4.3实数的运算练习题2024-2025学年苏科版数学八年级上册

苏科版数学八年级上 实数的运算 练习题 一、解答题 1．的立方根是，是的算术平方根，是的整数部分，求： (1)，，的值； (2)的平方根． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算 (1)； (2)； (3)； (4)解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 4．计算：． 5．计算：． 6．计算： (1) (2) 7．计算： (1) (2) (3) (4) 8．计算： (1)； (2)． 9．计算 (1)； (2)． 10．已知：16的算术平方根是，b是的整数部分． (1)求a，b的值； (2)求的立方根． 11．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，求的值． 12．计算； 13．计算：． 14．先化简，再求值：，其中． 15．在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出的近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答下列问题： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么________，________． (2)是的小数部分，是的整数部分，那么________，________． (3)的平方根是________； (4)比较大小：________ 16．数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道，，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少？”小明举手回答：“它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示．”张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的小数部分是的整数部分是b，求的值； (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 17．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小颖用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 18．已知的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 19．阅读下面文字，解答问题． 是无理数．无理数是无限不循环小数，小明用表示它的小数部分，理由是：的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分， 又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 参考小明的做法解答： (1)如果的整数部分为m，小数部分为n，则_______； (2)如果，其中x是整数，且，则_______． 20．已知的算术平方根是，的立方根是是的整数部分．求，，的值． 21．已知满足以下条件： ①正数的两个不相等的平方根分别是和； ②． (1)分别求的值； (2)若，其中为整数，，求的值． 22．阅读材料，完成下列任务： 因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π、等，而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确． 材料一：∵，即，∴． ∴的整数部分为1，小数部分为． 材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图． 1 x x 1·x 1 1 1·x 解：由图中面积计算，， ∵， ∴． ∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略x2 ∴得方程：，解得，即， 解决问题： (1)利用材料一中的方法，求的小数部分； (2)利用材料二中的方法，借助面积为7的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 23．初中阶段，目前我们已经学习了多种计算技巧，例如裂项相消法、错位相减法等，请计算下列各式： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______． 24．先填写表，通过观察后再回答问题： a … 4 … … x 2 y … (1)表格中______，______； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______； (3)试比较与a的大小． 25．用“作差法”比较和2的大小：，∵，∴，∴，∴． (1)归纳总结：已知两个数a、b，若，则________0；若，则________0；（填>，<或=） (2)举一反三：比较与的大小． 26．（1）求的小数部分； （2）已知的小数部分是，的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 27．已知a为的整数部分，b为的小数部分，求的平方根． 28．已知的算术平方根是2，，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值． (2)求的立方根． 29．已知的立方根是，的绝对值是的整数部分是． (1)求的值； (2)求的平方根． 30．根据推理提示，回答下列问题：    即    的整数部分为1，小数部分为 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)如图所示，在数轴上点A 所表示的实数是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)，，； (2)的平方根为． 【分析】（）根据立方根，算术平方根的定义求出的，的值，再根据估算求出的值即可；代入计算即可得出答案； （）由（）中，，的值代入计算，然后根据平方根的定义即可求解； 本题考查了平方根，算术平方根，立方根概念，熟练掌握平方根，立方根概念及运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵的立方根是，是的算术平方根， ∴，， 解得：，， ∵是的整数部分，由， ∴， 综上可知：，，； （2）解：由（）得：，，， ∴， ∴的平方根为． 2．(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握乘方，立方根和算术平方根的定义是解题的关键． （1）利用立方根的定义、算术平方根的定义分别运算，再合并即可求解； （2）先计算乘方，再计算括号内的运算，按照先乘除后加减的运算顺序计算即可求解； 【详解】（1）解：（1） ； （2）解： ． 3．(1)； (2)； (3)； (4)不等式组的解集为，数轴上表示解集见解析． 【分析】（）根据二次根式的性质，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂进行化简，然后合并即可； （）根据二次根式的乘除运算法则化简，然后合并即可， （）先把方程组转化为，然后利用加减消元即可； （）先分别求两个不等式的解集，进而可得一元一次不等式组的解集，最后在数轴上表示解集即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原方程组整理得： 得：，解得：， 把代入得，解得：， ∴原方程组的解为； （4）解： 解不等式得：； 解不等式得：； ∴不等式组的解集为， 数轴上表示解集如图： 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，二次根式的性质，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，在数轴上表示解集等知识，熟练掌握掌握知识点的应用是解题的关键． 4． 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值、平方根及立方根的定义是解题的关键，原式利用平方根和立方根定义及绝对值的代数意义化简即可得到结果． 【详解】解： ． 5． 【分析】本题考查实数的混合运算．熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．先进行乘方，开方和去绝对值运算，再进行加减运算． 【详解】解： 6．(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算： （1）先计算算术平方根和乘方，再计算加减法即可； （2）先计算算术平方根和立方根，再去绝对值后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．(1)30 (2) (3)3 (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算和实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的运算顺序，先将除法转换成乘法，再进行运算即可； （3）根据实数的运算顺序，先计算二次根式和三次根式，再进行运算即可； （4）利用乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 8．(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算等知识点， （1）先将二次根式，立方根化简，再根据实数的运算法则计算即可； （2）先去绝对值符号，再根据实数的运算法则计算即可； 熟练掌握实数的运算法则是解决此题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂： （1）先计算算术平方根，立方根和乘方，再计算加减法即可得到答案； （2）先计算算术平方根和零指数幂，再去绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．(1)， (2) 【分析】本题考查无理数的估算、求代数式的值、算术平方根，根据对应方法求出、的值是解题的关键． （1）根据算术平方根的计算可得，再根据无理数的估算得到，即可解答； （2）将代入求得的值，再计算立方根即可解答． 【详解】（1）解：16的算术平方根是， ，解得， ， 的整数部分为，即； （2）解：， 的立方根为 11．(1)4， (2)15 (3) 【分析】本题考查了无理数的估算和实数的运算，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）仿照题中给出的方法估算的取值范围，即可得出其整数部分和小数部分； （2）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出a、b的值，从而计算的值； （3）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出x、y的值，从而计算出的值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴的整数部分：， ∵， ∴小数部分：， ∴． 12． 【分析】本题考查了实数的运算，原式利用算术平方根定义，立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ． 13． 【分析】本题考查了实数的混合运算，幂的运算，解题的关键是掌握相关运算．先进行开方、零指数幂，负整数指数幂的运算，绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 14．， 【分析】本题考查了整式的运算，非负数的性质等知识，先根据多项式乘以多项式法则，完全平方公式，多项式除以多项式法则等化简，然后根据非负数的性质求出x、y的值，最后代入计算即可． 【详解】解∶ ， ∵， ∴，， ∴，， ∴原式 ． 15．(1)4，5 (2)，3． (3) (4) 【分析】本题主要考查了平方和平方根估算无理数大小应用，正确的估计无理数的取值范围是解题的关键． （1）估算出的取值范围即可解答； （2）根据 (1)的结论，得到，即可解答； （3）将（2）的结论代入计算即可解答； （4）根据（2）可得，进而确定的范围即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 故答案为：4，5． （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分为，即， ∵， ∴， ∴的整数部分为3，即． 故答案为：，3． （3）解：当，时，代入， ， ∴的平方根为：． （4）解：∵， ∴，即， ∴． 故答案为： ． 16．(1)4 (2)28 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得的值的大小是解题的关键． （1）估算出和的范围，然后可求得、的值，然后再求代数式的值即可； （2）先求得的值，然后再表示出的值，最后进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ． ． （2）解：， ． 是一个整数，， ， ， ∴原式． 17．(1)4， (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的减法运算，找到无理数的整数部分是解题的关键． （1）因为，从而知道的整数部分为，用减去得到其小数部分； （2）先求得和的整数部分，再得到的小数部分，再代入求值即可． 【详解】（1）解： 的整数部分是4，小数部分是 故答案为：4， （2）解：∵ ∴的小数部分为： ∵ ∴的整数部分为： ∴ 18．(1)，，4 (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据立方根的定义求出的值，根据算术平方根的定义求出的值，利用夹逼法估算的取值范围，即可求出的值； （2）把、、的值代入计算，再求其结果的平方根即可． 【详解】（1）解：的立方根是， ， ， 的算术平方根是3， ， ， ， ， 的整数部分为4， 即； （2）由（1）得，，， ， 的平方根是， 的平方根是． 19．(1)8 (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算： （1）先估算出，再参照小明的做法求出m和n，代入计算即可； （2）先估算出，再参照小明的做法求出的整数部分和小数部分，即可求出，的值，将，的值代入中计算求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， 的整数部分为， ∴小数部分为． ，， ， 故答案为：8； （2）解：， ∴， 的整数部分为，小数部分为． ，即，其中是整数，且， ，； ∴ ， 故答案为：． 20．，，． 【分析】本题考查了算术平方根，立方根定义，估算无理数大小，能正确估算无理数大小是解题的关键．由算术平方根，立方根的定义求出，的值，再估算的大小，求出值． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是 ∴， ∵ ∴， ∵是的整数部分． ∴． 21．(1)，， (2)， 【分析】（）根据平方根的性质可求出的值，进而求出，再根据立方根的定义可求出的值； （）由（）可得，再根据夹逼法和已知条件即可求解； 本题考查了平方根，立方根及无理数的估算，掌握平方根的性质、立方根的定义及无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵正数的两个不相等的平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，为整数，， ∴， ∴． 22．(1)的小数部分为 (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，解题关键是准确理解题目给出的方法，熟练进行计算． （1）根据材料一中的方法求解即可； （2）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可． 【详解】（1）解：∵，即 ∴的整数部分为9． ∴的小数部分为； （2）解：∵面积是7的正方形的边长是，， ∴可设 画出示意图如图所示 2 x x 2 4 由图中面积计算， ∵， ∴ ∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程，解得，即． 23．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的运算，根据题意找出运算规律是解题关键． （1）根据裂项计算即可； （2）根据裂项计算即可； （3）根据裂项计算即可； （4）先去绝对值符号，再错位相减计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 24．(1)，； (2)①；②； (3)当或1时，；当时，；当时，． 【分析】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用． （1）填写表格，通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案；②根据题意可得：，可得到，进而得到答案； （3）根据的取值范围分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：根据表格可得：∵，， ∴； ∵，， ， 故答案为：；． （2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍， ∴从到被开方数扩大到原来倍， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当或1时，；当时，；当时，． 25．(1)， (2) 【分析】此题考查了实数大小比较，关键是熟练掌握作差法． （1）根据不等式的性质可解答①③，根据等式的性质可解答②； （2）根据作差法即可比较大小． 【详解】（1）解：①若，则； ②若，则； ③若，则． 故答案为：①，②； （2）解： ， ， ， ， ． 26．（1）；（2）或 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，平方根，解题的关键是能够正确得到、的值． （1）根据，可得，即可得出整数部分，从而得出其小数部分． （2）根据，可得，，即可得出两者的整数部分和小数部分，结合题意可得，，最后代入中，直接开平方即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； （2）∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是，的整数部分是，小数部分是． ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴， ． ∵， ∴， 解得，． 故满足条件的的值为或． 27． 【分析】本题考查估算无理数的大小，求算术平方根，熟知估算无理数大小的方法是解题的关键． 先计算出，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∴， ∴的平方根是． 28．(1)，， (2)2或0 【分析】本题考查的是估算无理数的大小及平方根，立方根的定义，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键． （1）先根据算术平方根的定义求出a，b的值，估算的取值范围即可得出c的值； （2）代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是2， ， ； ， ， ； ， ， ， c是的整数部分， ； （2），，， 当时，， 的立方根为2； 当时，， 的立方根为0 29．(1) (2)或 【分析】（1）由立方根定义、绝对值定义及夹逼法估算无理数方法即可得到的值； （2）由（1）中所求的，分情况代入，再由平方根定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：的立方根是，的绝对值是的整数部分是， ， ； （2）解：由（1）知， 当时，，则的平方根为； 当时，，则的平方根为； 综上所述，的平方根为或． 【点睛】本题考查立方根定义、平方根定义、绝对值定义、夹逼法估算无理数方法及代数式求值，熟记相关定义是解决问题的关键． 30．(1)2， (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，勾股定理，实数与数轴等知识． （1）根据所给的例子估计无理数的整数和小数部分即可． （2）先根据勾股定理求出圆的半径，再利用数轴上两点之间的距离即可得出A 所表示的实数． 【详解】（1）解：∵，即 ∴的整数部分是2，小数部分是． （2）解：根据题意圆的半径为：， ∴点A所表示的数为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$