2024年九年级苏科版中考数学几何模型专题八：相似三角形中的模型（一）

编号： 12 学生姓名： 年 级： 九年级 辅导科目：数学 课题 相似三角形专题 教学内容 【模型预览】 模型1：“A字”模型 模型2：“8字”模型 模型3：“一线三等角”模型 模型1：“A字”模型 “A字”模型为中考的高频考查模型，总结如下: 考法 图形背景 考查题型 解题原理 考法1 正“A字”型 三角形(33次)、正方形(10次)、矩形(7次)、菱形(8次)、平行四边形(4次)、一般四边形(4次)、圆(25次),图形如下: 1.常在选择或填空的中档题考查求线段长、线段比值、面积比值; 2.在多结论判断题中涉及; 3.在解答题考查: (1)几何证明与计算题中涉及; (2)二次函数综合题中,三角形相似存在性中涉及 先识别模型,找到三角形和三角形中与边平 行的直线,得到角相等后利用三角形相似进 行相关计算 考法2 斜“A字”型 三角形(37次)、正方形(2次)、矩形(7次)、菱形(2次)、平行四边形(2次)、一般四边形(2次)、圆(33次),图形如下: 1.常在选择或填空的中档题考查求线段长、线段比值; 2.在解答题中考查用相似的方法进行相关证明与计算 先识别模型,找到公共角,再判断两个三角形 中是否存在另外一组相等的角,利用三角形 相似进行相关计算;特别注意的是,圆中含有 特殊的 90°角 【模型展现】 类型 正“A字”型 图示 条件 DE∥BC 结论 △ADE∽△ABC 基础模型 结论分析 证法2:当时，△ADE∽△ABC. 结论:△ADE∽△ABC 自主证明: 证明:证法1:∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC,∠AED＝∠ACB, ∴△ADE∽△ABC. 模型拓展 拓展方向:由正“A字”型向斜“A字”型拓展 类型 斜“A字”型(共角) 斜“A字”型(共角共边) 图示 条件 在△ABC中,点D是AB上的点,点E是AC上的点,∠AED=∠ABC或∠ADE=∠ACB 在△ABC中,点D是AB上的点,∠ACD=∠ABC或∠ADC=∠ACB 结论 △ADE∽△ACB △ADC∽△ACB 【模型解题三步法】 例1 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若AE＝2ED，则FD:FC的值为______. 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上的点，DE⊥AB交AC于点E，AD＝4，AE＝5，AB＝10，则BC的长为_____. 【题以类解】 1.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE，且DE∥BC，若AD＝3，AB＝4， S四边形DECB＝14，则S△ABC＝ A.50 B.40 C.32 D.26 2.如图，在四边形ABCD中，点E是BC的中点，连接AC,DE,交于点F,且∠AFD＝∠B.若CE ＝2，AC＝5，则下列结论正确的是（ ） A.AB:EF＝5:3 B.S△CEF：S△CAB＝4:5 D.△CEF∽△CAB 3.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，若AC＝2，，则⊙O的半径为（ ） 4.如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC于点D,正方形EFGH内接于△ABC,点H,G在边BC上,点E,F分别在边AB和AC上.若AD ＝5cm,BC＝10cm,则正方形EFGH的边长为_____cm. 5.（模型叠加）在矩形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC上的一点，AB＝8，∠FED＝30°，∠FDE＝45°，则BC的长度为______. 6.如图，E是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接BE,DE,CE＝DE. （1）求证:∠DEB＝2∠DAB; （2）求证:BC2＝CE·AC. 7.（模型迁移）如图，抛物线y＝-x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，6）. （1）求抛物线的解析式; （2）在x轴上有一动点P（m，0）（点P不与点A，点O重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点M.若PN:MN ＝1:3，求m的值. 模型2：“8字”模型 “8字”模型为中考的高频考查模型，总结如下: 考法 图形背景 考查题型 解题原理 考法1 正“8 字“型 三角形(24次)、正方形(10次)、矩形(15次)、菱形(5次)、平行四边形(7次)、一般四边形(2次)、圆(3次)、二次函数图象(4次),图形如下: 1.常在选择或填空题考查多结论判断、求点坐标、求线段长、线段比值、周长比、面积、面积比值; 2.在解答题考查: (1)求线段、面积; (2)考查模型的证明; (3)与尺规作图结合; (4)以实际问题为背景考查; (5)在二次函数综合题中涉及 先识别模型,找到一组含对顶角,利用平行性质得到角相等,求得三角形相似,再利用相似三角形的性质解题,需注意特殊四 边形本身含有平行线 考法2 斜“8 字“型 三角形(6次)、矩形(4次)、平行四边形(1次)、一般四边形(1次)、圆(10次),图形如下: 先识别模型,找到含一组对顶角,且另一组对角相等的三角形,求得相似, 再利用相似三角形的性质解题 【模型展现】 基础模型 类型 正“8字”型 图示 条件 AC与BD交于点O，AB∥CD（或一组内错角相等） 结论 △AOB∽△COD 结论分析 结论:△AOB∽△COD 证明:∵AB∥CD,∴∠OAB＝∠OCD, ∵∠AOB＝∠COD,∴△AOB∽△COD. 模型拓展 拓展方向:由正“8字”型向斜“8字”型拓展 类型 斜“8字”型(蝴蝶型) 斜“8字”型(燕尾型) 图示 条件 AC与BD交于点O,∠A=∠D(或∠B=∠C) B,D分别是边AE,CE上一点,AD与BC相交于点F,∠A=∠C(或∠ABF=∠CDF) 结论 △AOB∽△DOC △ABF∽△CDF 【模型解题三步法】 例1 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE交对角线AC于点F.若CF＝4，则AF的长为（ ） A.4 B.6 C.8 D.10 例2 如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,与CD相交于点F.若∠ABE＝30°,，则的值为（ ） 【题以类解】 1.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE并延长，交BC的延长线于点F,若∠A＝∠F,CE＝2DE,BF＝8,AB＝6,则AD的长为（ ） B.2 D.3 2.如图，正方形ABCD的边长为5，正方形EF GC的边长为3，点B，C，G在一条直线上.连接BF，则图中阴影部分的面积为（ ） 3.（模型叠加）如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC的三等分点，且靠近点C，BE交AD于点F,若AB＝3,BC＝4,则△DEF面积的最大值是（ ） A.2 B.1 4.如图，在△ABC中，延长CA到点D，延长BA到点E，连接CE， BD,点F是BC边上一点,连接AF,若AF∥DB∥CE,且BD＝5cm,CE＝8cm,则S△DBA：S△CEA＝_____,AF＝_____. 5.（模型构造）如图，AB是半圆O的直径，C是AB的中点,连接AC,BC,E是AC的中点,连接EA,EB,EB与AC交于点F,则的值为______. 6.（模型迁移）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝-x2+bx+c与x轴交于A（-3，0）， B两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC. （1）求抛物线的表达式; （2）点D是直线AC上方抛物线上一点，连接OD,CD,OD交AC于点F,若S△COF:S△CDF＝3:2，求点D的坐标. 模型3：“一线三等角”模型 “一线三等角”模型为中考的高频考查模型，总结如下: 考法 图形背景 考查题型 解题原理 考法1 从复杂图形中抽离 “一线三等角“模 型,进行相关证明或 计算 三角形(2次)、正方形(4次)、矩形(10次)、 一般四边形(2次)、圆(4次),图形如下: 1.在选择或填空题考查多结论判断及长度的计算; 2.在解答题考查: (1)相似三角形的证明及角度、线段长、线段比值的计算; (2)结合动点,求动点运动路径长 根据“一线三等角“模型的特征,找出模型,根据 等角代换得到一组等角,再用“两组对角相等“或“两组对应边成 比例及其夹角相等“判定三角形相似,从而进行 相关证明或计算 考法2 添加辅助线构造“一线 三等角“模型,进 行相关证明或计算 三角形(2次)、六边形(1次)、反比例函数图 象(1次)、二次函数图象(8次),正方形(2次)、圆(1次),图形如下: 1.在选择题考查求线段长、线段比值; 2.在解答题考查相似的证明与求线段长 可通过不重合端点所在的两条直线向重合端点所在的直线作辅助线构造等角,得到完整的“一线三等角“模型,从而进行相关证明或计算 【模型展现】 类型 同侧一线三等角 异侧一线三等角 图示 锐角一线三等角 锐角一线三等角 一线三垂直 一线三垂直 钝角一线三等角 钝角一线三等角 条件 两个三角形在直线同侧,点P在线段AB上,∠1=∠2=∠3 两个三角形在直线异侧,点P在AB的延长线上,∠1=∠2=∠3(∠1,∠2居两,∠3跨中间) 结论 △CAP∽△PBD △CAP∽△PBD 基础模型 结论分析 结论:异侧一线三等角:△CAP∽△PBD 结论:同侧一线三等角:△CAP∽△PBD 自主证明: 证明:∵∠CPB是△ACP的外角， ∴∠CPB＝∠1+∠C， 即∠2+∠BPD＝∠1+∠C， 又∵∠1＝∠2， ∴∠BPD＝∠C. ∵∠1＝∠3， ∴△CAP∽△PBD. 模型拓展 拓展方向:由一线三垂直的一般情况到特殊情况 图示 条件 ∠1=∠2=∠3=90° 结论 △ACP∽△BED 【模型解题三步法】 例1 如图，在等边△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，将直线AD绕点D逆时针旋转60°，与AB边交于点E，若CD＝1，，则△ABC的周长为（ ） A.8 B.9 C.10 D.11 第一步:找模型 第二步:抽离模型 第三步:用模型 一线:哪条线上有三个角: 线段BC △BED∽△CDA 三等角:哪三个相等的角: ∠B＝∠ADE＝∠C 2.如图，在@ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，点E是AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC边于点F，且∠EFD＝60°，则AE的长为 . 第一步:找模型 第二步:抽离模型 第三步:用模型 一线:线段EF，DF重合端点F所在的直线 延长FC至点G，连接DG， 等角:与线段EF，DF三个端点中的两 使∠G＝60° △BEF∽△GFD 个端点所组成的角中的相等角，∠EBF＝∠EFD 缺少:一角，在重合端点F的右侧 【题以类解】 1.如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B落在AD边上的点F处.若AE＝4,CD＝9,则DF的长度为（ ） A.10 B.11 C.12 D.13 2.如图，△ABC和△AED均为等腰直角三角形，点D在BC边上，AB与DE交于点F，若，BD＝1，则BF的长为（ ） B.1 D.4 3.如图，在四边形ABCD中，AD＝4，AB＝10，点E是AB的中点，连接DE，CE，若∠A＝∠B＝ ∠DEC，则的值为（ ） 4.（模型构造）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，连接AC，分别过点A，C作⊙O的切线交于点D，若AB＝3，BC＝1，则△ACD的面积为_____. 5.（模型构造）如图，在平面直角坐标系中， 0为坐标原点，正比例函数的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点A.点B在x轴上，且OA＝BA，反比例函数图象上有一点C，且∠ABC＝90°，则点C的坐标为______. 6.（模型迁移）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（-3，0）、B，与y轴交于点C（0， -3）. （1）求抛物线的解析式; （2）直线y＝x+3交抛物线于第一象限的点M，若N是抛物线y＝x2+bx+c上一点，且∠MAN＝∠OCB,求点N的坐标. 20 1 学科网（北京）股份有限公司 $$