第4章等差等比数列综合练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章等差等比数列综合练习 （满分150分） 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知等差数列{an}中，a4＝4，则a2+a3+a7的值是（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 2．已知数列{an}是正项等比数列，若数列{bn}满足：bn＝a2n﹣1，b2n+1＝，且a1+b2＝90，则bn＝（　　） A．32n B．32n﹣1 C．3n D．3n﹣1 3．在等比数列{an}中，a1＝2，a99是方程x2﹣10x+16＝0的两个根，则a50的值为（　　） A．10 B．16 C．±4 D．4 4．在等比数列{an}中，已知a2＝2，a4a6＝28，则公比q＝（　　） A．﹣2 B． C．2 D．±2 5．等差数列{an}前n项和为Sn，若a3＝5，则S5值为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 6．已知数列{an}满足a1＝1，，若bn＝a2n﹣1，则b4＝（　　） A．18 B．16 C．11 D．6 7．在等差数列{an}中，a1＝﹣2024，其前n项和为Sn，若，则S2024＝（　　） A．2023 B．﹣2023 C．﹣2024 D．2024 8．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533﹣1606年）所著．该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”．其意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上一层的2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”．若改为“求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有（　　）盏． A．192 B．128 C．3 D．1 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。） （多选）9．公差为d的等差数列{an}，其前n项和为Sn，S11＞0，S12＜0，下列说法正确的有（　　） A．d＞0 B．a7＞0 C．{Sn}中S6最大 D．|a4|＜|a9| （多选）10．记Sn为数列{an}的前n项和，以下命题是真命题的是（　　） A．{an}是等差数列，则m+n＝p+q的充要条件为am+an＝ap+aq B．{an}是等比数列，则m+n＝p+q的充要条件为am+an＝ap+aq C．{an}是等差数列的充要条件为{}是等比数列 D．{an}是等差数列的充要条件为为等差数列 （多选）11．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1＞0，S10＝S20，则成立的是（　　） A．d＞0 B．Sn的最大值是S15 C．a16＜0 D．当Sn＜0时，n最大值为32 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．在正项等比数列{an}中，a52+2a6a8+a92＝100，则a5+a9＝　 　． 13．在正项等比数列{an}中，若a4a8＝2，则log2a2+log2a10＝　 　． 14．在等差数列{an}中，a2a4＝5，且﹣＝10，则﹣＝　 　． 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（13分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a12＞0，a5+a11＜0，当Sn取得最大值时，求n的值． 16．（15分）Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a7＝1，S4＝﹣32． （1）求数列{an}的通项公式． （2）求Sn，并求Sn的最小值． 17．（15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝5，a5＝11． （1）求{an}的通项公式； （2）若Sn＝120，求n． 18．（17分）已知各项均为正数的等比数列{aa}前n项和为Sn，且S3＝7，a5＝3a3+4a1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若Sn＝511，求n． 19．（17分）设等比数列{an}满足a1+a2+a3＝39，a4﹣a1＝78． （1）求{an}的通项公式； （2）记，若bm+21＝bm+bm+5，求m． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章等差等比数列综合练习 （满分150分） 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知等差数列{an}中，a4＝4，则a2+a3+a7的值是（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解． 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d， 则a2+a3+a7＝3a1+9d＝3（a1+3d）＝3a4＝12． 故选：C． 【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题． 2．已知数列{an}是正项等比数列，若数列{bn}满足：bn＝a2n﹣1，b2n+1＝，且a1+b2＝90，则bn＝（　　） A．32n B．32n﹣1 C．3n D．3n﹣1 【分析】设出等比数列的公比，写出通项公式，通过bn＝a2n﹣1，，求出首项与公比，即可得到结果． 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），所以． 则由已知，得当n＝1时，由，可得； 当n＝3时，由bn＝a2n﹣1，可得b3＝a5，所以，即，解得， 所以，则， 解得q＝3，所以，所以． 故选：A． 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力，是中档题． 3．在等比数列{an}中，a1＝2，a99是方程x2﹣10x+16＝0的两个根，则a50的值为（　　） A．10 B．16 C．±4 D．4 【分析】根据一元二次方程根与系数关系，结合等比数列的下标性质进行求解即可． 【解答】解：依题意，得a1•a99＝16，而，所以a50＝±4． 故选：C． 【点评】本题主要考查了等比数列性质的应用，属于基础题． 4．在等比数列{an}中，已知a2＝2，a4a6＝28，则公比q＝（　　） A．﹣2 B． C．2 D．±2 【分析】根据{an}是等比数列可得a4a6＝a2q2a2q4＝28，结合a2＝2即可求出q值． 【解答】解：由{an}是等比数列，得a4a6＝a2q2a2q4＝28， 又a2＝2，所以22q6＝28，即q6＝26， 所以q＝±2． 故选：D． 【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查学生的逻辑推理和数学运算的能力，属于基础题． 5．等差数列{an}前n项和为Sn，若a3＝5，则S5值为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 【分析】根据等差数列的性质求出S5的值即可． 【解答】解：等差数列{an}前n项和为Sn， 若a3＝5，则S5＝＝5a3＝25， 故选：C． 【点评】本题考查了等差数列的性质，考查转化思想，是基础题． 6．已知数列{an}满足a1＝1，，若bn＝a2n﹣1，则b4＝（　　） A．18 B．16 C．11 D．6 【分析】分奇偶依次代入递推公式，即可求得答案． 【解答】解：b4＝a7＝a6+2＝（a5+3）+2＝a5+5＝（a4+2）+5＝a4+7＝（a3+3）+7＝a3+10＝（a2+2）+10＝a2+12＝（a1+3）+12＝1+15＝16． 故选：B． 【点评】本题考查数列递推关系的运用，考查运算求解能力，属于基础题． 7．在等差数列{an}中，a1＝﹣2024，其前n项和为Sn，若，则S2024＝（　　） A．2023 B．﹣2023 C．﹣2024 D．2024 【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解． 【解答】解：由等差数列的前n项和的性质可知，数列也为等差数列，设其公差为d， ＝2d，解得d＝1， ∵a1＝﹣2024， ∴， ∴，解得S2024＝﹣2024． 故选：C． 【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题． 8．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533﹣1606年）所著．该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”．其意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上一层的2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”．若改为“求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有（　　）盏． A．192 B．128 C．3 D．1 【分析】根据题意，转化为等比数列，利用通项公式和求和公式进行求解． 【解答】解：设这个塔顶层有x盏灯，则问题等价于一个首项为x，公比为2的等比数列的前7项和为381， 所以，解得x＝3， 所以这个塔的最底层有3×27﹣1＝192盏灯． 故选：A． 【点评】本题主要考查等比数列的前n项和公式，属于基础题． 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。） （多选）9．公差为d的等差数列{an}，其前n项和为Sn，S11＞0，S12＜0，下列说法正确的有（　　） A．d＞0 B．a7＞0 C．{Sn}中S6最大 D．|a4|＜|a9| 【分析】利用等差数列性质结合给定条件可得a6＞0，a6+a7＜0，再逐项分析判断作答． 【解答】解：由，得a6＞0， 又，得a6+a7＜0， ∴a6＞0，a7＜0，d＜0， ∴数列{an}是递减数列，其前6项为正，从第7项起均为负数，因此前六项和最大， ∴a4＞0，a9＜0，|a4|﹣|a9|＝a4+a9＝a6+a7＜0，即|a4|＜|a9|， 故A，B错误；C，D正确． 故选：CD． 【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题． （多选）10．记Sn为数列{an}的前n项和，以下命题是真命题的是（　　） A．{an}是等差数列，则m+n＝p+q的充要条件为am+an＝ap+aq B．{an}是等比数列，则m+n＝p+q的充要条件为am+an＝ap+aq C．{an}是等差数列的充要条件为{}是等比数列 D．{an}是等差数列的充要条件为为等差数列 【分析】利用等差数列、等比数列知识，结合充分条件、必要条件的定义逐项判断即得． 【解答】解：对于A，取等差数列{an}的通项为an＝1，对任意的正整数m，n，p，q，均有am+an＝2＝ap+aq， 此时m+n＝p+q不一定成立，A错误； 对于B，取等比数列{an}的通项为an＝1，对任意的正整数m，n，p，q，均有am+an＝2＝ap+aq， 此时m+n＝p+q不一定成立，B错误； 对于C，{an}是等差数列，则an+1﹣an＝d0，d0为常数，于是是常数， 因此{}是等比数列，则为常数， 令，于是an+1﹣an＝d1为常数，{an}是等差数列， 所以{an}是等差数列的充要条件为{}是等比数列，C正确； 对于D，{an}是等差数列，令公差为d，则，即有， 于是，数列为等差数列， 反之，为等差数列，令公差为d′，则，Sn＝na1+n（n﹣1）d′， 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝a1+2（n﹣1）d′，当n＝1时，a1＝S1满足上式， 于是an＝a1+2（n﹣1）d′，显然an+1﹣an＝2d′为常数，因此{an}是等差数列， 所以{an}是等差数列的充要条件为为等差数列，D正确． 故答案为：CD． 【点评】本题主要考查了等差数列性质的综合应用，属于中档题． （多选）11．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1＞0，S10＝S20，则成立的是（　　） A．d＞0 B．Sn的最大值是S15 C．a16＜0 D．当Sn＜0时，n最大值为32 【分析】根据题意，设等差数列{an}的公差为d，结合等差数列的前n项和公式和等差数列的性质，即可依次求解． 【解答】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d， 依次分析选项： 对于A，由S10＝S20，得10a1+45d＝20a1+190d，即2a1+29d＝0， 又a1＞0，所以d＜0，故A错误； 对于B和C，由2a1+29d＝0，得a1+14d+a1+15d＝0，即a15+a16＝0， 所以a15＞0，a16＜0，故C正确； 由于d＜0，则{an}是递减数列，故n≤15时，an＞0，当n≥16时，an＜0，故Sn的最大值是S15，故B正确； 对于D，等差数列{an}中，S31＝＝31a16＜0，故D错误． 故选：BC． 【点评】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的前n项和，属于基础题． 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．在正项等比数列{an}中，a52+2a6a8+a92＝100，则a5+a9＝　10　． 【分析】根据题意，由等比数列的性质可得a6a8＝a5a9，将其代入a52+2a6a8+a92＝100，变形可得答案． 【解答】解：根据题意，正项等比数列{an}中，a6a8＝a5a9， 则a52+2a6a8+a92＝a52+2a5a9+a92＝（a5+a9）2＝100， 则a5+a9＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查等比数列的性质，注意等比数列性质的应用，属于基础题． 13．在正项等比数列{an}中，若a4a8＝2，则log2a2+log2a10＝　1　． 【分析】根据题意，由对数的运算性质和等比数列的性质可得log2a2+log2a10＝log2（a2a10）＝log2（a4a8），进而计算可得答案． 【解答】解：根据题意，正项等比数列{an}中，若a4a8＝2， 则log2a2+log2a10＝log2（a2a10）＝log2（a4a8）＝log22＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，属于基础题． 14．在等差数列{an}中，a2a4＝5，且﹣＝10，则﹣＝　　． 【分析】直接利用等差数列的通项展开求解即可． 【解答】解：因为，即（a1+a5）（a1﹣a5）＝（a2+a4）（﹣4d）＝10， 整理得， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式的运用，是基础题． 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（13分设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a12＞0，a5+a11＜0，当Sn取得最大值时，求n的值．． 【分析】根据等差数列项的性质，判断a7＞0且a8＜0，由此得出结论． 【解答】解：等差数列{an}中，a3+a12＞0，a5+a11＜0， 即， 所以， 所以a7＞0且a8＜0， 所以n＝7时，Sn取得最大值． 故答案为：7． 【点评】本题考查了等差数列的性质，以及等差数列的单调性应用问题，是基础题． 16．（15分）Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a7＝1，S4＝﹣32． （1）求数列{an}的通项公式． （2）求Sn，并求Sn的最小值． 【分析】（1）由等差数列{an}的通项公式和前n项和列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{an}的通项公式． （2）求出Sn＝n2﹣12n＝（n﹣6）2﹣36．从而n＝6时，Sn的最小值为﹣36． 【解答】解：（1）∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a7＝1，S4＝﹣32． ∴， 解得a1＝﹣11，d＝2， ∴数列{an}的通项公式an＝﹣11+（n﹣1）×2＝2n﹣13． （2）Sn＝×2＝n2﹣12n＝（n﹣6）2﹣36． ∴n＝6时，Sn的最小值为﹣36． 【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 17．（15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝5，a5＝11． （1）求{an}的通项公式； （2）若Sn＝120，求n． 【分析】（1）利用等差数列通项公式列方程组，求出a1＝3，d＝2，由此能求出{an}的通项公式； （2）由Sn＝120，利用等差数列前n项和公式列方程，能求出结果． 【解答】解：（1）等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝5，a5＝11． ∴， 解得a1＝3，d＝2， ∴{an}的通项公式an＝3+（n﹣1）×2＝2n+1； （2）∵Sn＝120，∴Sn＝3n+＝n2+2n＝120， 解得n＝10或n＝﹣12（舍）， 故n＝10． 【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 18．（17分）已知各项均为正数的等比数列{aa}前n项和为Sn，且S3＝7，a5＝3a3+4a1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若Sn＝511，求n． 【分析】（1）由已知结合等比数列的通项公式可求q，a1，然后结合等比数列的通项公式可求； （2）利用等比数列的求和公式即可直接求解． 【解答】解：（1）各项均为正数的等比数列{an}中，S3＝7，a5＝3a3+4a1， ，解得q＝2，a1＝1， 数列{an}的通项公式an＝2n﹣1； （2）Sn＝＝511， 则n＝9． 【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式，考查了数学运算的核心素养，属于基础题． 19．（17分）设等比数列{an}满足a1+a2+a3＝39，a4﹣a1＝78． （1）求{an}的通项公式； （2）记，若bm+21＝bm+bm+5，求m． 【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，由题意得，求出a1，q，即可得出答案； （2）由（1）得an＝3n，可得bn＝，由题意可得关于m的方程，求解即可得出答案． 【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q， ∵a1+a2+a3＝39，a4﹣a1＝78， ∴，解得， ∴等比数列{an}的通项公式为an＝3•3n﹣1＝3n； （2）由（1）得an＝3n，又＝， ∴，，，其中m≥0， ∵bm+21＝bm+bm+5，即， ∴3m2+52m﹣256＝（3m+64）（m﹣4）＝0，解得m＝4或（舍去）， 故m＝4． 【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查方程思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/19 16:49:33；用户：聂本芝；邮箱：276867051@qq.com；学号：20921246 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$