精品解析：江苏省连云港市新海实验中学2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试卷

新海实验中学2024-2025学年度第一学期期中考试八年级数学试题 （考试时间：100分钟 试卷分值：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题的四个选项中，只有一个选项是正确的．请将答案填涂到答题纸相应位置上） 1. 以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理逆定理，即较小两边的平方和等于最大边的平方，这个三角形就是直角三角形，据此逐项分析即可判断． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：A． 3. 如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么x的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质．根据全等三角形对应角相等，可以求得的值． 【详解】解：图中的两个三角形是全等三角形， ∴两个三角形中边长为4和7的边的夹角相等， ∴， 故选：D． 4. 如图，在中，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．根据线段垂直平分线的性质得出，结合等边对等角即可得出． 【详解】解：∵的垂直平分线l交于点D， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选A． 5. 下列说法错误的是（ ） A. 有一个内角是的等腰三角形是等边三角形 B. 角平分线上的点到角两边的距离相等 C. 等腰三角形的角平分线、中线、高线三线合一 D. 轴对称图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质．利用等腰三角形、角平分线的性质判断A、B，利用等腰三角形的性质判断C，利用轴对称的性质判断D． 【详解】解：有一个角是的等腰三角形是等边三角形，说法正确，故选项A不合题意； 角平分线上的点到角两边的距离相等，说法正确，故选项B不合题意； 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线三线合一，原说法错误，故选项C符合题意． 轴对称图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，说法正确，故选项D不合题意． 故选：C． 6. 如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯外壁点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁与C相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理．掌握两点之间线段最短和勾股定理的应用是解题关键．将圆柱形玻璃杯侧面展开，连接．结合两点之间线段最短可知长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离．再根据勾股定理求出长即可． 【详解】解：将圆柱形玻璃杯侧面展开，如图，连接． ∴． 根据两点之间线段最短可知长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离． ∵高为，底面周长为， ∴，， ∴． 故选B． 7. 某中学开展以“杭州亚运会”为主题的学科活动，要求设计几何图形作品来表达对亚运会的祝福．小冬以长方形的四条为边分别向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若长方形的相邻两边之差为6，且四个正方形的面积和为100，则长方形的面积是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景．设，，由相邻两边之差为6，且四个正方形的面积和为100，根据完全平方公式得出，进一步计算即可求解． 【详解】解：解：设，， 由相邻两边之差为6，且四个正方形的面积和为100， 可得，，， 即①，②， 由①得，③， ③②得 ， 所以， 即长方形的面积为7， 故选：A． 8. 如图，在中，和的平分线，相交于，交于，交于，过点作于，下列结论中：①；②当时，；③；④若，，则，正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理即可判断①正确；在上取一点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断②正确；假设，过点作于点，作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，则，由此即可判断③错误；过点作于点，作于点，连接，根据和可得，由此即可判断④正确． 【详解】解：∵和的平分线，相交于， ∴，， ∴ ，则结论①正确； ∵， ∴， ∴， 如图，在上取一点，使得，连接， ∵和的平分线，相交于， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，则结论②正确； 如图，过点作于点，作于点， ∵和的平分线，相交于，， ∴，，， 假设， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，由已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即结论③错误； 如图，过点作于点，作于点，连接， ∵，，，， ∴， 由上已得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴，则结论④正确； 综上，结论正确的是①②④， 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查钟表的镜面对称问题，属于左右对称，数字的镜面对称数字是，据此即可求解． 【详解】解：此刻的实际时间应该是， 故答案为： 10. 如图，点B在AE上，∠C=∠D，要能证△ABC≌△ABD，只需再补充一个条件：_______（写一个即可）． 【答案】∠ABC=∠ABD 【解析】 【分析】根据AB=AB，然后根据“AAS”的判定方法添加条件即可． 【详解】解：可添加∠ABC=∠ABD． 理由如下：在△ABC和△ABD中， ， ∴△ABC≌△ABD（AAS）， 故答案为：∠ABC=∠ABD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，答案不唯一． 11. 如图，在中，E是斜边的中点，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．根据，即可求解． 【详解】解：在中，E是斜边的中点，， ， 故答案为：． 12. 已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是____°． 【答案】80°或50° 【解析】 【详解】分两种情况： ①当80°的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数=(180°−80°)÷2=50°； ②当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°， 故它的底角度数是50或80． 故答案为：80°或50°． 13. 如图，，已知，则点D到的距离为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理；先求出，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出答案． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴点D到的距离， 故答案为：3． 14. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则________度． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，找出图中的全等三角形是解题的关键． 利用网格得出，，再利用全等三角形的性质以及三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解：如图， 由图可得，，， ， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：45． 15. 如图，直线m是中边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若，则周长的最小值是_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质及轴对称求最短距离问题．根据题意得到周长的最小值是，直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵直线是中边的垂直平分线，点是直线上一动点， ∴， ∴，当A、B、P三点共线时取等号， ∴最小值为的长， ∴， 故答案为：12． 16. 如图，在中，，点D在边上，，点在线段上，，若的面积为，的面积为21，则的面积为_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的面积．掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．根据三角形外角的性质结合题意可证，得出．根据可求出，，最后根据，求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：9． 17. 如图，门上钉子P处挂着一个“欢迎光临”的长方形挂牌，测得．（如图1），当挂牌水平悬挂（即与地面平行）时，测得挂绳，将该门挂的挂绳长度缩短后重新挂上，此时不小心把挂牌弄斜了（如图2），发现与地面平行，且点三点在同一直线上，则点B的高度下降了_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．如图1，作，则，由勾股定理得，，即到的垂直距离为；如图2，作于，作于，则缩短后，由勾股定理得，，设，则，由勾股定理得，，可求，则，由，可求，，进一步计算求解即可． 【详解】解：如图1，作， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴到的垂直距离为； 如图2，作于，作于， 由题意知，缩短后， ∵长方形挂牌，点、、三点在同一直线上， ∴， 由勾股定理得，， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，即， 解得，， ∴到的垂直距离为； ∴点的高度下降了， 故答案为：． 18. 如图，在中，，点D是的中点，连接，作交于点E．若，，则的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．延长至点F，使，连接．易证，得出，，从而可求出．又易得出为线段的垂直平分线，得出．设，则，根据勾股定理可列出关于x的等式，解之即可． 【详解】解：如图，延长至点F，使，连接． ∵点D是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴，． ∵ ∴， ∴，即． ∵，， ∴为线段的垂直平分线， ∴． 设，则， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共96分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑） 19. 如图，；求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出，求出，根据推出，根据全等三角形的性质推出即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出，注意：全等三角形的对应边相等． 20. 如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度？ 【答案】 【解析】 【分析】设秋千的绳索长为，则，在中，由勾股定理，即可求解． 【详解】解：设秋千的绳索长为，则， 在中，， ∴， 解得：， 答：绳索的长度是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 21. 如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的． （2）作的平分线交于D． （3）的值为______． （4）与全等且有1个公共顶点C的格点三角形有______个（除外）． 【答案】（1） 如图1所示； （2） 如图是的平分线； （3）20 （4）3 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质、勾股定掌握轴对称的性质理、全等三角形的判定，勾股定理是解题的关键； （1）根据轴对称的性质作图； （2）根据角平分线的定义作图； （3）根据勾股定理计算，得到答案； （4）根据全等三角形的概念解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 故答案为：20； 【小问4详解】 如图3所示，与全等且有1个公共顶点的格点三角形有3个， 故答案为：3． 22. 如图，在中，，是的平分线，，交于点E，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：是的平分线， ， 又∵， ， ， ， 是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及平行线的性质． （1）根据角平分线和平行的性质求出即可； （2）根据角平分线和平行线的性质得到，从而求得的度数，然后利用等边对等角得到另一个底角的度数，从而求得顶角的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 23. 在中，．如图1，若时，根据勾股定理有． （1）如图2，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； （2）如图3，当为钝角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； （3）如图4，一块四边形的试验田，已知米，米，米，米，求这块试验田的面积． 【答案】（1） 猜想：， 证明：如图2，过点作于点，设，则， 在Rt中，有， 在Rt中，有， ∴， 解之：， ∵均为正数， ∴； （2） 猜想：， 证明：如图，过点作，交的延长线于点，设，则， 在Rt中，有， 在Rt中，有 ， ∴， 解之：， ∵均为正数， ∴； （3）这块试验田的面积是9600平方米． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理． （1）过点作于点，构造两个直角三角形，设，则，由勾股定理和构造等式，利用放缩法可得； （2）过点作，交的延长线于点，构造两个直角三角形设，则，利用勾股定得，整理得，利用放缩法； （3）连接．由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理求得，利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接． 在中，有， ∴， ∵， ∴ ， 在中，有， ∴， ∴， ∴这块试验田的面积， ， （平方米）， ∴这块试验田的面积是9600平方米． 24. 如图，在中，，点D是上一动点，连接，过点A作，并且始终保持，连接． （1）求证：； （2）若平分交于．求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴，即． 又∵，， ∴； （2）13 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理．掌握三角形全等的判定和性质是解题关键，解（2）时正确作出辅助线构造全等三角形是关键． （1）根据题意可证，结合，，即可证； （2）连接，由全等三角形的性质可得出，，即可求出，再根据勾股定理可求出．又易证，即得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接． ∵， ∴，． ∵， ∴，即， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 25. 如图1，中，于，且． （1）试说明是等腰三角形； （2）已知，如图2，动点从点出发以每秒的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点运动的时间为（秒）． ①若的边与平行，求的值； ②若点是边的中点，问在点运动的过䅅中，能否成为等腰三角形？若能，求出的值，若不能，请说明理由． 【答案】（1） 证明：设，，， 则， 在中，， ， 是等腰三角形； （2）①5或6；②9或10或 【解析】 【分析】（1）设，，，则，由勾股定理求出，即可得出结论； （2）由的面积求出、、、；①当时，；当时，；得出方程，解方程即可； ②根据题意得出当点在上，即时，为等腰三角形，有3种可能：如果；如果；如果；分别得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，而， ， 则，，，． ①当时，， 即， ， 当时，， 得：， 若的边与平行时，值为5或6． ②点是边的中点，， ， 当点在上，即时，为钝角三角形，但； 当时，点运动到点，不构成三角形 当点在上，即时，为等腰三角形，有3种可能． 如果，则， ； 如果，则点运动到点， ； 如果， 过点作于，如图3所示： ， ， 在中，； ，， 则在中，， ． 综上所述，符合要求的值为9或10或． 故答案为：9或10或． 【点睛】此题是三角综合题，主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是熟练掌握方程的思想方法和分类讨论思想． 26. 如图①，等腰中，，点D是上一动点，点E、P分别在的延长线上，且． 【问题思考】在图①中，求证：； 【问题再探】若，如图②，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题拓展】若且平分，如图③，若，求的值． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴，． 又∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：，理由如下， 如图，在上取点G，使，连接． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易证，得出，即得出，从而得出； （2）在上取点G，使，连接，易证和为等边三角形，从而可证，得出，进而得出； （3）延长交于点H，易证，得出．再证明，得出，从而即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）解：延长交于点H，如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，角平分线的定义等知识．掌握全等三角形的性质和判定是解题关键，正确作出辅助线构造等边三角形和全等三角形也是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新海实验中学2024-2025学年度第一学期期中考试八年级数学试题 （考试时间：100分钟 试卷分值：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题的四个选项中，只有一个选项是正确的．请将答案填涂到答题纸相应位置上） 1. 以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 3. 如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么x的值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 有一个内角是的等腰三角形是等边三角形 B. 角平分线上的点到角两边的距离相等 C. 等腰三角形的角平分线、中线、高线三线合一 D. 轴对称图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分 6. 如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯外壁点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁与C相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（ ） A. B. C. D. 7. 某中学开展以“杭州亚运会”为主题的学科活动，要求设计几何图形作品来表达对亚运会的祝福．小冬以长方形的四条为边分别向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若长方形的相邻两边之差为6，且四个正方形的面积和为100，则长方形的面积是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 如图，在中，和的平分线，相交于，交于，交于，过点作于，下列结论中：①；②当时，；③；④若，，则，正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是______． 10. 如图，点B在AE上，∠C=∠D，要能证△ABC≌△ABD，只需再补充一个条件：_______（写一个即可）． 11. 如图，在中，E是斜边的中点，若，则_______． 12. 已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是____°． 13. 如图，，已知，则点D到的距离为_______． 14. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则________度． 15. 如图，直线m是中边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若，则周长的最小值是_______． 16. 如图，在中，，点D在边上，，点在线段上，，若的面积为，的面积为21，则的面积为_______． 17. 如图，门上钉子P处挂着一个“欢迎光临”的长方形挂牌，测得．（如图1），当挂牌水平悬挂（即与地面平行）时，测得挂绳，将该门挂的挂绳长度缩短后重新挂上，此时不小心把挂牌弄斜了（如图2），发现与地面平行，且点三点在同一直线上，则点B的高度下降了_______． 18. 如图，在中，，点D是的中点，连接，作交于点E．若，，则的长为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共96分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑） 19. 如图，；求证：． 20. 如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度？ 21. 如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的． （2）作的平分线交于D． （3）的值为______． （4）与全等且有1个公共顶点C的格点三角形有______个（除外）． 22. 如图，在中，，是的平分线，，交于点E，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）求的度数． 23. 在中，．如图1，若时，根据勾股定理有． （1）如图2，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； （2）如图3，当为钝角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； （3）如图4，一块四边形的试验田，已知米，米，米，米，求这块试验田的面积． 24. 如图，在中，，点D是上一动点，连接，过点A作，并且始终保持，连接． （1）求证：； （2）若平分交于．求的值． 25. 如图1，中，于，且． （1）试说明是等腰三角形； （2）已知，如图2，动点从点出发以每秒的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点运动的时间为（秒）． ①若的边与平行，求的值； ②若点是边的中点，问在点运动的过䅅中，能否成为等腰三角形？若能，求出的值，若不能，请说明理由． 26. 如图①，等腰中，，点D是上一动点，点E、P分别在的延长线上，且． 【问题思考】在图①中，求证：； 【问题再探】若，如图②，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题拓展】若且平分，如图③，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $