精品解析： 广东省珠海市2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年广东省珠海市八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3-分，共30分） 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个三角形三边的长分别是3，x，6，则x的值可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 9 D. 10 3. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，已知，，那么要得到，还应给出的条件是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MNBC，则△AMN的周长为（） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 6. 明明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点O，且经过点B，上沿经过点E，且与相交于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A，B，C在同一条直线上，且，当，时，的长为（ ）． A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等边中，点D是的中点，于点E，于点F.若，则线段的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11. 图中的交通禁令标志是停车让行标志，此标志形状为各角均相等的八角形，在中间加停字，红底白字白边，表示车辆必须在停止线以外停车瞭望，确认安全后，才准许通行，该标志中八角形的一个内角是________度． 12. 如图，与相交于点E，若，则等于___________． 13. 如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=_____． 14. 如图，中，点D在上，且，则_____度． 15. 如图，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，的面积是___． 16. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点交于点F．给出下面5个结论：①；②；③；④；⑤若，则是的高．其中正确结论的序号是_____ 三、解答题（一）（本大题3小题．每小题7分，共21分） 17. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．求和的度数． 18. 如图，四边形中，为上一点，且，求证：． 19. 明明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中与都是等腰三角形，且他们关于直线l对称，点E，F分别是底边的中点，．求证： 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 20. 互动学生课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究． 小亮：已知，如图三角形，点D是三角形内一点，连接，试探究与、、之间的关系． 小明：可以用三角形内角和定理去解决． 小丽：用外角的相关结论也能解决． （1）请你在横线上补全小明的探究过程： ∵，（ ） ∴．（等式性质） ∵， ∴． ∴．（ ） （2）请你按照小丽的思路完成探究过程； 21. 如图，已知直线． （1）在所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积． 22. 如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． （1）求证：； （2）若的边长为1，求的长． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 23. 如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD＝2BF+DE． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，且a、b满足． （1）点A的坐标为______，点B的坐标为______； （2）直接判断，无需证明：的形状是三角形； （3）过点A作射线l（射线l与边有交点），过点B作于点D，过点C作于点E，连接，过点E作于点F，并交y轴于点G． ①求证：； ②求点G的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省珠海市八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3-分，共30分） 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 一个三角形三边的长分别是3，x，6，则x的值可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的两边的长分别为3和6，根据已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，即可求得答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得：6﹣3＜x＜6+3，即：3＜x＜9． 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和． 3. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征以及象限内点的坐标特征，根据关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点的坐标为，则点关于轴的对称点，在第三象限， 故选：C． 4. 如图，已知，，那么要得到，还应给出的条件是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知给出的条件，再加一对对应边相等即可证明． 【详解】解：∵， ∴，即 ∵，， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是熟记全等三角形的判定定理，准确进行推理证明． 5. 如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MNBC，则△AMN的周长为（） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】先根据BO平分∠CBA可得∠MBO＝∠OBC，由MNBC可得∠MOB＝∠OBC，进一步得到∠MBO＝∠MOB，即MO＝MB，同理NO＝NC；最后根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵BO平分∠CBA， ∴∠MBO＝∠OBC， ∵MNBC， ∴∠MOB＝∠OBC， ∴∠MBO＝∠MOB， ∴MO＝MB， 同理：NO＝NC， ∵AB＝6，AC＝8， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝14． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识点，说明MO＝MB，NO＝NC是解答本题的关键． 6. 明明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了镜面对称的性质，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称，然后分别求出每个选项中的时间，进而求解即可． 【详解】解：A、实际时间大约为； B、实际时间大约为； C、实际时间大约为； D、实际时间大约为； ∴实际时间最接近的是． 故选：D． 7. 如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点O，且经过点B，上沿经过点E，且与相交于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形的内角和公式可求出正五边形的每个内角度数，在四边形中求出即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 正五边形的每个内角度数为：， 在四边形中，， ∵， ∴． 8. 如图，点A，B，C在同一条直线上，且，当，时，的长为（ ）． A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，利用全等三角形的对应边相等，正确找出三角形的对应边是解答本题的关键． 【详解】解：∵， ∴，（全等三角形的对应边相等） 又∵，， ∴ ∴ ∴． 故选：B． 9. 如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求解． 【详解】解：过点B作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 10. 如图，在等边中，点D是的中点，于点E，于点F.若，则线段的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，，再根据直角三角形的性质可得，从而求得，再根据直角三角形的性质求得，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点D是的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11. 图中的交通禁令标志是停车让行标志，此标志形状为各角均相等的八角形，在中间加停字，红底白字白边，表示车辆必须在停止线以外停车瞭望，确认安全后，才准许通行，该标志中八角形的一个内角是________度． 【答案】135 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，根据多边形内角和公式求出八边形的内角和，再求出一个内角的度数即可． 【详解】解：正八边形的内角和为：， 正八边形一个内角为：， 故答案为：135． 12. 如图，与相交于点E，若，则等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得到∠DBC=∠ACB=40°，根据三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：∵△ABC≌△DCB，∠ACB=40°， ∴∠DBC=∠ACB=40°， ∴∠BEC=180°-∠DBC-∠ACB=180°-40°-40°=100°， 故答案为：100°． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和的定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 13. 如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=_____． 【答案】70° 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数． 【详解】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E， ∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF； 又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理）， ∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理）， ∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=70°． 故答案为：70°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练应用角平分线的性质是解题关键． 14. 如图，中，点D在上，且，则_____度． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形外角的性质．找着角之间的关系式正确解答本题的关键． 在等腰三角形中，，将上式代入中，即可求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：15． 15. 如图，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，的面积是___． 【答案】42 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 过O作于E，于F，连接，根据角平分线的性质可得，再由的面积是，即可求解． 【详解】解：如图，过O作于E，于F，连接， ∵分别平分和，， ∴， 即， ∵的周长是21， ∴， ∴的面积是 ． 故答案为：42 16. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点交于点F．给出下面5个结论：①；②；③；④；⑤若，则是的高．其中正确结论的序号是_____ 【答案】②③④⑤ 【解析】 【分析】利用中线的性质判断①，利用角平分线和三角形外角定理即可判断②，作的角平分线交于点，根据三角形全等判断③，④，延长到，使，连接，根据三角形全等和等腰三角形的性质判断⑤． 【详解】①当是的中线时，，而题中只能确定平分，无法得出是的中线，故①错误； 在中，， ， 平分， 平分， ， ， 为的外角， ，故②正确； 如图，作的角平分线交于点， 由②可知，， ， ， 在与中， ， ≌ ， 在与中， ， ≌ ， ， ， ，故④正确， 由④可知，为的角平分线， ， ， ≌ ，≌ ， ，故③正确， 如图，延长到，使，连接， ， ， 在与中， ， ≌， ， 平分， ， ， 为等腰三角形， ， ，即是的高，故⑤正确， 正确的有②③④⑤． 故答案为：②③④⑤． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，中线的性质，熟练地利用角平分线作辅助线，构建三角形全等是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题3小题．每小题7分，共21分） 17. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．求和的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角的性质，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，外角的性质进行解答即可． 【详解】解：∵在中，是高， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵在中， ，是角平分线， ∴，， ∴， ∴． 18. 如图，四边形中，为上一点，且，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 在和 中， ∵， ， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据，可得，再由等腰三角形的性质得到 ，从而，可证，即可求证． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 19. 明明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中与都是等腰三角形，且他们关于直线l对称，点E，F分别是底边的中点，．求证： 【答案】 证明：∵与都是等腰三角形， ∴， ∵它们关于直线l对称， ， ，， ∵点分别是底边的中点， ∴，， ∴，， 如图，过点作，则，   ∵，， ， ， ， ∵它们关于直线对称， ， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，解题的关键是掌握以上知识点． 根据与都是等腰三角形，可得，根据轴对称图形的性质可得，从而得到，，根据点分别是底边的中点，证出，，过点作，则，根据题意可得，证出，然后根据轴对称图形的性质可得，即可求解． 【详解】略 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 20. 互动学生课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究． 小亮：已知，如图三角形，点D是三角形内一点，连接，试探究与、、之间的关系． 小明：可以用三角形内角和定理去解决． 小丽：用外角的相关结论也能解决． （1）请你在横线上补全小明的探究过程： ∵，（ ） ∴．（等式性质） ∵， ∴． ∴．（ ） （2）请你按照小丽的思路完成探究过程； 【答案】（1）三角形内角和定理；等量代换 （2） 证明：如图，延长交于， 由三角形的外角性质可知，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理、等式的性质解答； （2）延长交于，根据三角形的外角性质证明结论． 【小问1详解】 解：∵，（三角形内角和定理） ∴，（等式性质） ∵， ∴， ∴（等量代换）． 故答案为：三角形内角和定理；等量代换； 【小问2详解】 略 21. 如图，已知直线． （1）在所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积． 【答案】（1） 如图，直线就是所求作的直线． （2）的面积为1或． 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理以及分类讨论思想： （1）先作出与的垂线，再作出夹在间垂线段的垂直平分线即可； （2）分；；三种情况，结合三角形面积公式求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①当时， ，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，根据图形的对称性可知：， ， ． ②当时， 分别过点作直线的垂线，垂足为， ． ，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离， ． ，， ，， ． 在中，由勾股定理得， ． ． ③当时，同理可得，． 综上所述，的面积为1或． 22. 如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． （1）求证：； （2）若的边长为1，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，过P作交于点F， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质是解题的关键． （1）如图，过P作交于点F，证明是等边三角形；证明，进而结论得证； （2）由（1）可知，是等边三角形，由，可得，由（1）可知，，则，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，是等边三角形， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴的长为． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 23. 如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD＝2BF+DE． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∴， 在△BAC和△DAE中， ∵ ， ∴； （2）； （3） 证明：延长BF到G，使得， ∵， ∴， 在△AFB和△AFG中， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴在△CGA和△CDA中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可求解； （3）延长BF到G，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，且a、b满足． （1）点A的坐标为______，点B的坐标为______； （2）直接判断，无需证明：的形状是三角形； （3）过点A作射线l（射线l与边有交点），过点B作于点D，过点C作于点E，连接，过点E作于点F，并交y轴于点G． ①求证：； ②求点G的坐标． 【答案】（1） （2）是等腰直角三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）由偶次方和绝对值的非负性质得，则； （2）根据，证明和是等腰直角三角形，进而得； （3）①证，即可得出； ②证，得，则，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵、满足， ， ， ， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵， ， ∴和是等腰直角三角形， ， ， ∴是等腰直角三角形． 【小问3详解】 ①证明：∵， ， ， ， 在和中， ， ， ． ②， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、直角三角形的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $