专题07 角【挑战压轴题】（尖子生拔高卷）-2024-2025学年人教版数学七年级上册培优专题真题讲练

2024-2025学年人教版数学七年级上册【挑战压轴题】培优专题真题培优卷 专题07 角 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.41（较难） 题目来源：全国各地名校真题 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2023秋•平舆县期末）如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，那么的度数为　　 A． B． C． D． 解：， 故选：． 2．（2分）（2023秋•潜山市期末）若与互为余角，与互为补角，则下列结论： ①；②；③；④．其中正确的是　　 A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 解：根据题意得：（1），（2）， （2）（1）得，， ①正确； （1）（2）得，， ， ②正确； （2）（1）得，， ③正确； （1），（2）， ， ， ， ④错误； 故选：． 3．（2分）（2023秋•柳州期末）如图，点，，分别表示手绘地图中厦门鼓浪屿风景区内郑成功纪念馆、郑成功水操台遗址、日光岩三个景点．经测量，郑成功水操台遗址在日光岩的北偏东方向，则郑成功纪念馆在日光岩的　　 A．北偏东方向 B．北偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏东方向 解：，，， 郑成功纪念馆在日光岩的北偏西方向， 故选：． 4．（2分）（2024•益阳三模）如图，两个直角三角板的直角顶点重合，下列结论不一定成立的是　　 A． B． C． D． 解：，，故不符合题意； 当为的角平分线时，，故符合题意； ；，，故不符合题意； ；，，故不符合题意， 故选：． 5．（2分）（2023秋•德清县期末）下列结论中不正确的是　　 A．一个角的补角一定大于这个角 B．一个角的度数为，则这个角的补角的度数为 C．若，，那么 D．一个角的余角是这个角的2倍，那么这个角是30度 解：、角的补角等于这个角，故原说法错误，符合题意； 、一个角的度数为，则这个角的补角的度数为，故原说法正确，不符合题意； 、若，，那么，故原说法正确，不符合题意； 、一个角的余角是这个角的2倍，那么这个角是30度，故原说法正确，不符合题意． 故选：． 6．（2分）（2023秋•霸州市期末）如图，将按如图所示的方式摆放在量角器上，其中点为量角器的中心，射线，都在整10的刻度线上，则　　 A． B． C． D． 解：由图可得，从右边开始读数， 可得到边所在的角度为：， 边所在的角度为：， ， 故选：． 7．（2分）（2023秋•玉州区期末）将一副学生用三角板（一个锐角为的直角三角形，一个锐角为的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有　　 ①平分； ②； ③； ④． A．0 B．1 C．2 D．3 解：， ， 即，故②错误； ， ，故④正确； 如图，与交于点， ，，，， ．故③正确； 没有条件能证明平分，故①错误． 故选：． 8．（2分）（2023秋•宿豫区期末）若和互补，且，则下列表示的余角的式子：①；②；③；④中．其中正确的有　　 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 解：和互补， ， ，， 于是有： 的余角为：，故①不正确； 的余角为：，故②正确； 的余角为：，故④正确； 而，而不一定是直角，因此③不正确； 因此正确的有②④， 故选：． 9．（2分）（2023秋•子洲县期末）如图，平分，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：，， ， 平分， ， ， 故选：． 10．（2分）（2023秋•莲湖区期末）如图，，平分，且，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：， ， 故选：． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024春•封开县期末）如图，小明手持激光灯照向地面，激光灯发出的光线与地面形成了两个角，若，则的度数为 　　． 解：，， ， ， 故答案为：． 12．（2分）（2023秋•商水县期末）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：①；②与互补；③；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 　①③④　． 解：设， ， ， ， ， 平分，平分，平分， ，，， ，故①正确，符合题意； ， 度数未知， 与不一定互补，故②错误，不符合题意； ，故③正确，符合题意； ，， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有：①③④， 故答案为：①③④． 13．（2分）（2023秋•二七区校级期末）如图，将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分，，将三角板绕点旋转（旋转过程中与均指大于且小于的角）将三角板绕点旋转一周，的度数为 　或　（用含的代数式表示）． 解：当在上方时， ， ， 平分， ， ， ； 当在下方时， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：或． 14．（2分）（2023秋•朝阳区期末）如图，一艘快艇从灯塔南偏东的方向上的某点出发，绕着灯塔逆时针方向以每个时间单位的转速旋转1周，当时，快艇旋转了 　34或50　个时间单位． 解： 当快艇在东南方时， 不存在； 当快艇在东北方时， ， 快艇旋转的度数：， 快艇旋转的时间：； 当快艇在西北方时， ， 快艇旋转的度数：， 快艇旋转的时间：； 当快艇在西南方时， 不存在， 故答案为：34或50． 15．（2分）（2023秋•霍林郭勒市期末）如图①，在长方形中，点在上，并且，分别以，为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中，则的度数为 　　． 解：由折叠可知，，， ，， ． ． 故答案为：． 16．（2分）（2023秋•岳阳县期末）如图，将一副直角三角板如图放置，若，则度数为 　　． 解：， ， 又， ， 故答案为：． 17．（2分）（2023秋•淮北期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫作这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线． （1）若，则　　； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且．若以点为中心，将顺时针旋转得到，当恰好是的三分线时，的值为 　　． 解：（1），是的一条三分线， ， 故答案为：； （2）分两种情况： ①当是的三分线，且时，则，如图所示： ，，是的两条三分线， ， ， ， ； ②当是的三分线，且时， ，，是的两条三分线， ， ， ， 综上可知：的值为：或， 故答案为：或． 18．（2分）（2023秋•北流市期末）如图，点是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若．射线、分别经过刻度线40和60，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线165；③若，则图中共有6对角互为余角．其中正确的是 　①③　（填序号）． 解：①， ， ，故正确； ②由题意可得：， ， ，即， ， ，即射线经过刻度线160，故错误； ③如图： ，， ， 和互为余角， 射线经过刻度线90， ， 和，和，和，和，和互为余角， 即共有6对角互为余角，故正确； 正确的有①③， 故答案为：①③． 19．（2分）（2023秋•沈北新区期末）如图，长方形纸片，点在边上，点、在边上，连接、．将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕．，则　或　． 解：当点在点的右侧， 平分，平分， ，， ， ，， ， ； 当点在点的左侧， 平分，平分， ，， ， ，， ， ， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 20．（2分）（2023秋•成都期末）一副三角板与如图1摆放，且，，，平分，平分．当三角板绕点顺时针旋转（从图1到图．设图1、图2中的的度数分别为，，　105　度． 解：如图1，平分，平分． ， ， ， 如图2，平分，平分． ， ， ， ， 故答案为：105． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2023秋•渌口区期末）如图，是平角，，，平分； （1）求的度数； （2）是的平分线吗？为什么？ 解：（1）平分， ， ， ； （2）是的平分线， 理由：是平角，， ， ， ， ， 是的平分线． 22．（6分）（2023秋•昭通期末）如图，是的平分线，是的平分线，． （1）求的度数是多少？ （2）如果，求的度数． 解：（1）是的平分线，是的平分线， ，， ； （2）是的平分线，， ， ， ， 是的平分线， ． 23．（8分）（2023秋•唐河县期末）如图1，在同一个平面上，已知点为直线上一点，将三角板按如图所示放置，且直角顶点与重合，三角板可绕点旋转，设，点在线段上． （1）【问题探究】已知，且，通过计算说明：平分； （2）【类比探究】当三角板绕点旋转到图2位置时，平分，求的度数（结果用含的代数式表示）； （3）【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系为 　　． 解：（1），， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）， ， ， ， 平分， ， 即， ； （3）与存在的数量关系为：． 由（2）得：， ， ， 又，， ， ， 与存在的数量关系为：． 24．（8分）（2023秋•上杭县期末）综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图，点，，在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，直角顶点与点重合，是直角，平分． 【问题发现】 （1）若，则的度数为 　　； （2）将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，若，求的度数； （3）将这一直角三角尺如图3放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 解：（1）是直角，， ， 平分， ， ， 故答案为：； （2）是直角，， ， 平分， ， ； （3）．理由如下： 是直角， ， 平分， ， ， 又， ， ． 25．（8分）（2024春•蒲县期末）如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一个含角的直角三角尺的一个顶点放在点处，斜边与直线重合，另外两条直角边都在直线的下方． （1）将图1中的三角尺绕着点逆时针旋转，如图2所示，此时　　；在图2中，是否平分？请说明理由； （2）紧接着将图2中的三角板绕点逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得在的内部，请探究：与之间的数量关系，并说明理由； （3）将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为　　（直接写出结果）． 解：（1）如图2，， 平分．理由如下： ， ， 而， ； 故答案为； 平分． 理由如下： 三角尺绕着点逆时针旋转得到（如图， ， ， 而， 平分； （2）． 理由如下：如图3， ， ， ， ， ； （3）（秒或（秒． 故答案为4.5秒或40.5秒． 26．（8分）（2023秋•郓城县期末）数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，请解决以下问题： （1）如图（1）：当时，　　，若为任意锐角时，你还能求出与的数量关系吗？若能，请求出；若不能，请说明理由． （2）当转动到图（2）情况时，与有怎样的数量关系？请说明理由． 解：（1）； 若为任意锐角时，， 理由如下：， ， ； （2）． 理由如下：，， ． 故答案为． 27．（8分）（2023秋•监利市期末）将三角板的直角顶点放置在直线上． （1）若按照图1的方式摆放，且，射线平分，则的大小为 　　； （2）若按照图2的方式摆放，射线平分．请写出与度数的等量关系，并说明理由． 解：（1），， ， ， ， ， 平分， ， ， 故答案为：； （2）． 理由：，， ， ， 即①， 平分， ， ， ②， ①②得， ， 即． 28．（8分）（2023秋•广陵区校级期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． （1）如图①所示，已知，，是的内半角，则　　． （2）如图②，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ （3）已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 解：（1）如图1，，是的内半角， ， ， ； 故答案为：． （2）如图2，由旋转可知，， ，， 是的内半角， ，即， 解得， 当旋转的角度为时，是的内半角； （3）能，理由如下， 由旋转可知，；根据题意可分以下四种情况： ①当射线在内，如图4， 此时，，， 则是的内半角， ，即， 解得（秒； ②当射线在外部，有以下两种情况，如图5，图6， 如图5，此时，，， 则是的内半角， ，即， 解得（秒； 如图6，此时，，， 则是的内半角， ，即， 解得（秒； 综上，在旋转一周的过程中，射线、、、构成内半角时，旋转的时间分别为：秒；30秒；90秒 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学七年级上册【挑战压轴题】培优专题真题培优卷 专题07 角 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.41（较难） 题目来源：全国各地名校真题 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2023秋•平舆县期末）如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，那么的度数为　　 A． B． C． D． 2．（2分）（2023秋•潜山市期末）若与互为余角，与互为补角，则下列结论： ①；②；③；④．其中正确的是　　 A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 3．（2分）（2023秋•柳州期末）如图，点，，分别表示手绘地图中厦门鼓浪屿风景区内郑成功纪念馆、郑成功水操台遗址、日光岩三个景点．经测量，郑成功水操台遗址在日光岩的北偏东方向，则郑成功纪念馆在日光岩的　　 A．北偏东方向 B．北偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏东方向 4．（2分）（2024•益阳三模）如图，两个直角三角板的直角顶点重合，下列结论不一定成立的是　　 A． B． C． D． 5．（2分）（2023秋•德清县期末）下列结论中不正确的是　　 A．一个角的补角一定大于这个角 B．一个角的度数为，则这个角的补角的度数为 C．若，，那么 D．一个角的余角是这个角的2倍，那么这个角是30度 6．（2分）（2023秋•霸州市期末）如图，将按如图所示的方式摆放在量角器上，其中点为量角器的中心，射线，都在整10的刻度线上，则　　 A． B． C． D． 7．（2分）（2023秋•玉州区期末）将一副学生用三角板（一个锐角为的直角三角形，一个锐角为的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有　　 ①平分； ②； ③； ④． A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2分）（2023秋•宿豫区期末）若和互补，且，则下列表示的余角的式子：①；②；③；④中．其中正确的有　　 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 9．（2分）（2023秋•子洲县期末）如图，平分，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 10．（2分）（2023秋•莲湖区期末）如图，，平分，且，则的度数为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024春•封开县期末）如图，小明手持激光灯照向地面，激光灯发出的光线与地面形成了两个角，若，则的度数为 　　． 12．（2分）（2023秋•商水县期末）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：①；②与互补；③；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 　　． 13．（2分）（2023秋•二七区校级期末）如图，将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分，，将三角板绕点旋转（旋转过程中与均指大于且小于的角）将三角板绕点旋转一周，的度数为 　　（用含的代数式表示）． 14．（2分）（2023秋•朝阳区期末）如图，一艘快艇从灯塔南偏东的方向上的某点出发，绕着灯塔逆时针方向以每个时间单位的转速旋转1周，当时，快艇旋转了 　　个时间单位． 15．（2分）（2023秋•霍林郭勒市期末）如图①，在长方形中，点在上，并且，分别以，为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中，则的度数为 　　． 16．（2分）（2023秋•岳阳县期末）如图，将一副直角三角板如图放置，若，则度数为 　　． 17．（2分）（2023秋•淮北期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫作这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线． （1）若，则　　； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且．若以点为中心，将顺时针旋转得到，当恰好是的三分线时，的值为 　　． 18．（2分）（2023秋•北流市期末）如图，点是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若．射线、分别经过刻度线40和60，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线165；③若，则图中共有6对角互为余角．其中正确的是 　　（填序号）． 19．（2分）（2023秋•沈北新区期末）如图，长方形纸片，点在边上，点、在边上，连接、．将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕．，则　　． 20．（2分）（2023秋•成都期末）一副三角板与如图1摆放，且，，，平分，平分．当三角板绕点顺时针旋转（从图1到图．设图1、图2中的的度数分别为，，　　度． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2023秋•渌口区期末）如图，是平角，，，平分； （1）求的度数； （2）是的平分线吗？为什么？ 22．（6分）（2023秋•昭通期末）如图，是的平分线，是的平分线，． （1）求的度数是多少？ （2）如果，求的度数． 23． （8分）（2023秋•唐河县期末）如图1，在同一个平面上，已知点为直线上一点，将三角板按如图所示放置，且直角顶点与重合，三角板可绕点旋转，设，点在线段上． （1）【问题探究】已知，且，通过计算说明：平分； （2）【类比探究】当三角板绕点旋转到图2位置时，平分，求的度数（结果用含的代数式表示）； （3）【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系为 　　 ． 24．（8分）（2023秋•上杭县期末）综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图，点，，在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，直角顶点与点重合，是直角，平分． 【问题发现】 （1）若，则的度数为 　　； （2）将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，若，求的度数； （3）将这一直角三角尺如图3放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 25．（8分）（2024春•蒲县期末）如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一个含角的直角三角尺的一个顶点放在点处，斜边与直线重合，另外两条直角边都在直线的下方． （1）将图1中的三角尺绕着点逆时针旋转，如图2所示，此时　　；在图2中，是否平分？请说明理由； （2）紧接着将图2中的三角板绕点逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得在的内部，请探究：与之间的数量关系，并说明理由； （3）将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为　　（直接写出结果）． 26．（8分）（2023秋•郓城县期末）数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，请解决以下问题： （1）如图（1）：当时，　　，若为任意锐角时，你还能求出与的数量关系吗？若能，请求出；若不能，请说明理由． （2）当转动到图（2）情况时，与有怎样的数量关系？请说明理由． 27．（8分）（2023秋•监利市期末）将三角板的直角顶点放置在直线上． （1）若按照图1的方式摆放，且，射线平分，则的大小为 　　； （2）若按照图2的方式摆放，射线平分．请写出与度数的等量关系，并说明理由． 28．（8分）（2023秋•广陵区校级期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． （1）如图①所示，已知，，是的内半角，则　　． （2）如图②，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ （3）已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$