精品解析：上海市民办立达中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024学年第一学期期中质量检测初三年级数学试卷 （完卷时间：100分钟 分值：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 在中，，如果AC=m，，那么AB的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和三角函数得，根据AC=m即可得． 【详解】解：如图所示， 在直角三角形ABC中，， ∴； 又∵AC=m， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是理解题意掌握三角函数． 2. 已知二次函数的图象如图所示，那么a、b、c的符号为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据的图象的开口向下，得出，抛物线的对称轴在的负半轴，得，整理得，因为函数与轴的交点在正半轴，得，即可作答． 【详解】解：∵的图象的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴在的负半轴， ∴对称轴， ∴， ∵， ∴， ∵函数与轴的交点在正半轴， ∴， 故选：A． 3. 已知，下列说法中不正确的是（　　） A. B. 与方向相同 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件可知：与的方向相同，其模是倍关系． 【详解】解：A、由知：，选项不正确，符合题意； B、由知：与的方向相同，选项正确，不符合题意； C、由知：与的方向相同，则，选项正确，不符合题意； D、由知：，选项正确，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有方向，又有大小． 4. 在梯形中，，对角线、交于点E，如果，那么为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，根据面积关系得到边的关系是解题的关键；由，可得，再由平行证明相似，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， 故选：． 5. 如图，在中，，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，因为，所以，得出，即，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴，故C符合题意，D不符合题意； ∵无法证明与相似， ∴无法得出，故A不符合题意； ∵无法证明与相似， ∴无法得出，故B不符合题意； 故选：C． 6. 已知二次函数 的图像上有 、 两个点，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】由于 ，开口向上，所以点A、B离对称轴越近，对应的纵坐标越小，即可判断出 、 的大小关系． 【详解】∵ ∴抛物线开口向上，对称轴为 ，开口向上． ∵点A横坐标到对称轴的距离是 ， 点B到横坐标对称轴的距离是， ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查判断函数值大小，正确掌握二次函数图象的性质和熟练应用数形结合思想是解题关键． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，那么=_____ 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴y=3x， ∴． 故答案为． 8. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了向量的线性运算．解题的关键在于理解向量的数乘与加减运算． 9. 已知点P是线段的黄金分割点（），若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，分母有理化，根据点P是线段的黄金分割点（），得出，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 抛物线的图象在对称轴的______侧的部分上升（填“左”或“右”）． 【答案】右 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据函数的图象的开口向上，抛物线的图象在对称轴的右侧的部分上升，即可作答． 【详解】解：依题意，的开口向上， ∴抛物线的图象在对称轴的右侧的部分上升， 故答案为：右． 11. 已知抛物线，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点，那么平移后的抛物线的表达式是______． 【答案】y=x2-2 【解析】 【分析】设所求的函数解析式为y=x2+h，然后将点A坐标代入求得k即可． 【详解】解：设所求的函数解析式为y=x2+h 将点A坐标代入得：2=22+h，解得h=-2 所以平移后的抛物线的表达式是y=x2-2． 故答案为y=x2-2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移问题，上下平移不改变二次项系数及顶点的横坐标，只改变顶点的纵坐标，上加下减． 12. 如图，在中，是边的中线，设向量，，那么用向量、表示向量是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了向量运算，先由中点得出，根据三角形法则列式，然后计算，即可作答． 【详解】解：∵是边的中线， ， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若某物体被传送带从地面点A处经过20米传送到B处，则该物体被抬高了______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，先由坡度为得出，再设，运用勾股定理列式，解出的值，即可作答． 【详解】解：如图： ∵传送带和地面所成斜坡的坡度为， ∴， ∴设， ∵某物体被传送带从地面点A处经过20米传送到B处， ∴米， ∴在中，， 则， 解得， ∴该物体被抬高了米． 故答案为：． 14. 二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表： x … 0 1 5 … y … 7 0 7 … 则该二次函数图像的对称轴是______． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据当时，所对应的有两个，分别是和5，故对称轴为直线，即可作答． 【详解】解：从二次函数的变量x与变量y的部分对应值的表格得出： 当时，所对应的有两个，分别是和5， ∵二次函数是个轴对称图形， ∴点和关于二次函数的对称轴对称， ∴对称轴为直线． 故答案为：直线． 15. 如图，在中，G是重心，的延长线交于D，过点G作交于E，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键，注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．根据重心的性质得到，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：G是重心， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，平分，，垂足为点D，，交边于E，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，得，，再运用，得出，结合勾股定理列式计算，再证明，得出，则，所以，即可作答． 【详解】解：如图所示：延长交于点F， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 17. 如图，将矩形绕点C顺时针旋转，点A、B、D分别落在点、、处，如果，，那么的正切值是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，三角函数，旋转的性质，解题的关键是正确的作出辅助线，综合运用以上知识；连接，延长交于E，证明四边形是矩形，根据矩形的性质分别求出，，再根据正切的定义求值即可． 【详解】解：如图，连接，延长交于E， 将矩形绕点C顺时针旋转， ，，，， 四边形是矩形， ，，， ，， 的正切值为， 故答案为：7． 18. 如图1，在学习三角形的中位线时，我们知道D，E，F分别是三边的中点，且，则三条中位线在三角形内部构成的新三角形，其面积与原三角形面积的比值是；如图2，已知D，E，F分别是三边的三等分点，且，依次连接，则与面积的比值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．取中点G，中点H，中点I，连接，，，先证，推出，根据等高三角形面积比等于底边长度之比，可得，同理推出，，即可求解． 【详解】解：如图，取中点G，中点H，中点I，连接，，， ， ，，， ， 又， ， ，即， ， ， 同理可证，， ， 综上可知，与的面积的比值为． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：将特殊三角函数的值代入，利用实数的混合运算计算即可. 解：原式=4×-2××+ =2-1+2 =2 20. 已知在平面直角坐标系内，抛物线经过x轴上两点A，B，点B的坐标为，与y轴相交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）把点的坐标代入抛物线，求出b的值，即可得出抛物线的表达式； （2）先求出，，，再利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：把点的坐标代入抛物线得，解得， 所以抛物线的表达式； 【小问2详解】 解：抛物线的表达式； 令，则， 解得：，， ，， ∴， 令，则， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确的设出抛物线的解析式． 21. 如图，已知，等边三角形的边长为4，D在边上，且． （1）填空：的长为_____； （2）求证：； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）先证明，再根据相似三角形对应边成比例即可求解； （2）根据三角形外角的性质得到，即可得到结论； （3）根据是等边三角形，推导出和的面积，通过，求得的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作于F， ∵是等边三角形，，, ∴的高， ∴， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： （1）求的正弦值； （2）求的长（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据已知易得：，从而根据对顶角相等可得； （2）然后在中，根据锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：在中，，， ， ∵我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． ∴， ； 【小问2详解】 解：， ， ∴在中，， 设，则， ， ， 解得：， ， ， 答：的长约为． 23. 如图，已知在中，，点D在边上，，，E，F分别是垂足． （1）求证：； （2）连接，求证：． 【答案】（1） 如图，∵，， ∴，而， ∴， ∴， ∴； （2） 如图，设与的交点为， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，则， 又∵， ∴， ∴；而， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题． （1）证明，得到，即可解决问题； （2）如图，设与的交点为，先证明，得，则，进而可证明，得到，这是解决该问题的关键性结论；证明，结合，得到，列出比例式即可解决问题． 解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线交 y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H． （1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线的位置，求平移的方向和距离； （3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值． 【答案】（1）顶点D（m，1-m）；（2）向左平移了1个单位，向上平移了2个单位；（3）m=－1或m=－2． 【解析】 【详解】试题分析：把抛物线的方程配成顶点式，即可求得顶点坐标. 把点代入求出抛物线方程，根据平移规律，即可求解. 分两种情况进行讨论. 试题解析：（1）∵， ∴顶点D（m，1-m）． （2）∵抛物线过点（1，-2）， ∴． 即， ∴或（舍去）， ∴抛物线的顶点是（2，-1）． ∵抛物线的顶点是（1，1），∴向左平移了1个单位，向上平移了2个单位． （3）∵顶点D在第二象限，∴． 情况1，点A在轴的正半轴上，如图（1）．作于点G， ∵A（0，），D（m，-m+1）， ∴H（），G（）， ∴．∴． 整理得：．∴或（舍）． 情况2，点A在轴的负半轴上，如图（2）．作于点G， ∵A（0，），D（m，-m+1），∴H（），G（）， ∴．∴． 整理得：．∴或（舍）， 或 25. 如图，在中，，点D是射线上的一个动点，过点B作，垂足为点E，延长交射线于点F，设． （1）如图1，当点C是线段的中点时，求的值； （2）如图2，当点D在的延长线上，求y关于x的函数解析式及其定义域． （3）当时，求的面积． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，先证明，求出，则，那么，然后在中，由正切的定义求解； （2）过点作，交于点，则，则，表示出，再证明即可求解； （3）分两种情况讨论，点在的延长线上或点在线段上求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， 如图1，过点作，垂足为， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵是线段的中点， ∴， ∴， 在中，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图2，过点作，交于点， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ ∴， ∴ 【小问3详解】 解：情况一：当点在的延长线上时， 在与中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 情况二：当点在的边上时， 在与中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴. 同（2），如图5，过点作交的延长线于点， 可求得 ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述：的面积为或 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正切值，求函数解析式和定义域，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期期中质量检测初三年级数学试卷 （完卷时间：100分钟 分值：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 在中，，如果AC=m，，那么AB的长为（　　） A. B. C. D. 2. 已知二次函数的图象如图所示，那么a、b、c的符号为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 已知，下列说法中不正确的是（　　） A. B. 与方向相同 C. D. 4. 在梯形中，，对角线、交于点E，如果，那么为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数 的图像上有 、 两个点，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，那么=_____ 8. 计算：______． 9. 已知点P是线段的黄金分割点（），若，则______． 10. 抛物线的图象在对称轴的______侧的部分上升（填“左”或“右”）． 11. 已知抛物线，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点，那么平移后的抛物线的表达式是______． 12. 如图，在中，是边的中线，设向量，，那么用向量、表示向量是______． 13. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若某物体被传送带从地面点A处经过20米传送到B处，则该物体被抬高了______米． 14. 二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表： x … 0 1 5 … y … 7 0 7 … 则该二次函数图像的对称轴是______． 15. 如图，在中，G是重心，的延长线交于D，过点G作交于E，则______． 16. 如图，在中，，平分，，垂足为点D，，交边于E，，则______． 17. 如图，将矩形绕点C顺时针旋转，点A、B、D分别落在点、、处，如果，，那么的正切值是______． 18. 如图1，在学习三角形的中位线时，我们知道D，E，F分别是三边的中点，且，则三条中位线在三角形内部构成的新三角形，其面积与原三角形面积的比值是；如图2，已知D，E，F分别是三边的三等分点，且，依次连接，则与面积的比值是______． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 20. 已知在平面直角坐标系内，抛物线经过x轴上两点A，B，点B的坐标为，与y轴相交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）求的面积． 21. 如图，已知，等边三角形的边长为4，D在边上，且． （1）填空：的长为_____； （2）求证：； （3）求的面积． 22. 材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： （1）求的正弦值； （2）求的长（结果精确到，参考数据：，，）． 23. 如图，已知在中，，点D在边上，，，E，F分别是垂足． （1）求证：； （2）连接，求证：． 24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线交 y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H． （1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线的位置，求平移的方向和距离； （3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值． 25. 如图，在中，，点D是射线上的一个动点，过点B作，垂足为点E，延长交射线于点F，设． （1）如图1，当点C是线段的中点时，求的值； （2）如图2，当点D在的延长线上，求y关于x的函数解析式及其定义域． （3）当时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $