精品解析：安徽省五校联考2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

颍上一中 蒙城一中 淮南一中 怀远一中 涡阳一中 2025届高三第一次五校联考 数学试题 命题学校：怀远一中 考试时间：2024年11月15日 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将答题卡上项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集与交集的定义，可得答案. 【详解】由题意可得，. 故选：C. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算律和坐标表示建立关于x的方程，解之即可求解. 【详解】由，得，即， 又， 所以，即， 解得. 故选：D 3. 阅读下段文字：已知“为无理数，若为有理数，则存在无理数，，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（ ） A. 是有理数 B. 存在无理数，，使得为有理数 C. 是无理数 D. 对任意无理数，，都有为无理数 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断选项. 【详解】这段文字中，没有证明是有理数的条件， 也没有证明是无理数的条件，故AC错误； 这段文字，都说明了结论“存在无理数，使得为有理数”， 因此这段文字可以证明此结论，故B正确； 这段文字中只提及存在无理数，不涉及对任意无理数都成立的问题，故D错误. 故选：B 4. 由，可求得的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式以及二倍角的正弦公式化简可得出关于的二次方程，结合可得出的值. 【详解】因为， 又因为，则， 因为，， 则， 所以，，解得， 故选：B. 5. 已知且，函数，若存在，，使，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，结合函数的单调性得到不等式，解得即可. 【详解】当时单调递增，也单调递增， 要使存在，，使，只需，即，不等式无解； 当时单调递减，也单调递减， 要使存在，，使，只需， ，所以，解得， 即的取值范围是. 故选：A 6. 已知复数是关于的方程的一个根，若复数满足，复数在复平面内对应的点的集合为图形，则得周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，进而确定图形并求其周长. 【详解】由复数是关于的方程的一个根，得是该方程的另一根， 则，解得， 由，得，因此图形是以点为圆心，4为半径的圆， 所以得周长为. 故选：D 7. 逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在三处测得道路一侧山顶的仰角分别为，其中，则此山的高度为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据锐角三角函数可得，进而根据余弦定理即可求解. 【详解】解：如图，设点在地面上的正投影为点， 则，, 设山高，则， 在中，， 由余弦定理可得：， 整理得， ∴． 故选：D． 8. 若是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的性质、函数的定义域分析，求出的值，又由，求出的值，计算可得答案. 【详解】根据题意，已知是奇函数， 当时，， 函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 此时，函数一定不是奇函数，故， 则有，且，变形可得， 所以的根为，解可得，故， 又因为为奇函数，则有， 即， 即，所以， 即，故. 所以. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的概念判断A，由复数的几何意义判断B，通过复数的运算判断CD． 【详解】的虚部是，A错； ， 对应的点是在轴上，B错； ，所以，C正确； ，所以，D正确． 故选：CD． 10. 从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示（均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型）： 记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则（ ） A. 体力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的 B. 第462天时，智力曲线处于上升期、情绪曲线处于下降期 C. 智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点 D. 存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点 【答案】BC 【解析】 【分析】观察图象，结合正弦函数周期判断． 【详解】由图象，体力的最小正周期是三个曲线中最小的，A错； 由图象，智力周期为33天，情绪周期为28天，相当于的起点，，相当于的中间点，B正确； 体力周期是23，只要是的公倍数都是它们的公共点横坐标，C正确； 智力曲线处于最高点的天数为，情绪曲线处于最高点的天数为，体力曲线处于最高点的天数为，只有情绪曲线是整数天处于最高点，另外两个曲线处于最高点的天数都不是整数，同样最低点也是如此，因此D错． 故选：BC． 11. 已知函数，，，，且，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，利用导数结合函数图象推理判断BD；构造函数，利用导数结合函数图象推理判断AC. 【详解】依题意，，由，得， 则， 显然，有，而， 当时，在上递增；当时，在上递减， 函数，图象如图所示， ，得，BD正确； 令，则， 当时，在上递减；当时，在上递减； 因此当时，单调递减，当时，， 即，又，则，即，A正确； 而，则，即，C错误. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：由函数解析式的特征得出是解决本题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 平面四边形中，，，，，则______. 【答案】58 【解析】 【分析】由，两式相减得出． 【详解】, 又,， 所以， 所以， 故答案为：58． 13. 设函数，的图象关于直线和均对称，则的值可以是______．（写出两个值即可，少写或写错均不得分，如果多写按前两个值计分） 【答案】（答案不唯一，中的任意两个） 【解析】 【分析】利用正弦函数的性质可得，再利用和角的正弦可得，进而求出其所有值即得答案. 【详解】函数的周期，依题意，，即， 由的图象关于直线，得， 因此 ，的值是集合中元素，可以取. 故答案为：，（答案不唯一， 中的任意两个） 14. 定义在上的函数满足，当时，，若在区间内有恰4个极大值点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得当时，利用导数讨论的单调性，求出极大值点，结合即可求解. 【详解】, 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在内有且仅有一个极大值点， 即. 因为在内有4个极大值点，则， 即的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据时的，归纳出时的，再利用导数研究的性质即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点． （1）令，，用，表示； （2）求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算求解； （2）利用三点共线，三点共线，求得，同时证明是等边三角形，然后把平方可得． 【小问1详解】 ∵，分别为，的中点， ∴； 【小问2详解】 设， ∵，分别为，的中点， 所以， 因为三点共线，三点共线， 所以，解得， 即， 由已知与平行且相等，因此是平行四边形， 所以，是等边三角形， 所以． 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求在上的值域． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图求出解析式. （2）求出指定区间对应的相位范围，再结合正弦函数性质求出值域. 【小问1详解】 观察图象知，，，即，又，且0在的递增区间内， 则，，由，得， 解得，又且，解得，因此， 所以函数的解析式是. 【小问2详解】 由（1）知，，当时，， 而正弦函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，， 所以在上的值域为. 17. 已知函数，． （1）函数在处与处的切线分别为，，且直线，之间的距离为，求证； （2）若为空集，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：由已知，， ，，，则， 方程为，即， 方程为，即， 则， 要证，即证，即证，即，也即证， 而， 所以成立． （2）， 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求得两切线方程，由平行线间距离公式求得距离，然后用分析法证明； （2）转化为方程除0以外无其它实数解，先讨论和的情形，然后在时引入函数，求出，再对导函数求导，然后分和两类，结合零点存在定理说明是否有0以外的零点，从而得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意无实解，即无实数解，即除0以外无其它实数解， 时，方程为有无数解，不合题意， 时，，而，且时，，因此方程除0以外无其它实数解，满足题意， 时，方程化为， 设，则， 记，则， 当，即时，，是减函数，即是减函数， 又，所以时，，递增，时，，递减， 所以，时，， 所以方程除0以外无其它实数解，满足题意， 当时，有无数解，设锐角是它的解，则， 时，，递增， 又，则时，则，即， 所以递增，而，所以，又， 所以在上有一个零点，即有不是0的根，不合题意， 综上，取值范围是. 18. 在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，．若，且. （1）求； （2）求的最大值； （3）求实数的取值范围，使得对任意实数和任意角，恒有． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正、余弦定理可得，结合同角的平方关系计算即可求解； （2）由（1）得，进而，结合基本不等式计算即可求解； （3）由二次函数的最小值可得，进而转化为①或②，结合基本不等式与对勾函数的性质计算即可求解. 【小问1详解】 由题意知，，， 则，即， 又，所以，由， 得，由正弦定理得， 由，得，即，又， 所以，由，解得. 【小问2详解】 由（1）知，得， 所以，即，又为锐角， 所以，得， 当且仅当时，等号成立. 解得，所以， 即的最大值为； 【小问3详解】 令 ， 当时， ， 由，得， 进而①或②， 因为，所以， 由①得，即， 又， 当且仅当即时，等号成立， 所以； 由②得，即， 由对勾函数的性质知，所以. 综上，实数的取值范围为. 19. 已知函数定义域为，．若存在，对任意，当时，都有，则称为在上的“点”． （1）求函数在定义域上的最大“点”； （2）若函数在上不存在“点”，求的取值范围； （3）设，且，，证明：在上的“点”个数不小于． 【答案】（1）0； （2）； （3）证明：若在上的"点"个数为0，则，符合要求； 若在上的"点"个数为， 令在上的"点"分别为， 其中， 若，则若，由， 则，即， 若，由题意， 于是，即，又，则，符合要求； 若，则， 由，则， 若，即，则，若， 依题意，，且， 又，因此， 即，， 即有， 即， 由，得，又，因此， 即在上的"点"个数不小于， 所以在上的"点"个数不小于. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再求出其最大值点即可得解. （2）根据给定条件，将问题等价转化为在上恒成立，再利用导数分类探讨求解. （3）根据给定的定义，按“点”个数为0、为1、不小于2分类，并结合累加法思想论证即可. 【小问1详解】 函数的定义域为R， 则，由，得， 令，解得；令，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 即对，当时，都有， 所以函数在定义域上的最大“”点为0. 【小问2详解】 由函数在上不存在"点"，得在上恒成立， 求导得，令， 求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递减， 则， 因此函数在上单调递减，，符合要求； 当时，令，则， ①当，即时，，即在上单调递增， 则，函数在上单调递增，，不符合要求； ②当，即时，恒成立，函数在上单调递减， 则，函数在上单调递减，此时，符合要求； ③当，即时，若，若， 函数在上单调递减，在上单调递增，而， 若，则在上恒成立，在上单调递减，此时， 若，则存在，使得，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则要恒成立，只需，解得， 由，得， 由，得， 即当时，符合要求， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第2问，根据题意将问题等价转化为在上恒成立是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 颍上一中 蒙城一中 淮南一中 怀远一中 涡阳一中 2025届高三第一次五校联考 数学试题 命题学校：怀远一中 考试时间：2024年11月15日 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将答题卡上项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 阅读下段文字：已知“为无理数，若为有理数，则存在无理数，，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（ ） A. 是有理数 B. 存在无理数，，使得为有理数 C. 是无理数 D. 对任意无理数，，都有为无理数 4. 由，可求得的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知且，函数，若存在，，使，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知复数是关于的方程的一个根，若复数满足，复数在复平面内对应的点的集合为图形，则得周长为（ ） A. B. C. D. 7. 逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在三处测得道路一侧山顶的仰角分别为，其中，则此山的高度为（　　） A. B. C. D. 8. 若是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 10. 从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示（均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型）： 记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则（ ） A. 体力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的 B. 第462天时，智力曲线处于上升期、情绪曲线处于下降期 C. 智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点 D. 存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点 11. 已知函数，，，，且，，若，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 平面四边形中，，，，，则______. 13. 设函数，的图象关于直线和均对称，则的值可以是______．（写出两个值即可，少写或写错均不得分，如果多写按前两个值计分） 14. 定义在上的函数满足，当时，，若在区间内有恰4个极大值点，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点． （1）令，，用，表示； （2）求线段的长． 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求在上的值域． 17. 已知函数，． （1）函数在处与处的切线分别为，，且直线，之间的距离为，求证； （2）若为空集，求实数的取值范围． 18. 在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，．若，且. （1）求； （2）求的最大值； （3）求实数的取值范围，使得对任意实数和任意角，恒有． 19. 已知函数定义域为，．若存在，对任意，当时，都有，则称为在上的“点”． （1）求函数在定义域上的最大“点”； （2）若函数在上不存在“点”，求的取值范围； （3）设，且，，证明：在上的“点”个数不小于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $