第22章 二次函数 学业水平测试-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（人教版）

全程复习大考卷·数学·九年级　 　 　 · 7　 · 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　第二十二章学业水平测试 (时间:60 分钟 满分:100 分) 题序 一 二 三 总分 得分 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 若函数 y= (a-1)x2 +2x+a2 -1 是二次函数,则 (　 　 ) A. a≠1　 　 　 　 　 　 B. a≠-1　 　 　 　 　 　 C. a= 1　 　 　 　 　 　 D. a= ±1 2. 已知二次函数 y= -3(x-2) 2 -3,下列说法正确的是 (　 　 ) A. 对称轴为直线 x= -2　 B. 顶点坐标为(2,3) C. 函数的最大值为-3　 D. 函数的最小值为-3 3. 如图,一位篮球运动员投篮,球沿抛物线 y= -0. 2x2 +x+2. 25 运行,然后准确落入篮筐内. 已知篮筐的 中心离地面的高度为 3. 05 m,则他距篮筐中心的水平距离 OH 是 (　 　 ) A. 1 m B. 2 m C. 3 m D. 4 m 第 3 题图 　 　 　 　 　 图 1 　 　 图 2 第 5 题图 　 　 　 　 　 第 8 题图 4. 将抛物线 y=ax2 +bx+c 沿 x 轴向左平移 2 个单位长度,再沿 y 轴向下平移 3 个单位长度得抛物线 y= -(x+2) 2 +3,则 (　 　 ) A. a= -1,b= -8,c= -10 B. a= -1,b= -8,c= -16 C. a= -1,b= 0,c= 0 D. a= -1,b= 0,c= 6 5. 用总长为 a 米的材料做成如图 1 的矩形窗框,设窗框的宽为 x 米,窗框的面积为 y 平方米,y 关于 x 的函数图象如图 2,则 a 的值为 (　 　 ) A. 9　 B. 8　 C. 6　 D. 不能确定 6. 已知二次函数 y= x2 -2x+m 的自变量 x1,x2,x3 对应的函数值分别为 y1,y2,y3,当-1<x1 <0,1<x2 <2, x3 >3 时,y1,y2,y3 三者之间的大小关系是 (　 　 ) A. y1 <y2 <y3 B. y2 <y1 <y3 　 C. y3 <y1 <y2 　 D. y2 <y3 <y1 7. 已知 A(3,n),B(m,n+1)是抛物线 y=ax2 +4ax+c(a<0)上两点,则 m 的值不可能是 (　 　 ) A. 2 B. 0 C. -6 D. -9 8. 已知二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象如图所示,则化简 | a+b+c | + | 2a+b |的结果为 (　 　 ) A. a+b B. a C. a-b D. 3a+2b 9. 当 ab>0 时,关于 x 的二次函数 y=ax2 与一次函数 y=ax+b 的图象大致是 (　 　 ) A B C D 10. 如图是抛物线 y= -(x+1) 2 +k 的一部分,其顶点为 M,与 y 轴交于点(0,3),与 x 轴的 一个交点为 A,连接 MO,MA. 给出以下四个结论:①k= 4;②抛物线经过点( -2,3);③ S△OMA = 4;④当 x= -3+ 2 024 2 025 时,y<0. 其中错误的有 (　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 11. 对于抛物线 y= 3x2 +1,当 x>0 时,y 随 x 的增大而　 　 　 　 (填“增大”或“减小”) . 12. 若抛物线 y= x2 -4x+c 的顶点在 x 轴上,则 c 的值是 . 13. 抛物线 y=ax2 +bx+c 的对称轴及部分图象如图所示,则关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c = 0 的两根 为 . 第 13 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 15 题图 　 　 　 　 　 第 16 题图 14. 已知抛物线 y= -x2 -3x+3,点 P(m,n)在抛物线上,则 m+n 的最大值是　 　 　 　 . 15. (新考法·跨学科)跳绳是大家喜爱的一项体育运动,当绳子甩到最高处时,其形状视为一条抛物 线. 如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图,已知两人拿绳子的手离地面的高度都为 1 米,并且相距 4 米,现以两人的站立点所在的直线为 x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,其中 小冬拿绳子的手的坐标为(0,1) . 身高 1. 60 米的小丽站在绳子的正下方,且距 y 轴 1 米时,绳子刚 好经过她的头顶. 若身高 1. 75 米的小伟站在这条绳子的正下方,他距 y 轴 m 米,为确保绳子超过他 的头顶,则 m 的取值范围是 . 16. 在平面直角坐标系中,一个图形上的点都在一边平行于 x 轴的矩形内部(包括边界),这些矩形中面 积最小的矩形称为该图形的关联矩形. 例如:如图,函数 y = (x-2) 2(0≤x≤3)的图象(抛物线中的 实线部分),它的关联矩形为矩形 OABC. 若二次函数 y= 1 4 x2 +bx+c(0≤x≤3)图象的关联矩形恰好 也是矩形 OABC,则 b= . 三、解答题(46 分) 17. (6 分)已知抛物线 y= x2 +mx+1 的对称轴为直线 x= 1. (1)求 m 的值; (2)如果将此抛物线先向左平移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,求两次平移后所得到的 抛物线的解析式. 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 18. (6 分)已知二次函数 y=ax2 +bx+c 中的 x,y 满足如表: x … 0 1 m 3 4 … y … n 1. 5 2 1. 5 0 … (1)补全表格,m= ,n= ; (2)利用上表,在平面直角坐标系中画出这条抛物线的图象; (3)当 a≤x≤4 时,y 的取值范围是 0≤y≤2,则 a 的取值范围是 . 19. (8 分)如图,抛物线 y= 2x2 +bx-2 过点 A( -1,m)和 B(5,m),连接 AB. (1)求 b 和 m 的值; (2)若抛物线与 y 轴交于点 C,连接 AC,BC,求△ABC 的面积. 20. (8 分)某商场以每件 30 元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量 m(件)与每件 的销售价 x(元)满足一次函数关系 m= 162-3x. (1)请写出商场卖这种商品每天的销售利润 y(元)与每件的销售价 x(元)之间的函数解析式; (2)商场每天销售这种商品的销售利润能否达到 500 元? 如果能,求出此时的销售价格;如果不能, 请说明理由. 21. (8 分)(新情境·项目式学习)阅读以下材料,完成课题研究任务: 【研究课题】设计公园喷水池 【素材 1】某公园计划修建一个如图 1 所示的喷水池,其示意图如图 2,水池中心 O 处立着一个实心 石柱 OA,水池周围安装一圈喷头,使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出,并在石柱顶 点 A 处汇合,且在过 OA 的任一平面上抛物线路径如图所示. 为使水流形状更漂亮,要求水流在距离 石柱 0. 5 m 处能达到最大高度,且离池面的高度为 2. 25 m. 【素材 2】距离池面 1. 25 m 的位置,围绕石柱还修了一个半径为 1. 5 m 的圆形小水池,此时小水池 恰好不影响水流. 【任务解决】 (1)请结合题意写出下列点的坐标:A ,B ; (2)求实心石柱 OA 的高度; (3)为了节约水资源,水流在喷水池中循环使用,喷水池的半径至少为多少米? 图 1 　 　 图 2 22. (10 分)已知抛物线 y=ax2 +bx+3 的图象与 x 轴相交于点 A 和点 B(1,0),与 y 轴交于点 C,连接 AC. 有一动点 D 在线段 AC 上运动,过点 D 作 x 轴的垂线,交抛物线于点 E,交 x 轴于点 F,AB= 4,设点 D 的横坐标为 m. (1)求抛物线的解析式; (2)连接 AE,CE,当△ACE 的面积最大时,求出△ACE 的最大面积和点 D 的坐标; (3)当 m= -2 时,在平面内是否存在点 Q,使以 B,C,E,Q 为顶点的四边形为平行四边形? 若存在, 请直接写出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 　 备用图 · 8·　 　 　 全程复习大考卷·数学·九年级 全程复习大考卷·数学·九年级　 　 　 ·61　 · ∴ 其图象的对称轴为直线 x= 1. (2)由(1)可知,该二次函数图象的开口向下,对称轴 为直线 x= 1. ∴ 当 x<1 时,y 随 x 的增大而增大. ∵ 点 P(x1,y1),Q(x2,y2)在这个二次函数的图象上,且 x1 <x2 <0, ∴ y1 <y2 . 故答案为<. 15.解:(1)设二次函数的解析式为 y=a(x+3)(x-1) . 把点 C(0,3)代入,得-3a= 3. 解得 a= -1. ∴ 二次函数的解析式为 y= -(x+3)(x-1)= -x2 -2x+3. ∴ y= -(x+1) 2 +4,即顶点坐标为( -1,4) . (2)∵ 当 x= 3时,y= -( 3 ) 2 -2× 3 +3 = -2 3 , ∴ 点 P( 3 ,-2 3 )在该二次函数的图象上. ∴ S△ABP = 1 2 ×(1+3) ×2 3 = 4 3 . 16.解:(1)由表格可知,抛物线过点(1,0),(3,0), ∴ 抛物线的对称轴为直线 x= 1 +3 2 = 2. ∴ 点(0,3)关于对称轴的对称点为(4,3) . ∴ m= 3. 故答案为 3. (2)∵ 函数的顶点坐标为(2,-1), ∴ 设二次函数的解析式为 y=a(x-2) 2 -1. 把点(1,0)代入,得 a-1 = 0. 解得 a= 1. ∴ 二次函数的解析式为 y= (x-2) 2 -1 = x2 -4x+3. (3) -1≤y<3 考点六　 二次函数图象的平移规律 17. A　 【解析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减, 上加下减”,可知应先向右平移 1 个单位长度,再向上 平移 3 个单位长度. 故选 A. 18. C　 【解析】将平面直角坐标系先沿 x 轴向右平移一个 单位长度,再沿 y 轴向上平移三个单位长度,相当于把 抛物线先向左平移一个单位长度,再向下平移三个单 位长度. ∵ y= x2 -2x+3 =(x-1) 2 +2,∴ 原抛物线的解析 式变为 y=(x-1+1) 2 +2-3 = x2 -1. 故选 C. 19. y= x2 -2　 【解析】设平移后的抛物线的解析式为 y = x2 +k. ∵ 点 A(2,2)在该抛物线上,∴ 2 = 22 +k. 解得 k = -2. ∴ 平移后的抛物线的解析式是 y= x2 -2. 20. 4　 【解析】∵ 将二次函数 y= x2 +2x+n=(x+1) 2 +n-1 的 图象先向右平移 2 个单位长度,再向上平移 m(m>0) 个单位长度,得到函数 y = x2 -2x+4 的图象,∴ x2 -2x+ 4 =(x+1-2) 2 +m+n-1. ∴ x2 -2x+4 = x2 -2x+m+n. ∴ m+ n= 4. 考点七　 二次函数 y=ax2+bx+c 与方程、不等式的关系 21. D　 【解析】∵ 关于 x 的方程 ax2 +bx+c= 0(a>0,b<0)有 两个不相等的实数根,∴ b2 -4ac>0,即 b2 >4ac. ∵ 顶点 的横坐标为- b 2a ,纵坐标为4ac -b2 4a ,a>0,b<0,∴ - b 2a >0, 4ac-b2 4a <0. ∴ 抛物线 y = ax2 +bx+c 的顶点在第四象限. 故选 D. 22. B　 【解析】由图象知抛物线 y1 = -x2 +4x 和直线 y2 = 2x 的交点为(2,4)和(0,0),∴ 不等式-x2 +4x>2x 的解集 是 0<x<2. 故选 B. 23. x1 = -1,x2 = 3　 【解析】∵ 不等式 a+b≥am2 +bm 恒成 立,∴ a+b+c≥am2 +bm+c 恒成立. ∴ 点(1,a+b+c)是抛 物线的顶点,直线 x = 1 是抛物线的对称轴. 点(-1,5) 关于直线 x= 1 的对称点为(3,5) . 当 y = 5 时,x = -1 或 3. ∴ 关于 x 的方程 ax2 +bx+c= 5 的解为 x= -1 或 3. 考点八　 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与字母系数之间的 关系 24. D 25. D　 【解析】 ∵ 抛物线的对称轴为直线 x = - b 2a = 1, ∴ b= -2a. ∵ 当 x= -1 时,y<0,即 a-b+c<0,∴ a+2a+c< 0,即 3a+c<0. 故①错误;∵ 抛物线与 x 轴的一个交点 在(-1,0)和(0,0)之间,设该交点坐标为(x1,0),则由 图象知当- 1 <x<x1 时,y< 0,即 ax2 +bx+ c< 0. 故②错 误;∵ 当 x= -1 时,y<0,即 a-b+c<0;当 x= 1 时,y>0,即 a+b+c>0,∴ (a-b+c)(a+b+c) <0. ∴ (a+c) 2 -b2 <0,即 (a+c) 2 <b2 . 故③正确;∵ 当 x = 1 3 时,y>0,即 1 9 a+ 1 3 b+ c>0,∴ a+3b+9c>0. ∴ ④正确;∵ 当 x = 1 时,y 有最大 值,∴ am2 +bm+c≤a+b+c. ∵ a< 0,∴ a2m2 +abm≥a2 + ab. 故⑤错误. 综上所述,正确的结论为③④. 故选 D. 考点九　 实际问题与二次函数 26. B　 【解析】根据题意,得 y = 3 × 24 -3x 3 x = - 3x2 + 24x = -3(x-4) 2 +48. ∵ 3x≤10,且 x>0,∴ 0<x≤10 3 . ∵ -3<0, ∴ 当 x= 10 3 时,y 有最大值140 3 . 故选 B. 27. h≥ 8 3 　 【解析】将点 A(0,2)代入抛物线的解析式,得 2 =a(0-6) 2 +h. 解得 a = 2 -h 36 . ∴ 抛物线的解析式为 y = 2-h 36 ·( x- 6) 2 +h. 由题意,得当 x = 9 时,y = 2 -h 36 ( x - 6) 2 +h= 2 -h 36 ·(9-6) 2 +h>2. 43,解得 h>193 75 . 当 x = 18 时,y = 2 -h 36 (x-6) 2 +h = 2 -h 36 (18 - 6) 2 +h≤0,解得 h≥ 8 3 . ∴ h 的取值范围为 h≥ 8 3 . 28.解:(1)设 y 与 x 之间的函数解析式为 y= kx+b(k≠0) . 根据题意,得 8k+b= 100, 10k+b= 80.{ 解得 k= -10, b= 180.{ ∴ y 与 x 之间的函数解析为 y= -10x+180(6≤x≤12) . (2)根据题意,得 w = ( x - 6) ( - 10x + 180) = - 10x2 + 240x-1 080 = -10(x-12) 2 +360. ∵ a= -10<0,6≤x≤12, ∴ 当 x= 12 时,w 有最大值,最大值为 360. ∴ 当每只塑料脸盆的售价定为 12 元时,超市每天销售 该品牌塑料脸盆的利润最大,最大利润为 360 元. 第二十二章学业水平测试 1. A　 2. C 3. D　 【解析】 将 y = 3. 05 代入函数解析式,得 3. 05 = -0. 2x2 +x+2. 25. 解得 x1 = 1,x2 = 4. 结合图象可知 OH = 4 m. 故选 D. 4. D 　 【解析】 抛物线 y = - ( x + 2) 2 + 3 的顶点坐标为 (-2,3),把点(-2,3)向右平移 2 个单位长度,再向上平 移 3 个单位长度所得的对应点的坐标为(0,6),∴ 平移后 的抛物线的解析式为 y = -x2 +6. ∴ a = -1,b = 0,c = 6. 故 选 D. 5. C　 【解析】由图象可知,当 x = 1 时,y 最大,最大值为 1. 5, ∴ 当 x= 1 米时,窗框的最大面积为 1. 5 平方米. 根据矩形面积计算公式,另一边长为 1. 5÷1 = 1. 5(米), ∴ 材料总长 a= 1. 5+1. 5+1+1+1 = 6(米) . 故选 C. 6. B 7. D　 【解析】∵ 抛物线 y=ax2 +4ax+c(a<0)的对称轴为直 线 x= -4a 2a = -2,开口向下,∴ 在对称轴的右边,y 随 x 的 增大而减小. ∵ 3>-2,n<n+1,∴ -2<m<3. ∵ 点 A(3,n) 关于对称轴的对称点为(-7,n),在对称轴的左边,y 随 x 的增大而增大,∴ -7<m<-2. 故 m 的值不可能为-9. 故 选 D. 8. B　 【解析】∵ 抛物线的对称轴在直线 x = 1 左侧,∴ - b 2a < 1. ∵ 抛物线开口向上,∴ a> 0. ∴ -b< 2a,即 b+ 2a> 0. ∵ 图象经过原点,∴ c = 0. ∵ 当 x = 1 时,y<0,∴ a+b+c< 0. ∴ | a+b+c | + | 2a+b | = -a-b-c+2a+b=a-c=a. 故选 B. 9. D 10. B　 【解析】①∵ 抛物线 y = -( x+1) 2 +k = -x2 -2x+k-1 与 y 轴交于点(0,3),∴ k-1 = 3. 解得 k = 4. 故①正确, 不符合题意;②∵ 抛物线的对称轴为直线 x = -1,经过 点(0,3),∴ 点( -2,3)在抛物线上. 故②正确,不符合 题意;③∵ k = 4,∴ 抛物线的解析式为 y = -( x+ 1) 2 + 4. ∴ 点 M( - 1,4) . 令 y = 0,则-( x+ 1) 2 + 4 = 0,解得 x1 = -3,x2 = 1,∴ 点 A(1,0) . ∴ OA = 1. ∴ S△OMA = 1 2 × OA×yM = 1 2 ×1×4 = 2≠4. 故③错误,符合题意;④由图象 可知当 1>x= -3+2 024 2 025 >-3 时,y>0,故④错误,符合题 意. 故选 B. 11. 增大 12. 4　 【解析】∵ y= x2 -4x+c= (x-2) 2 +c-4,∴ 其顶点坐标 为(2,c-4) . ∵ 其顶点在 x 轴上,∴ c-4 = 0. 解得 c= 4. 13. x1 = -4,x2 = 0　 【解析】根据图象可得抛物线与 x 轴的 一个交点为(-4,0),∴ x1 = -4. ∵ 抛物线的对称轴为直 线 x= -2,∴ x2 = 2×(-2) -x1 = -4-(-4)= 0. ∴ 方程的 根为 x1 = -4,x2 = 0. 14. 4　 【解析】∵ 点 P(m,n)在抛物线 y= -x2 -3x+3 上, ∴ n= -m2 -3m+3. ∴ m+n= -m2 -2m+3 = -(m+1) 2 +4. ∴ 当 m= -1 时,m+n 有最大值 4. 15. 1. 5<m< 2. 5　 【解析】设抛物线的解析式为 y = a( x- 2) 2 +k, ∵ 小丽的坐标为(1,1. 6),且过点(0,1), ∴ a+k= 1. 6, 4a+k= 1.{ 解得 a= - 1 5 , k= 9 5 . ì î í ï ï ï ï ∴ 抛物线的解析式为 y= - 1 5 (x-2) 2 + 9 5 . 令 y= 1. 75,则- 1 5 (x-2) 2 + 9 5 = 1. 75, 解得 x1 = 2. 5,x2 = 1. 5. ∴ 1. 5<m<2. 5. 16. 7 12 或-25 12 　 【解析】由 y=(x-2) 2(0≤x≤3), 当 x= 0 时,y= 4, ∴ 点 C 的坐标为(0,4) . ∵ 点 A 的坐标为(3,0),四边形 ABCO 是矩形, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ∴ 点 B 的坐标为(3,4) . ①当抛物线经过点 O,B 时, 将点 O(0,0),B(3,4)代入 y= 1 4 x2 +bx+c(0≤x≤3), 得 c= 0, 1 4 ×9+3b+c= 4. ì î í ïï ïï 解得 b= 7 12 . ②当抛物线经过点 A,C 时, 将点 A(3,0),C(0,4)代入 y= 1 4 x2 +bx+c(0≤x≤3), 得 c= 4, 1 4 ×9+3b+c= 0. ì î í ïï ïï 解得 b= -25 12 . 综上所述,b= 7 12 或-25 12 . 17.解:(1)由题意,得-m 2 = 1. 解得 m= -2. (2)由(1)知 y= x2 -2x+1 = (x-1) 2, ∴ 将此抛物线先向左平移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的抛物线的解析式为 y = (x-1+2) 2 - 1,即 y= (x+1) 2 -1. 18.解:(1)根据表格数据和函数的对称性可知,函数的对 称轴是直线 x= 2, 点(0,0)和点(4,0)关于对称轴对称,∴ n= 0. 设二次函数为 y=ax(x-4), 代入点(1,1. 5)得 1. 5 = -3a,解得 a= - 1 2 . ∴ y= - 1 2 x(x-4) . 当 y= 2 时,2 = -x(x-4),解得 x= 2. ∴ m= 2. 故答案为 2,0. (2)画出这条抛物线的图象如图. (3)观察图象,当 x= 2 时,y= 2; 当 x= 0 或 x= 4 时,y= 0, ∵ 当 a≤x≤4 时,y 的取值范围是 0≤y≤2,∴ 0≤a≤2. 故答案为 0≤a≤2. 19. 解:(1)∵ 点 A( -1,m)和 B(5,m)是抛物线 y= 2x2 +bx- 2 上的两点,∴ - b 2×2 = -1+5 2 . 解得 b= -8. ∴ 抛物线的解析式为 y= 2x2 -8x-2. 把点 A( -1,m)代入,得 m= 2+8-2 = 8. (2)由 y= 2x2 -8x-2 可知,抛物线与 y 轴的交点 C 的坐 标为(0,-2) . ∴ OC= 2. ∵ 点 A( -1,8),B(5,8),∴ AB= 6. ∴ S△ABC = 1 2 ×6×(2+8)= 30. 20.解:(1)由题意,得每件商品的销售利润为( x-30)元, 那么 m 件的销售利润为 y=m(x-30) . 又∵ m= 162-3x, ∴ y= (162-3x)(x-30),即 y= -3x2 +252x-4 860. ∵ x-30≥0, ∴ x≥30. 又∵ m≥0, ∴ 162-3x≥0,即 x≤54. ∴ 30≤x≤54. ∴ 商场卖这种商品每天的销售利润 y(元)与每件的销 售价 x(元)之间的函数解析式为 y = -3x2 +252x-4 860 (30≤x≤54) . (2)不能. 理由如下: 由(1),得 y= -3x2 +252x-4 860 = -3(x-42) 2 +432. ∴ 当销售价定为 42 元时,每天的销售利润最大,最大 销售利润是 432 元. ∵ 500>432, ∴ 商场每天销售这种商品的销售利润不能达到 500 元. 21.解:(1)根据题意可得点 B(0. 5,2. 25),C(1. 5,1. 25), ∴ 可设抛物线的解析式为 y=a(x-0. 5) 2 +2. 25. 又∵ 抛物线过点 C(1. 5,1. 25), ∴ 1. 25 =a(1. 5-0. 5) 2 +2. 25. ∴ a= -1. ∴ 抛物线的解析式为 y= -(x-0. 5) 2 +2. 25. 令 x= 0,则 y= 2. ∴ 点 A(0,2) . 故答案为(0,2);(0. 5,2. 25) . (2)∵ 点 A(0,2),∴ OA= 2 m. ∴ 实心石柱 OA 的高度为 2 m. (3)令 y= 0,得-(x-0. 5) 2 +2. 25 = 0. 解得 x= 2 或-1(不符合题意,舍去) . ∴ 喷水池的半径至少为 2 m. 22.解:(1)∵ 点 B(1,0),AB= 4,∴ 点 A( -3,0) . 将点 B(1,0),A( -3,0)代入 y=ax2 +bx+3, 得 a+b+3 = 0, 9a-3b+3 = 0.{ 解得 a= -1, b= -2,{ ∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 -2x+3. (2)设直线 AC 的解析式为 y= k′x+b′(k′≠0) . 由(1)得点 C(0,3), 将点 A( -3,0),C(0,3)代入 y= k′x+b′(k′≠0), 得 -3k′+b′= 0, b′= 3.{ 解得 k′= 1, b′= 3.{ ∴ 直线 AC 的解析式为 y= x+3. ∴ 点 D(m,m+3),E(m,-m2 -2m+3) . ∴ DE= -m2 -3m. ∴ S△ACE = 1 2 ×3×( -m2 -3m)= - 3 2 m+ 3 2( ) 2 +27 8 . ∴ 当 m = - 3 2 时,S△ACE 的值最大,为 27 8 . 当 m = - 3 2 时, m+3 = - 3 2 +3 = 3 2 . ∴ 点 D - 3 2 , 3 2( ) . (3)存在. ∵ m= -2,∴ 点 E( -2,3) . 设点 Q(n,t) . ①当 BC 为平行四边形的对角线时, 有 1+0 = -2+n, 0+3 = 3+t,{ 解得 n= 3, t= 0.{ ∴ 点 Q(3,0) . ②当 BE 为平行四边形的对角线时, 有 1-2 = 0+n, 0+3 = 3+t,{ 解得 n= -1, t= 0.{ ∴ 点 Q( -1,0) . ③当 BQ 为平行四边形的对角线时, 有 1+n= 0-2, 0+t= 3+3,{ 解得 n= -3, t= 6.{ ∴ 点 Q( -3,6) . 综上所述,当点 Q 的坐标为(3,0)或( -1,0)或( -3,6) 时,以 B,C,E,Q 为顶点的四边形为平行四边形. 阶段性检测 1. C　 2. D　 3. A　 4. D　 5. B 6. D　 【解析】∵ m 是方程 x2 +x-1 = 0 的一个实数根, ∴ m2 +m-1 = 0. ∴ m2 = -m+1. ∴ m2 -n+2 023 = -m+1-n+2 023 = -(m+n)+2 024. ∵ m,n 分别是方程 x2 + x - 1 = 0 的两个实数根,∴ m + n= -1. ∴ m2 -n+2 023 = -(-1)+2 024 = 2 025. 故选 D. 7. B　 【解析】y= 2x2 -12x+19 = 2(x-3) 2 +1,抛物线 y = 2x2 的顶点坐标是(0,0),抛物线 y= 2(x-3) 2 +1 的顶点坐标 是(3,1),所以将顶点(3,1)向左平移 3 个单位长度,再 向下平移 1 个单位长度得到顶点(0,0) . 故选 B. 8. B　 【解析】∵ y=(x-3) 2 -9+c,∴ 图象的开口向上,对称 轴是直线 x= 3. ∵ 点 C(5,y3)关于直线 x= 3 的对称点是 (1,y3) . ∵ -1<1<2<3,∴ y1 >y3 >y2 . 故选 B. 9. D　 【解析】A. 一次函数 y= kx+b 的图象经过第一、二、三 象限,故 k>0,b>0. 由二次函数 y = k(x+b) 2 的图象可知 k>0,b<0,此选项错误,不符合题意;B. 一次函数 y= kx+b 的图象经过第一、二、三象限,故 k> 0. 由二次函数 y = k(x+b) 2 的图象可知 k<0,此选项错误,不符合题意;C. 一 次函数 y= kx+b 的图象经过第一、二、四象限,故 k<0. 由 二次函数 y= k(x+b) 2 的图象可知 k>0,此选项错误,不 符合题意;D. 一次函数 y= kx+b 的图象经过第一、二、四 象限,故 k<0,b>0. 由二次函数 y = k(x+b) 2 的图象可知 k<0,b>0,此选项正确,符合题意. 故选 D. 10. D　 【解析】∵ 二次函数开口向下,且与 y 轴的交点在 x 轴上方,∴ a<0,c>0. ∵ 对称轴为直线 x = -1,∴ - b 2a = -1. ∴ b= 2a<0. ∴ abc>0. 故①错误;∵ 抛物线的对称轴 是直线 x = -1,当 x = 0 时,y = c> 0,∴ 当 x = - 2 时,y> 0. ∴ 4a-2b+c>0. 故②正确;∵ 抛物线开口向下,对称 轴为直线 x = - 1,∴ 当 x = - 1 时,y 有最大值 a-b+ c. ∴ 当 x=m 时,函数值不大于 a-b+c. ∴ a-b+c≥am2 + bm+c. ∴ a-b≥m(am+b) (m 为任意实数) . 故③错误; 点(-3,y1)到对称轴的距离为-1-(-3)= 2,点(3,y2) 到对称轴的距离为 3 -( - 1) = 4,∵ 抛物线开口向下, ∴ y1 >y2 . 故④正确. 综上所述,正确的结论为②④. 故 选 D. 11. 9　 12. 2　 13. -2 14. 4　 【解析】∵ 抛物线 y = ax2 +bx+c 与 x 轴相交于点 A (1,0),B(3,0),∴ 该抛物线的对称轴为直线 x = 1 +3 2 = 2. ∵ 抛物线与 y 轴相交于点 C,点 D 在抛物线上,CD∥ x 轴,∴ 点 C 关于直线 x= 2 的对称点为点 D. ∴ 点 D 的 横坐标为 2×2-0 = 4. ∴ CD= 4-0 = 4. 15. 2 或- 6 　 【解析】当 a<0 时,函数的最大值为 y = a2 = 6,解得 a1 = 6 (不符合题意,舍去),a2 = - 6 . 当 a>0 时,函数的最大值为 y = a+a2 = 6,解得 a = 2 或 a = - 3 (不符合题意,舍去) . 综上所述,a 的值为 2 或- 6 . 16. 19　 【解析】由题意可知点 A ( - 40,4),B (40,4),H (0,20),设抛物线的解析式为 y = ax2 +20(a≠0) . 将点 A (-40,4) 代入解析式 y = ax2 + 20( a≠0) . 解得 a = - 1 100 . ∴ y= - 1 100 x2 +20. 消防车同时后退 10 米,即抛物 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 62·　 　 　 全程复习大考卷·数学·九年级