第21章 一元二次方程 考点梳理与复习-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（人教版）

全程复习大考卷·数学·九年级　 　 　 · 1　 · 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　上册 第二十一章考点梳理与复习 考点一　 一元二次方程的有关概念 1. 下列关于 x 的方程:①ax2 +bx+c= 0;②3x(x-4)= 0;③x2 +y-3 = 0;④ 1 x2 +x= 2;⑤3x3 -4x-5 = 0;⑥ 1 2 x2 - 5x+7 = 0;⑦(x-2)(x+5)= x2 -1. 其中是一元二次方程的有 (　 　 ) A. 1 个　 　 　 　 　 　 　 　 B. 2 个　 　 　 　 　 　 　 　 C. 3 个　 　 　 　 　 　 　 　 D. 4 个 2. 若 x= 1 是关于 x 的一元二次方程 x2 +ax+2b= 0 的根,则 a+2b 等于 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 3. (新素养·运算能力)关于 x 的一元二次方程 2(x-1) 2 +b(x-1) +c= 0 化为一般形式后为 2x2 -3x-1 = 0,试求 b,c 的值. 考点二　 一元二次方程的解法 4. 方程 2x2 -8 = 0 的解是 (　 　 ) A. x= 4 B. x= 2 C. x1 = 2,x2 = -2 D. x1 = 4,x2 = -4 5. 一元二次方程 x2 -4 = 2-x 的根是 (　 　 ) A. x1 = x2 = 2 B. x1 = x2 = -1 C. x1 = -1,x2 = 2 D. x1 = -3,x2 = 2 6. 利用公式法可得一元二次方程 3x2 -11x-1 = 0 的两个根分别为 a,b,且 a>b,则 a 的值为 (　 　 ) A. -11+ 109 6 　 B. -11+ 133 6 　 C. 11 + 109 6 　 D. 11 + 133 6 7. 把一元二次方程 2x2 -x-1 = 0 用配方法配成 a(x-h) 2 +k= 0 的形式(a,h,k 均为常数),则 h 和 k 的值 分别为　 　 　 　 　 . 8. 用适当的方法解下列方程: (1)4x2 -8x+1 = 0;(用配方法) (2)(x+2) 2 = 2x+4; (3)2x2 +1 = 4x; (4)(x+1)(x-1)= 2 2 x. 考点三　 一元二次方程根的判别式 9. 关于一元二次方程 x2 +4x+3 = 0 根的情况,下列说法正确的是 (　 　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有一个实数根 10. 若关于 x 的一元二次方程 x2 -2x+m= 0 有两个相等的实数根,则 m 的值是 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 若关于 x 的一元二次方程 ax2 +6x+1 = 0 没有实数根,则 a 的取值范围是 . 12. 若关于 x 的一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0 有两个实数根,则 k 的取值范围是 . 13. 已知关于 x 的一元二次方程(a-3)x2 -4x+3 = 0 有两个不相等的实数根. (1)求 a 的取值范围; (2)当 a 取最大整数值时,△ABC 的三条边长均满足关于 x 的一元二次方程(a-3) x2 -4x+3 = 0,求 △ABC 的周长. 考点四　 一元二次方程的根与系数的关系 14. 已知 x1,x2 分别是方程 x2 +5x-2 = 0 的两个根,则 x1x2 的值为 (　 　 ) A. 5 B. -5 C. 2 D. -2 15. 已知关于 x 的一元二次方程 kx2 -(k-3)x+2k= 0(k≠0)的一个根为 x= 1,则另一个根为 (　 　 ) A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 16. 若关于 x 的方程 x2 +(2-k)x+k2 = 0 的两根互为倒数,则 k 的值为 (　 　 ) A. 3 B. 1 C. -1 D. ±1 17. 已知 x1,x2 分别是方程 x2 -x-1 = 0 的两个根,不解方程求下列式子的值. (1)x21 +x22;　 　 　 　 　 　 　 　 　 (2) 1 x1 + 1 x2 ;　 　 　 　 　 　 　 　 　 (3)(x1 +1)(x2 +1) . 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 18. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 -(2k+1)x+2k= 0. (1)求证:无论 k 取任何实数,方程总有两个实数根; (2)若该方程的两个根 x1,x2 满足 3x1 +3x2 -x1x2 = 6,求 k 的值. 考点五　 实际问题与一元二次方程 19. (新考法·数学文化)印度古算书中有一首用韵文写成的诗:“一群猴子分两队,高高兴兴在游戏. 八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里. 其余十二高声喊,充满活跃的空气. 告我总数共多少,两队猴子 在一起?”大意是一群猴子分成两队,其中一队猴子数是猴子总数的 1 8 的平方,另一队猴子是 12 只, 那么这群猴子的总数是多少? 设这群猴子的总数是 x 只,根据题意可列出的方程是 (　 　 ) A. (8x) 2 = x-12　 B. (8x) 2 = x+12 C. x= ( 1 8 x) 2 -12　 D. x= ( 1 8 x) 2 +12 20. 为了宣传环保,某学生写了一份倡议书在微博传播,规则如下:将倡议书发表在自己的微博,再邀请 n 个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书,又邀请 n 个互不相同的好友转发倡议书,以此类推. 已 知经过两轮传播后,共有 1 641 人参与了传播活动,则方程列为 (　 　 ) A. (n+1) 2 = 1 641　 B. n2 +n+1 = 1 641 C. n(n+1)= 1 641　 D. (n-1) 2 = 1 641 21. (新考法·跨学科)读一读下面的诗词:大江东去浪淘尽,千古风流数人物;而立之年督东吴,早逝英 年两位数;十位恰小个位三,个位平方与寿同. 诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督,去世时年龄 是两位数,十位数比个位数小 3,个位数的平方等于他去世时的年龄. 若设他去世时年龄的个位数为 x,则根据题意可列出方程: . 22. (新素养·应用意识)某商场销售一种商品,每件进货价为 190 元. 调查发现,当每件销售价为 210 元 时,平均每天能销售 8 件;当销售价每降低 2 元时,平均每天就能多销售 4 件. 如果商场要想使这种 商品平均每天的销售利润达到 280 元,且尽量减少库存,那么每件商品的销售价应定为多少元? 23. 2024 年巴黎奥运会乒乓球混双项目在南巴黎竞技场 4 号馆开赛,中国混双球队参加了比赛,赛制为 单循环比赛(每两队之间都赛一场) . (1)如果有 6 支球队参加比赛,那么共进行 场比赛; (2)如果一共进行 45 场比赛,那么有多少支球队参加比赛? 24. (新情境·实际情境)如图,老李想用长为 70 m 的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个 矩形羊圈 ABCD,并在边 BC 上留一个 2 m 宽的门(建在 EF 处,另用其他材料) . (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为 640 m2 的羊圈? (2)羊圈的面积能达到 650 m2 吗? 如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由. · 2·　 　 　 全程复习大考卷·数学·九年级 全程复习大考卷·数学·九年级　 　 　 ·59　 · 参考答案及解析 (部分答案不唯一) 第二十一章考点梳理与复习 考点一　 一元二次方程的有关概念 1. B　 2. C 3.解:去括号,得 2x2 -4x+2+bx-b+c= 0. 合并同类项,得 2x2 +(b-4)x+2-b+c= 0. ∵ 方程化为一般形式后为 2x2 -3x-1 = 0, ∴ b-4 = -3,2-b+c= -1. 解得 b= 1,c= -2. 考点二　 一元二次方程的解法 4. C　 5. D 6. D　 【解析】这里 a= 3,b= -11,c= -1, ∴ Δ= b2 -4ac=(-11) 2 -4×3×(-1)= 133>0. ∴ 方程有两个不等的实数根. ∴ x= -(-11)± 133 2×3 = 11± 133 6 . ∵ 一元二次方程 3x2 -11x-1 = 0 的两个根分别为 a,b,且 a>b, ∴ a 的值为11 + 133 6 . 故选 D. 7. 1 4 ,- 9 8 　 【解析】∵ 2x2 -x-1 = 0,∴ 2 x2 - 1 2 x( ) -1 = 0. ∴ 2 x- 1 4( ) 2 - 9 8 = 0. ∴ h= 1 4 ,k= - 9 8 . 8.解:(1)4x2 -8x+1 = 0. 移项,得 4x2 -8x= -1. 二次项系数化为 1,得 x2 -2x= - 1 4 . 配方,得 x2 -2x+1 = - 1 4 +1, (x-1) 2 = 3 4 . 由此可得 x-1 = ± 3 2 . 解得 x1 = 1+ 3 2 ,x2 = 1- 3 2 . (2)方程变形,得(x+2) 2 -2(x+2)= 0. 分解因式,得(x+2)(x+2-2)= 0. ∴ x+2 = 0 或 x+2-2 = 0. 解得 x1 = -2,x2 = 0. (3)原方程化为一般形式为 2x2 -4x+1 = 0. ∵ a= 2,b= -4,c= 1, ∴ Δ= b2 -4ac= 16-4×2×1 = 8>0. ∴ 方程有两个不等的实数根. ∴ x= 4± 8 4 = 2± 2 2 . ∴ x1 = 2+ 2 2 ,x2 = 2- 2 2 . (4)方程变形,得 x2 -1 = 2 2 x. 移项,得 x2 -2 2 x-1 = 0. 配方,得 x2 -2 2 x+2 = 3, 即(x- 2 ) 2 = 3. 由此可得 x- 2 = ± 3 . 解得 x1 = 2 + 3 ,x2 = 2 - 3 . 考点三　 一元二次方程根的判别式 9. A　 10. A 11. a>9　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 ax2 +6x+1 = 0 没有实数根, ∴ Δ<0,即 62 -4a<0. 解得 a>9. 12. k≥ 1 5 且 k≠1　 【解析】由题意,得 Δ = b2 -4ac= (-4) 2 - 4(k-1)×(-5)≥0,且 k-1≠0. 解得 k≥ 1 5 且 k≠1. 13.解:(1)∵ 关于 x 的一元二次方程(a-3)x2 -4x+3 = 0 有 两个不相等的实数根, ∴ a-3≠0, ( -4) 2 -4(a-3) ×3>0.{ 解得 a<13 3 且 a≠3. (2)由(1)得 a 的最大整数值为 4. ∴ x2 -4x+3 = 0. 解得 x1 = 1,x2 = 3. ∵ △ABC 的三条边长均满足关于 x 的一元二次方程 (a-3)x2 -4x+3 = 0, ∴ ①三边都为 1,则△ABC 的周长为 3×1 = 3; ②三边都为 3,则△ABC 的周长为 3×3 = 9; ③三边为 1,1,3,1+1<3,此情况不存在; ④三边为 1,3,3,则△ABC 的周长为 1+3+3 = 7. 考点四　 一元二次方程的根与系数的关系 14. D　 15. C 16. C　 【解析】∵ 方程的两根 x1,x2 互为倒数, ∴ x1x2 = k2 = 1,解得 k= 1 或-1. ∵ 方程有两个实数根,∴ Δ≥0. ∵ 当 k= 1 时,Δ= 1-4 = -3<0,∴ k= -1. 故选 C. 17.解:根据根与系数的关系可得 x1 +x2 = 1,x1x2 = -1. (1)x21 +x22 = (x1 +x2) 2 -2x1x2 = 1-2×( -1)= 3. (2) 1 x1 + 1 x2 = x1 +x2 x1x2 = 1 -1 = -1. (3)(x1 +1)(x2 +1)= x1x2 +x1 +x2 +1 = -1+1+1 = 1. 18. (1)证明:∵ Δ= [ -(2k+1)] 2 -4×1×2k = (2k-1) 2≥0, ∴ 无论 k 取何值,方程总有两个实数根. (2)解:根据题意,得 x1 +x2 = 2k+1,x1·x2 = 2k. ∵ 3x1 +3x2 -x1x2 = 3(x1 +x2) -x1x2 = 6, ∴ 3(2k+1) -2k= 6. 解得 k= 3 4 . 考点五　 实际问题与一元二次方程 19. D　 20. B　 21. x2 = 10(x-3) +x 22.解:设每件商品降价 x 元销售,则每件商品的利润为 (210-190-x)元,平均每天的销售量为 8+ x 2 ×4 = (8+ 2x)件. 依题意,得(210-190-x)(8+2x)= 280. 解得 x1 = 6,x2 = 10. 当 x= 6 时,8+2x= 20;当 x= 10 时,8+2x= 28. ∵ 要尽量减少库存,∴ x= 10. ∴ 210-x= 200. ∴ 每件商品的销售价应定为 200 元. 23.解:(1)6×(6-1) ÷2 = 15(场), ∴ 如果有 6 支球队参加比赛,那么共进行 15 场比赛. 故答案为 15. (2)设有 x 支球队参加比赛. 根据题意,得 1 2 x(x-1)= 45. 整理,得 x2 -x-90 = 0. 解得 x1 = 10,x2 = -9(不符合题意,舍去) . ∴ 有 10 支球队参加比赛. 24.解:(1)设矩形羊圈 ABCD 的边 AB= x m,则边 BC= 70- 2x+2 = (72-2x)m. 根据题意,得 x(72-2x)= 640. 化简,得 x2 -36x+320 = 0. 解得 x1 = 16,x2 = 20. 当 x= 16 时,72-2x= 72-32 = 40; 当 x= 20 时,72-2x= 72-40 = 32. ∴ 当羊圈的长为 40 m,宽为 16 m 或长为 32 m,宽为 20 m 时,能围成一个面积为 640 m2 的羊圈. (2)不能. 理由如下: 根据题意,得 x(72-2x)= 650. 化简,得 x2 -36x+325 = 0. ∵ Δ= ( -36) 2 -4×325 = -4<0, ∴ 一元二次方程没有实数根. ∴ 羊圈的面积不能达到 650 m2 . 第二十一章学业水平测试 1. D 2. C　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程(a-2) x2 +x+a2 - 4 = 0 的一个根是 0,∴ a2 -4 = 0. 解得 a= ±2. ∵ a-2≠0,∴ a≠2. ∴ a= -2. 故选 C. 3. B　 【解析】移项,得 x2 -4x = 2. 配方,得 x2 -4x+4 = 2+4, 即(x-2) 2 = 6,∴ p= -2,q= 6. ∴ 珍珍所得结果不正确. 故 选 B. 4. C　 【解析】∵ Δ=(2a) 2 -4×1×(a2 -1)= 4a2 -4a2 +4 = 4> 0,∴ 关于 x 的一元二次方程 x2 +2ax+a2 -1 = 0 有两个不 相等的实数根. 故选 C. 5. A 6. B　 【解析】∵ (x-2)(x-5)= 0, ∴ x-2 = 0 或 x-5 = 0. ∴ x1 = 2,x2 = 5. ∵ 菱形 ABCD 的一条对角线长为 6,∴ AB 的长为 5. ∴ 菱形 ABCD 的周长为 4×5 = 20. 故选 B. 7. A　 【解析】∵ a= 1,b= -3,c= -5, ∴ Δ=(-3) 2 -4×1×(-5)= 9+20 = 29. ∴ x= 3± 29 2 . ∴ 较小的根 a= 3 - 29 2 . ∵ 5< 29 <6,∴ -1. 5<a<-1. 故选 A. 8. D　 【解析】∵ 方程 x2 -7x+5 = 0 的两个实数根分别是 a, b,∴ a+b= 7,ab= 5. ∴ 一次函数的解析式为 y = 5x+7. ∴ 该一次函数的图象 经过第一、二、三象限,不经过第四象限. 故选 D. 9. B 10. B　 【解析】①若 a+b+c= 0,则 x= 1 是方程 ax2 +bx+c= 0 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋