上是否存在点 Q,使以 M,N,C,Q 为顶点的四边形是菱形? 若存 在,请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 类型二　 特殊三角形的存在性问题 3. 如图,已知抛物线 y = - 1 4 x2 +bx+4 与 x 轴相交于 A,B 两点,与 y 轴相交于点 C,已知点 A 的坐标为 ( -2,0) . (1)求抛物线的解析式和对称轴; (2)求点 C 的坐标,连接 AC,BC,并求线段 BC 所在直线的解析式; (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使△ACQ 为等腰三角形? 若存在,求出符合条件的点 Q 的 坐标;若不存在,请说明理由. 4. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2 +bx+c 与 x 轴交于 B(4,0),C( -2,0)两点,与 y 轴交于点 A (0,-2) . (1)求该抛物线的函数解析式; (2)若 P 是直线 AB 下方抛物线上的一动点,过点 P 作 x 轴的平行线交 AB 于点 K,过点 P 作 y 轴的平 行线交 x 轴于点 D,求 1 2 PK+PD 的最大值及此时点 P 的坐标; (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点 M,使得△MAB 是以 AB 为一条直角边的直角三角形? 若存 在,请求出点 M 的坐标,若不存在,请说明理由. 　 备用图 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 类型三　 角的存在性问题 5. 如图,抛物线 y= - 4 3 x2 +bx+4 与 x 轴交于 A( -3,0),B 两点,与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线的解析式及 B,C 两点的坐标; (2)该抛物线的对称轴上是否存在点 E,使得∠ACE= 45°? 若存在,求出点 E 的坐标;若不存在,请说 明理由. 6. 如图 1,抛物线 y= -x2 +bx+3 与 x 轴交于点 A,B,与 y 轴交于点 C,点 B 的坐标为(6,0),点 D 为线段 OB 上一点,点 E 为抛物线上一动点. (1)求 b 的值; (2)点 D 的坐标为(3,0),点 E 在第一象限的抛物线上,设△ECD 的面积为 S,求 S 的最大值; (3)如图 2,点 D 的坐标为(4,0),在抛物线上是否存在点 E,使∠ABE= ∠ODC? 若存在,请求出点 E 的坐标;若不存在,请说明理由. 图 1 　 　 　 图 2 类型四　 全等与相似问题 7. 已知抛物线 y= 3 3 x2 +bx+c 与 x 轴交于 A( -1,0),B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线的解析式及点 C 的坐标; (2)点 D(m,0)是 x 轴上一动点,且 m<3,过点 D 作直线 l⊥x 轴,交直线 BC 于点 E,交抛物线于点 P, 过点 P 作 PH⊥BC 于点 H. 当△BDE 与△PHE 全等时,求点 P 的坐标. 8. 如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 y= -x2 +2x+3 交 x 轴于 A,B 两点(点 B 在点 A 的右边),交 y 轴 于点 C. 点 M 是线段 OB 上一个动点,过点 M 作 x 轴的垂线,交抛物线于点 E. (1)求 A,B 两点的坐标; (2)求线段 EF 的最大值; (3)如图 2,是否存在以 C,E,F 为顶点的三角形与△ABC 相似? 若存在,请求出点 M 的坐标;若不存 在,请说明理由. 图 1 　 　 图 2 · 42·　 　 　 全程复习大考卷·数学·九年级 则 PE= | (16-3t) -2t | = | 16-5t | . 根据题意,得 | 16 - 5t | 2 + 62 = 102,即 ( 16 - 5t) 2 = 82 . 解得 t1 = 8 5 ,t2 = 24 5 . ∴ 当 t 为 8 5 或 24 5 时,点 P 和点 Q 的距离为 10 cm. 专项突破二　 二次函数的实际应用 1. C　 【解析】设 AD 的长为 x m,则 AB 的长为40 -x 2 m. 当 AB=6 时,40 -x 2 = 6,解得 x = 28. ∵ AD 的长不能超过 26 m, ∴ x ≤ 26. 故 ① 不 正 确; ∵ 菜 园 ABCD 的 面 积 为 192 m2,∴ x·40 -x 2 = 192. 解得 x = 24 或 x = 16. ∴ AB 的 长有两个不同的值满足菜园 ABCD 的面积为 192 m2 . 故 ②正确;设矩形菜园 ABCD 的面积为 y m2 . 根据题意,得 y= x·40 -x 2 = - 1 2 (x2 -40x)= - 1 2 (x-20) 2 +200. ∵ - 1 2 < 0,20<26,∴ 当 x = 20 时,y 有最大值,最大值为 200. 故 ③正确. ∴ 正确的结论有 2 个. 故选 C. 2. 3 4 　 【解析】设抛物线的解析式为 y=ax2 +c(a≠0),由图 象可 知 点 E ( 0, 4 ), D ( 2, 3 ), ∴ c= 4, 4a+c= 3.{ 解 得 a= - 1 4 , c= 4. ì î í ïï ïï ∴ 抛物线的解析式为 y = - 1 4 x2 + 4. ∵ GH = 2, ∴ 点 H(1,3) . 当 x= 1 时,y= - 1 4 ×1+4 = 15 4 ,∴ FG =HK = 15 4 -3 = 3 4 (m) . 3.解:(1)根据销售单价从小到大排列得下表: 售价 / (元 /盆) 18 20 22 26 30 日销售量 /盆 54 50 46 38 30 (2)观察表格可知销售量是售价的一次函数. 设销售量为 y 盆,售价为 x 元,日销售量与售价间的关 系为 y= kx+b(k≠0) . 把点(18,54),(20,50)代入,得 18k+b= 54, 20k+b= 50.{ 解得 k= -2, b= 90.{ 所以日销售量与售价间的关系为 y= -2x+90. (3)①根据题意,得 (x-15)( -2x+90)= 400. 解得 x= 25 或 35. 所以要想每天获得 400 元的利润,定价为 25 元或 35 元. ②设每天获得的利润为 w 元. 根据题意,得 w = ( x - 15) ( - 2x + 90) = - 2x2 + 120x - 1 350 = -2(x-30) 2 +450. ∵ -2<0,∴ 当 x= 30 时,w 取最大值. ∴ 当售价定为 30 元时,每天能够获得最大利润. 4.解:(1)由题意可知,出手时实心球的竖直高度即 x = 0 时 y 的值. 通过图表可得当 x= 0 时,y= 2, ∴ 在明明投掷过程中,出手时实心球的竖直高度是 2 米. 由当 x= 2 时,y= 3. 2;当 x = 6 时,y = 3. 2,可得对称轴为 直线 x= 4, ∴ 当 x= 4 时,实心球在空中取得最大高度. 通过图表可得当 x= 4 时,y= 3. 6, ∴ 实心球在空中的最大高度为 3. 6 米. 故答案为 2,3. 6. (2)设抛物线的解析式为 y=a(x-h) 2 +k(a≠0) . 由(1),得抛物线的顶点坐标为(4,3. 6), ∴ 抛物线的解析式为 y=a(x-4) 2 +3. 6. 把点(0,2)代入,得 a(0-4) 2 +3. 6 = 2,解得 a= -0. 1. ∴ 抛物线的解析式为 y= -0. 1(x-4) 2 +3. 6. (3)明明在此次考试中能得到满分. 理由如下: 把 y = 0 代入 y = - 0. 1( x- 4) 2 + 3. 6,得- 0. 1( x- 4) 2 + 3. 6 = 0, 解得 x1 = 10,x2 = -2(不符合题意,舍去) . ∵ 10>9. 7,∴ 明明在此次考试中能得到满分. 5.解:【探究发现】 x 与 t 是一次函数关系,y 与 t 是二次函数关系, 设 x= kt(k≠0),y=at2 +bt(a≠0), 根据题意,得 10 = 2k, 4a+2b= 22, 16a+4b= 40.{ 解得 k= 5, a= - 1 2 , b= 12. ì î í ïï ïï ∴ x 关于 t 的函数解析式为 x= 5t, y 关于 t 的函数解析式为 y= - 1 2 t2 +12t. 【问题解决】 (1)根据题意,得- 1 2 t2 +12t= 0. 解得 t1 = 0(不符合题意,舍去),t2 = 24. 当 t= 24 时,x= 5×24 = 120. 所以飞机落到安全线时飞行的水平距离为 120 m. (2)设发射平台相对于安全线的高度为 n m. 根据题意,得飞机相对于安全线的飞行高度 y′ = - 1 2 t2 + 12t+n. ∵ 125<x<130,∴ 125<5t<130. ∴ 25<t<26. 在 y′= - 1 2 t2 +12t+n 中, 当 t= 25,y′= 0 时,n= 12. 5;当 t= 26,y′= 0 时,n= 26. ∴ 12. 5<n<26. ∴ 发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于 12. 5 m 且小于 26 m. 专项突破三　 二次函数与几何图形的综合 1.解:(1)∵ 点 B(1,0),AB= 4,∴ 点 A( -3,0) . 将点(1,0),( -3,0)代入 y=ax2 +bx+3, 得 a+b+3 = 0, 9a-3b+3 = 0.{ 解得 a= -1, b= -2.{ ∴ 抛物线的解析式为 y = - x2 - 2x + 3. 对称轴为直线 x= -1, 将 x= -1 代入 y= -x2 -2x+3,得 y= -1+2+3 = 4. ∴ 顶点坐标为( -1,4) . (2)存在. 由 m= -2 可得点 E( -2,3) . 设点 Q(n,t),∵ 点 C(0,3),B(1,0), ∴ 当 BC 为平行四边形的对角线时, 有 1+0 = -2+n, 0+3 = 3+t,{ 解得 n= 3, t= 0.{ ∴ 点 Q(3,0); 当 BE 为平行四边形的对角线时, 有 1-2 = 0+n, 0+3 = 3+t,{ 解得 n= -1, t= 0.{ ∴ 点 Q( -1,0); 当 BQ 为平行四边形的对角线时, 有 1+n= 0-2, 0+t= 3+3,{ 解得 n= -3, t= 6.{ ∴ 点 Q( -3,6) . 综上所述,当点 Q 的坐标为(3,0)或( -1,0)或( -3,6) 时,以 B,C,E,Q 为顶点的四边形为平行四边形. 2.解:(1)∵ 抛物线的对称轴是直线 x = -1,点 B 的坐标为 (1,0), ∴ 点 A 的坐标为( -3,0) . ∴ 二次函数的解析式为 y= (x-1)(x+3)= x2 +2x-3. (2)如图,连接 ON. 设点 P(m,0),则点 N(m,m2 +2m-3) . 在 y= x2 +2x-3 中,令 x= 0,得 y= -3, ∴ 点 C(0,-3) . ∴ OC= 3. ∴ S四边形ABCN =S△AON +S△BOC +S△CON = 1 2 ×3( -m2 -2m+3) + 1 2 ×1×3+ 1 2 ×3( -m) = - 3 2 m2 - 9 2 m+6 = - 3 2 m+ 3 2( ) 2 +75 8 . ∵ - 3 2 <0,∴ 当 m= - 3 2 时,S四边形ABCN 取最大值 75 8 . ∴ 四边形 ABCN 面积的最大值为75 8 ,此时点 P 的坐标 为 - 3 2 ,0( ) . (3)存在. 由点 A( -3,0),C(0,-3),得 直线 AC 的解析式为 y= -x-3. 设点 Q(0,t),P(n,0),则 点 M(n,-n-3),N(n,n2 +2n-3) . ∵ MN∥CQ, ∴ 当 M,N,C,Q 为顶点的四边形是菱形 时,MN,CQ 是一组对边. ①当 MC, NQ 为对角线时, MC, NQ 的中点重合, 且 CN=CQ, ∴ -n-3-3 = t+n2 +2n-3, n2 +(n2 +2n) 2 = ( t+3) 2 .{ 解得 n= 0, t= -3{ (不符合题意, 舍去)或 n= -2, t= -1.{ ∴ 点 Q(0,-1) . ②当 MQ, CN 为对角线时, MQ, CN 的中点重合, 且 CQ=CM, ∴ -n-3+t=n2 +2n-3-3, ( t+3) 2 =n2 +( -n) 2 .{ 解得 n= 0, t= -3{ (不符合题意,舍 去)或 n= -3+ 2 , t= -1-3 2{ 或 n= -3- 2 , t= -1+3 2 .{ ∴ 点 Q(0,-1-3 2 )或(0,-1+3 2 ) . 综上所述,点 Q 的坐标为(0,-1)或(0,-1-3 2 )或(0, -1+3 2 ) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 78·　 　 　 全程复习大考卷·数学·九年级 全程复习大考卷·数学·九年级　 　 　 ·79　 · 3.解:(1)∵ 抛物线 y= - 1 4 x2 +bx+4 经过点 A( -2,0), ∴ - 1 4 ×( -2) 2 +( -2)·b+4 = 0,解得 b= 3 2 . ∴ 抛物线的解析式为 y= - 1 4 x2 + 3 2 x+4=- 1 4 (x-3)2+25 4 . ∴ 抛物线的对称轴为直线 x= 3. (2)在 y= - 1 4 x2 + 3 2 x+4 中,令 x= 0,得 y= 4. ∴ 点 C(0,4) . 令 y= 0,即- 1 4 x2 + 3 2 x+4 = 0, 解得 x= 8 或-2. ∴ 点 B(8,0) . 设直线 BC 的解析式为 y= kx+b(k≠0) . 把点 B(8,0),C(0,4)分别代入解析式, 得 8k+b= 0, b= 4.{ 解得 k= - 1 2 , b= 4. ì î í ïï ïï ∴ 直线 BC 的解析式为 y= - 1 2 x+4. (3)存在. ∵ 抛物线的对称轴为直线 x= 3, ∴ 设点 Q(3,t),如图. ∵ 点 A( -2,0),C(0,4),∴ OA= 2,OC= 4. ∴ AC= OA2 +OC2 = 2 5 ,AQ= 25+t2 , CQ= ( t-4) 2 +9 . ①当 AQ=CQ 时, 有 25+t2 = ( t-4) 2 +9 ,即 25+t2 = t2 -8t+16+9,解得 t= 0, ∴ 点 Q1(3,0) . ②当 AC=AQ 时,有 2 5 = 25+t2 , t2 = -5,此时方程无实数根, ∴ 此时△ACQ 不能构成等腰三角形. ③当 AC=CQ 时, 有 2 5 = ( t-4) 2 +9 , 整理,得 t2 -8t+5 = 0. 解得 t= 4± 11 . ∴ 点 Q 的坐标为 Q2(3,4+ 11 ),Q3(3,4- 11 ) . 综上所述,存在点 Q,使△ACQ 为等腰三角形,点 Q 的坐 标为(3,0)或(3,4+ 11 )或(3,4- 11 ) . 4.解:(1)把点 A(0,-2),B(4,0),C( -2,0)代入 y = ax2 + bx+c, 得 16a+4b+c= 0, 4a-2b+c= 0, c= -2. ì î í ï ï ïï 解得 a= 1 4 , b= - 1 2 , c= -2. ì î í ï ï ï ï ï ï ∴ 该抛物线的函数解析式为 y= 1 4 x2 - 1 2 x-2. (2)∵ 点 A(0,-2),B(4,0), ∴ 直线 AB 的解析式为 y= 1 2 x-2. 设点 P m, 1 4 m2 - 1 2 m-2( ) (0<m<4), 则点 K 1 2 m2 -m, 1 4 m2 - 1 2 m-2( ) . ∴ 1 2 PK + PD = 1 2 m- 1 2 m2 +m( ) + - 14 m 2 + 1 2 m+2( ) = - 1 2 m2 + 3 2 m+2 = - 1 2 m- 3 2( ) 2 +25 8 . 当 m= 3 2 时, 1 4 m2 - 1 2 m-2 = -35 16 . ∵ - 1 2 <0,∴ 当 m= 3 2 时, 1 2 PK+PD 有最大值,最大值为 25 8 ,此时点 P 的坐标为 3 2 ,-35 16( ) . (3)存在. 如图,过点 A 作 AM2⊥AB 交抛物线的对称轴于点 M2,过 点 B 作 BM1⊥AB 交抛物线的对称轴于点M1,连接 AM1, BM2 . ∵ y= 1 4 x2 - 1 2 x-2 = 1 4 (x-1) 2 - 9 4 . ∴ 对称轴为直线 x= 1. 设点 M1(1,n),则 AM21 =n2 +4n+5,BM21 =n2 +9. 由 AB2 +BM21 =AM21,得 22 +42 +n2 +9 =n2 +4n+5. ∴ n= 6. ∴ 点 M1(1,6) . ∴ 直线 BM1 的解析式为 y= -2x+8. ∵ AM2∥BM1,且经过点 A(0,-2), ∴ 直线 AM2 的解析式为 y= -2x-2. ∴ 当 x= 1 时,y= -2×1-2 = -4. ∴ 点 M2(1,-4) . 综上所述,点 M 的坐标为(1,6)或(1,-4) . 5.解:(1)把点 A( -3,0)代入 y = - 4 3 x2 +bx+4,得 0 = - 4 3 × 9-3b+4 = 0. 解得 b= - 8 3 . ∴ 抛物线的解析式为 y= - 4 3 x2 - 8 3 x+4. 令 x= 0,则 y= 4,∴ 点 C 的坐标为(0,4) . 令 y= 0,则- 4 3 x2 - 8 3 x+4 = 0,解得 x1 = -3,x2 = 1. ∴ 点 B 的坐标为(1,0) . (2)∵ 点 A( -3,0),C(0,4), ∴ OA= 3,OC= 4. ∵ tan∠ACO=OA OC = 3 4 <1,∴ ∠ACO<45°, ∴ 点 E 不可能出现在直线 AC 下方,也不可能在直线 AC 上. 当点 E 在直线 AC 上方时,∠ACE = 45°,过点 E 作 EM⊥ AC 于点 M,如图. 根据点 A( -3,0)和点 C(0,4)可得直线 AC 的解析式为 y= 4 3 x+4. ∵ 点 A( -3,0),B(1,0), ∴ 抛物线的对称轴为直线 x= -1. 设直线 AC 与对称轴交于点 H. 当 x= -1 时,y= 4 3 ×( -1) +4 = 8 3 . ∴ 点 H -1, 8 3( ) . ∴ HC= 12 + ( 4- 83 ) 2 = 5 3 . ∵ EH∥y 轴,∴ ∠EHM= ∠HCO. ∴ tan∠EHM= tan∠HCO=OA OC = 3 4 =EM HM . ∴ EM= 3 4 HM. ∵ ∠ACE= 45°,∴ EM=CM. ∴ HC=HM+CM,即 5 3 =HM+ 3 4 HM. 解得 HM= 20 21 . ∴ EM= 3 4 ×20 21 = 5 7 . 在 Rt△EMH 中,EH= EM2 +HM2 , 解得 EH= 25 21 . ∴ 点 E 的纵坐标为 8 3 +25 21 = 27 7 . ∴ 点 E 的坐标为 -1,27 7( ) . 6.解:(1)将点 B(6,0)代入 y = -x2 +bx+3 中,得 0 = -36+ 6b+3,解得 b= 11 2 . (2)由(1)知,抛物线的解析式为 y= -x2 +11 2 x+3,① ∴ 点 C(0,3) . ∴ OC= 3. 如图,过点 E 分别作 x 轴,y 轴的垂线,垂足分别为 H,N, 连接 OE. 设点 E x,-x2 +11 2 x+3( ) , 则 S = S四边形OCED -S△COD = S△COE +S△DOE -S△COD = 1 2 ×OC× NE+ 1 2 ×OD×EH- 1 2 ×3×3 = 1 2 ×3x+ 1 2 ×3× -x2 +11 2 x+3( ) - 9 2 = - 3 2 x2 +39 4 x= - 3 2 ( x- 13 4 ) 2 +507 32 . ∵ - 3 2 <0,∴ S 有最大值. ∴ 当 x= 13 4 时,S 的最大值为507 32 . (3)由点 C,D 的坐标得直线 CD 的解析式为 y=- 3 4 x+3. 当点 E 在 x 轴上方时, ∵ ∠ABE= ∠ODC,∴ BE∥CD. ∴ 直线 BE 的解析式为 y= - 3 4 (x-6) . ② 联立①②,得- 3 4 (x-6)= -x2 +11 2 x+3. 解得 x= 6(舍去)或 1 4 . 当 x= 1 4 时,- 3 2 x2 +11 2 x+3 = 69 16 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ∴ 点 E 1 4 ,69 16( ) ; 当点 E 在 x 轴下方时, 根据对称性,得直线 BE 的解析式为 y= 3 4 (x-6) . ③ 联立①③,得 3 4 (x-6) = -x2 +11 2 x+3. 解得 x = 6(不符合 题意,舍去)或- 5 4 . 当 x= - 5 4 时,- 3 2 x2 +11 2 x+3 = -87 16 . ∴ 点 E - 5 4 ,-87 16( ) . 综上所述,点 E 的坐标为 1 4 ,69 16( ) 或 - 5 4 ,-87 16( ) . 7.解:(1)把点 A( -1,0),B(3,0)代入 y= 3 3 x2 +bx+c, 得 3 3 -b+c= 0, 3 3 ×9+3b+c= 0. ì î í ï ïï ï ï 解得 b= -2 3 3 , c= - 3 . ì î í ï ï ïï ∴ 抛物线的解析式为 y= 3 3 x2 -2 3 3 x- 3 . 令 x= 0,则 y= - 3 ,∴ 点 C(0,- 3 ) . (2)由(1)可知,OC= 3 ,OB= 3, ∴ BC= OC2 +OB2 = 2 3 . ∴ BC= 2OC. ∴ ∠OBC= 30°,∠OCB= 60°. ∵ DE⊥x 轴,∴ DE∥OC. ∴ ∠E= 60°. ∵ PH⊥BC 于点 H,∴ ∠PHC= ∠BOC= 90°. ∴ 若△BDE 与△PHE 全等,只需 BE=PE 即可. 如图, ∵ 点 D(m,0),m<3,∴ BD= 3-m. ∵ ∠E= 60°,∴ BE= 2 3 3 BD. ∴ BE= 2 3 3 (3-m) . ∵ PE⊥x 轴,∴ 点 P m, 3 3 m2 -2 3 3 m- 3( ) . ∵ 点 B(3,0),C(0,- 3 ), ∴ 直线 BC 的解析式为 y= 3 3 x- 3 . ∴ 点 E m, 3 3 m- 3( ) . ∴ PE= 3 3 m2-2 3 3 m- 3 - 3 3 m- 3( ) = 33 m2- 3m . ∴ 3 3 m2 - 3m = 2 3 3 (3-m) . 解得 m= 3(不符合题意,舍去)或-2 或 2. ∴ 点 P -2, 5 3 3( ) 或 P(2,- 3 ) . 8.解:(1)∵ 抛物线 y= -x2 +2x+3 与 x 轴相交于 A,B 两点, 令-x2 +2x+3 = 0,解得 x1 = -1,x2 = 3. ∵ 点 B 在点 A 的右边, ∴ 点 A( -1,0),点 B(3,0) . (2)设点 M(m,0),则点 E(m,-m2 +2m+3) . ∵ 抛物线 y= -x2 +2x+3 与 y 轴相交于点 C, ∴ 点 C(0,3) . 设直线 BC 的解析式为 y= kx+b(k≠0) . ∴ 3k+b= 0, b= 3.{ 解得 k= -1, b= 3.{ ∴ 直线 BC 的解析式为 y= -x+3. ∴ 点 F(m,-m+3) . ∵ 点 E(m,-m2 +2m+3), ∴ EF = ( -m2 + 2m + 3) - ( -m + 3) = -m2 + 3m = - (m - 1. 5) 2 + 9 4 ≤ 9 4 . ∴ 线段 EF 的最大值为 9 4 . (3)存在. 如图,过点 F 作 FN⊥y 轴于点 N. ∴ ∠CNF= ∠EFN= 90°. 由(1)得 OB=OC= 3,AB= 4,BC= 3 2 . ∴ ∠ABC= ∠MFB= ∠CFE= 45°. ∴ ∠CFN= 90°-∠CFE= 45°. ∵ 点 F(m,-m+3),∴ FN=m. ∴ CF= 2m. ∴ 当以 C,E,F 为顶点的三角形与△ABC 相似时,点 B 与点 F 为对应点. ①当△ABC∽△CFE 时,有AB CF =BC FE , ∴ 4 2m = 3 2 -m2 +3m . 解得 m= 3 2 或 0(不符合题意,舍去) . ∴ 点 M 3 2 ,0( ) . ②当△ABC∽△EFC 时,有AB EF = BC FC ,∴ 4 -m2 +3m = 3 2 2m . 解得 m= 5 3 或 0(不符合题意,舍去) . ∴ 点 M 5 3 ,0( ) . 综上所述,点 M 的坐标为 3 2 ,0( ) 或 53 ,0( ) . 专项突破四　 圆中常见的辅助线作法 1. D　 【解析】如图,过点 O 作 OI⊥CD 于点 I,连接 OD, 则∠OID= ∠OIP = 90°. ∵ AP = 4,BP = 8,∴ AB = 4 + 8 = 12. ∴ OD = OA = 6. ∴ OP = OA-AP = 6 - 4 = 2. ∵ ∠IPO = ∠APC= 30°,∴ OI = 1 2 OP = 1 2 × 2 = 1. 由勾股定理,得 DI= OD2 -OI2 = 62 -12 = 35 . ∵ OI⊥CD, ∴ DI=CI= 35 . ∴ CD=DI+CI= 2 35 . 故选 D. 2. B　 【解析】如图,过点 O 作半径 OD⊥AB 于点 E. ∴ AE=BE= 1 2 AB= 1 2 ×8 = 4(米) . 在 Rt△AEO 中,OE= OA2 -AE2 = 52 -42 = 3(米) . ∴ DE=OD-OE= 5-3 = 2(米), 即筒车工作时,盛水桶在水面以下的最大深度为 2 米. 故选 B. 3. B　 【解析】如图,过点 O 作 OF⊥CD 于点 F. 设 CE = 3x, DE= 5x. ∴ OD = DE = 5x,CD = 8x. ∵ OF⊥CD,∴ DF = 1 2 CD= 4x. ∴ EF = x. 在 Rt △ODF 中,由勾股定理,得 OF = OD2 -DF2 = 3x. 在 Rt△OEF 中,由勾股定理,得 OF2 +EF2 =OE2,即(3x) 2 +x2 = 52 . ∴ x1 = 10 2 ,x2 = - 10 2 (不符合题意,舍去) . ∴ CD= 8x= 4 10 . 故选 B. 4. 3 5 　 【解析】 如图,过点 C 作 CH ⊥ AB 于点 H,则 AH=EH. ∵ ∠C= 90°,AC= 5,BC= 10, ∴ AB= 52 +102 = 5 5 . ∵ 1 2 AB·CH= 1 2 AC·BC, ∴ CH=AC·BC AB = 5×10 5 5 = 2 5 . 在 Rt△ACH 中,AH= AC2 -CH2 = 52 -(2 5 ) 2 = 5 , ∴ AE= 2AH= 2 5 . ∴ BE=AB-AE= 5 5 -2 5 = 3 5 . 5.证明:(1)如图,连接 BD. ∵ AB ( =CD ( ,∴ ∠ADB= ∠CBD. ∴ AD∥BC. (2)如图,连接 CD,OB,OD. 设 OC 与 BD 相交于点 F. ∵ AD∥BC,∴ ∠EDF= ∠CBF. ∵ BC ( =CD ( ,∴ BC=CD. 又∵ OB=OD,∴ OC 是 BD 的垂直 平分线. ∴ DF=BF. 又∵ ∠DFE= ∠BFC,∴ △DEF≌△BCF(ASA) . ∴ DE=BC. ∴ 四边形 BCDE 是平行四边形. 又∵ BC=CD,∴ 四边形 BCDE 是菱形. 6. (1)解:如图,连接 OC. 设☉O 的半径为 R. ∴ OC = R, OE=R-2. ∵ CD⊥AB,∴ DE=EC= 1 2 CD= 4. 在 Rt△OEC 中,∵ OC2 =OE2 +EC2, ∴ R2 = (R-2) 2 +42,解得 R= 5. (2)证明:如图,连接 AD. ∵ CD⊥AB,∴ AD ( =AC ( . ∴ ∠ADC= ∠AGD. ∵ 四边形 ADCG 是圆内接四边形, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 80·　 　 　 全程复习大考卷·数学·九年级