4.3.1 等比数列的概念（7大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.1 等比数列的概念 题型一 等比数列的定义与判断 1．判断下列数列是否为等比数列： (1)； (2)； (3). 2．（23-24高二下·湖北·期中）“数列{}是等比数列”是“数列是等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河南南阳·期中）（多选）若数列是等比数列，且，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 题型二 等比数列的证明 1．（24-25高二上·福建·期中）已知数列满足，，.记. (1)证明：数列是等比数列. (2)求的通项公式. 2．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 3．已知数列中，． (1)求，并猜想的通项公式（不需证明）； (2)证明：数列是等比数列． 4．在数列中，为其前项和，且满足．判断数列是否为等比数列，并说明理由． 题型三 等比数列的通项及基本量 1．（24-25高二上·江苏·期中）已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25高二上·甘肃庆阳·月考）等比数列中，，则（    ） A．4 B． C． D． 3．（23-24高二上·广西南宁·期中）在各项均为正数的等比数列中，，，则公比（    ） A．3 B．9 C． D． 4．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列为正项等比数列，，则使成立的的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 题型四 等比中项及应用 1．（23-24高二下·陕西榆林·月考）若是1与9的等比中项，则实数的值为（    ） A．3 B． C． D．9 2．（24-25高二上·江苏苏州·期中）在2和8之间插入3个实数使得成等比数列，则的值为（    ） A． B．或4 C．4 D．5 3．（24-25高三上·云南昆明·月考）正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 4．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）等比数列中，若，则 ． 题型五 等比数列的性质及应用 1．（24-25高二上·福建漳州·期中）等比数列中，，，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．（24-25高三上·山东德州·月考）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．36 D．6 3．（24-25高二上·山东·期中）已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（    ） A． B．3 C． D．4 4．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）已知数列为正项等比数列，若，，则 ． 题型六 等比数列的单调性与最值 1．（23-24高二下·陕西渭南·期末）（多选）若数列为递增数列，则的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·内蒙古·期中）已知是递增的等比数列，且，则其公比满足（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北保定·期末）（多选）已知等比数列的首项为，公比为，则下列能判断为递增数列的有（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江西新余·月考）已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则“”是“是单调递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型七 用等比数列解决实际问题 1．（23-24高二上·广东湛江·期中）某型号计算机的成本不断降低，若每隔两年该型号计算机价格降低，现在的价格是5400元，则6年后价格降低为（    ） A．2200元 B．1600元 C．2400元 D．3600元 2．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（   ） A．1420 B．1480 C．1520 D．1580 3．（24-25高三上·天津·月考）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（   ）升粟. A． B． C． D． 4．（23-24高二上·重庆·期末）古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列．那么1指节是（    ） A．兔尘 B．羊尘 C．兔尘 D．羊尘 1．（23-24高二下·北京顺义·期中）数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要 2．（24-25高二上·山东青岛·期中）若成等比数列，且满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏苏州·月考）设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，.则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．的最大项为 4．（24-25高二上·江苏苏州·月考）（多选）已知数列满足，且，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列的 C．数列 的前7项为负数 D．数列最大项的值为 5．（23-24高二下·四川成都·月考）在数列中，，，若，则 ． 6．（23-24高二下·河南周口·月考）已知数列满足，且，则数列中项的最小值为 ． 7．（24-25高二上·江苏苏州·月考）2021年12月8日~11日，备受瞩目的2021年中国国际轨道交通和装备制造产业博览会（轨博会）在湖南株洲成功举行.假设2021年株洲轨道产业的年利润为2百亿元，预计从2022年开始，轨道产业每年的年利润将在前一年翻一番的基础上减少1百亿元；设从2021年开始，每年株洲轨道产业的年利润（单位：百亿元）依次为． (1)请用一个递推关系式表示与之间的关系； (2)求的通项公式； (3)预计哪一年株洲轨道产业的年利润将首次突破千亿元大关． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3.1 等比数列的概念 题型一 等比数列的定义与判断 1．判断下列数列是否为等比数列： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)是等比数列；(2)不是等比数列；(3)答案见解析 【解析】（1）记数列为，则． ， 数列为等比数列，且公比为3； （2）记数列为，则，，，…， ， 数列不是等比数列． （3）当时，数列为不是等比数列； 当时，因为， 所以数列是等比数列，且公比为； 综上所述，当时，数列不是等比数列； 当时， 数列是等比数列. 2．（23-24高二下·湖北·期中）“数列{}是等比数列”是“数列是等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若是等比数列，设的公比为q，则，则数列是公比为的等比数列. 假设数列是1，2，2，4，4，8，8，16，16，…， 则数列是等比数列，但是数列不是等比数列. 故数列“是等比数列”是“数列是等比数列”的充分不必要条件.故选：A. 3．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为， 对于A，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故A错误； 对于B，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故B错误； 对于C，当等差数列的各项都为时，无意义，故C错误； 对于D，因为为常数，所以数列一定是等比数列，故D正确；故选：D 4．（23-24高二下·河南南阳·期中）（多选）若数列是等比数列，且，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 【答案】AC 【解析】设等比数列的公比为， 因为，所以， 对于A，，所以数列是等比数列，故A正确； 对于B，当时，等比数列为正项常数列，此时， 所以数列不是等比数列，故B错误； 对于C，，所以数列是等比数列，故C正确； 对于D，，所以数列是等差数列，故D错误．故选：AC． 题型二 等比数列的证明 1．（24-25高二上·福建·期中）已知数列满足，，.记. (1)证明：数列是等比数列. (2)求的通项公式. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为，所以， 所以，所以. 因为，所以是首项为3，公比为3的等比数列， 所以. （2）由（1）知， 所以，，，…，， 累加可得. 因为，所以. 2．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 【答案】(1)；(2)证明见解析； 【解析】（1）当时，， 当时，， （2）∵， ∴得到，∴， 则代入①得：， 则 ∴， 且， ∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列. ∴， ∴ 3．已知数列中，． (1)求，并猜想的通项公式（不需证明）； (2)证明：数列是等比数列． 【答案】(1)，；(2)证明见解析 【解析】（1）由得． 结合可猜想数列的通项公式为． （2）因为， 所以为正项递增数列，所以， 所以， 故数列是等比数列． 4．在数列中，为其前项和，且满足．判断数列是否为等比数列，并说明理由． 【答案】是等比数列，理由见解析 【解析】因为，所以当时，， 当时，，整理可得， 因为，又. 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列． 题型三 等比数列的通项及基本量 1．（24-25高二上·江苏·期中）已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】由于，， 所以，两式相除得，解得或， 因为，所以.故选：A 2．（24-25高二上·甘肃庆阳·月考）等比数列中，，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为，因为，所以，所以， 所以.故选：B. 3．（23-24高二上·广西南宁·期中）在各项均为正数的等比数列中，，，则公比（    ） A．3 B．9 C． D． 【答案】A 【解析】各项均为正数的等比数列知，， 故， 则故.故选：A 4．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列为正项等比数列，，则使成立的的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【解析】根据条件：，解得. 所以. 由. 所以使成立的的最小值为9.故选：A 题型四 等比中项及应用 1．（23-24高二下·陕西榆林·月考）若是1与9的等比中项，则实数的值为（    ） A．3 B． C． D．9 【答案】C 【解析】由已知得，∴，故选：C. 2．（24-25高二上·江苏苏州·期中）在2和8之间插入3个实数使得成等比数列，则的值为（    ） A． B．或4 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由为等比中项可知，， 又可知，所以，故选：C 3．（24-25高三上·云南昆明·月考）正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】C 【解析】由题意可得， 又正项等差数列的公差为d，已知， 所以，即， 解得或（舍去），故选：C. 4．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）等比数列中，若，则 ． 【答案】 【解析】设的公比为，则， 由等比中项的性质知. 故答案为：. 题型五 等比数列的性质及应用 1．（24-25高二上·福建漳州·期中）等比数列中，，，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【解析】由， 可得：即， 又，所以， 由，可得：，故选：D 2．（24-25高三上·山东德州·月考）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．36 D．6 【答案】D 【解析】因为为等比数列，故，故，故， 所以，故（负值舍去），故选：D. 3．（24-25高二上·山东·期中）已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】由题意得，为各项均为正数的等比数列，故， 且， 故.故选：C 4．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）已知数列为正项等比数列，若，，则 ． 【答案】 【解析】由， 由等比数列的性质可得：，，∴， 又，∴． 故答案为:． 题型六 等比数列的单调性与最值 1．（23-24高二下·陕西渭南·期末）（多选）若数列为递增数列，则的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A：， 所以，所以为递增数列，故A正确； 对于B：，所以，所以为递增数列，故B正确； 对于C：因为，则，，所以不单调，故C错误； 对于D：，所以，所以为递增数列，故D正确；故选：ABD 2．（23-24高二下·内蒙古·期中）已知是递增的等比数列，且，则其公比满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】是等比数列，故，当时，各项正负项间隔,为摆动数列,故,显然， 由得， 又是递增的等比数列，故为递减数列,由指数函数的单调性知.故选:D 3．（23-24高二上·河北保定·期末）（多选）已知等比数列的首项为，公比为，则下列能判断为递增数列的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由等比数列的首项为，公比为， 对于A中，若，可得，所以为递减数列，所以A错误； 对于B中，若，可得，所以为递增数列，所以B正确； 对于C中，若，可得，所以为递减数列，所以C错误； 对于D中，若，可得，所以为递增数列，所以D正确.故选：BD. 4．（23-24高二下·江西新余·月考）已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则“”是“是单调递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若等比数列满足“”， 比如，，此时不是单调递减数列，故正向无法推出，即充分性不成立， 若数列为递减数列， ，或，. 则①“，”可以推出; ②“，”也可以推出，则必要性成立； 则“”是“是单调递减数列”的必要不充分条件，故选：B. 题型七 用等比数列解决实际问题 1．（23-24高二上·广东湛江·期中）某型号计算机的成本不断降低，若每隔两年该型号计算机价格降低，现在的价格是5400元，则6年后价格降低为（    ） A．2200元 B．1600元 C．2400元 D．3600元 【答案】B 【解析】由题意可知，每隔两年该型号计算机价格降低， 所以6年后，价格降低为（元），故选：B 2．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（   ） A．1420 B．1480 C．1520 D．1580 【答案】B 【解析】依题意，当时，，则， 于是数列是首项为，公比为1.1的等比数列， 则，即， 所以.故选：B 3．（24-25高三上·天津·月考）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（   ）升粟. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，羊、马、牛主人应偿还量构成公比为2的等比数列， 设马主人应偿还升粟，则，解得， 所以马主人应偿还升粟.故选：C 4．（23-24高二上·重庆·期末）古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列．那么1指节是（    ） A．兔尘 B．羊尘 C．兔尘 D．羊尘 【答案】A 【解析】设1微尘为， 因为微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度， 构成了公比为7的等比数列， 所以1窗尘为，1兔尘为，1羊尘为，1牛尘为， 1虮为，1虱为，1芥子，1大麦，1指节为， 因为，所以1指节是兔尘，A正确，C不正确； 因为，所以1指节是羊尘，BD不正确；故选：A. 1．（23-24高二下·北京顺义·期中）数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为，， 若，则， 当 时，由 得，解得或， 若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递增数列． 当时，由，得，解得或， 若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递增数列． 反之，若是递增数列，则， 所以“对于任意的，”是“是递增数列”的充要条件．故选：C． 2．（24-25高二上·山东青岛·期中）若成等比数列，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】成等比数列，设公比为, ∵， ∴， ∴，，， ∴，，， ∵，∴， 从而，由得，则， 由得， 即，得， ∵，∴，解得， ∴，， ∴，， ∴，故选：C. 3．（24-25高二上·江苏苏州·月考）设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，.则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．的最大项为 【答案】C 【解析】对于A，若，因为，则，，不满足， 若，因为，则，，不满足， 显然，所以，故A正确； 对于B、C，因为，，且，所以，故B正确，C错误； 对于D，由等比数列可得当时，， 当时，，所以的最大项为，故D正确；故选：C. 4．（24-25高二上·江苏苏州·月考）（多选）已知数列满足，且，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列的 C．数列 的前7项为负数 D．数列最大项的值为 【答案】ABD 【解析】根据， 可知是等比数列，首项为，公比为，故A正确； 则有，所以，故B正确，C错误； 不妨设最大项为，则， 即，解之得， 即最大项为，故D正确.故选：ABD 5．（23-24高二下·四川成都·月考）在数列中，，，若，则 ． 【答案】5 【解析】由得， 因为，所以数列是首项为81，公比为的等比数列， 所以，所以， 当时，，所以数列为递减数列. 若，则有，即， 得，又因为，所以. 故答案为：5. 6．（23-24高二下·河南周口·月考）已知数列满足，且，则数列中项的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，得到，变形得到， 且，数列是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以，故， 设，则， 当时，即，得到， 所以，当时，当时，数列是递增数列， 又，，，，数列的最小值为． 故答案为：. 7．（24-25高二上·江苏苏州·月考）2021年12月8日~11日，备受瞩目的2021年中国国际轨道交通和装备制造产业博览会（轨博会）在湖南株洲成功举行.假设2021年株洲轨道产业的年利润为2百亿元，预计从2022年开始，轨道产业每年的年利润将在前一年翻一番的基础上减少1百亿元；设从2021年开始，每年株洲轨道产业的年利润（单位：百亿元）依次为． (1)请用一个递推关系式表示与之间的关系； (2)求的通项公式； (3)预计哪一年株洲轨道产业的年利润将首次突破千亿元大关． 【答案】(1)；(2)；(3)2025年 【解析】（1）由题意可得． （2）， ， ，， 所以，数列是以1为首项，2为公比的等比数列． 故，即． （3）由（2）可知． 令，则, 由于,故， 所以预计2025年株洲轨道产业的年利润将首次突破干亿元大关． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$