周末小金卷8-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（青岛版）

周末小金卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 · 15　 · 周末小金卷八 (考试范围:4. 5~ 4. 7) 　 (时间:45 分钟 满分:100 分) 题序 一 二 三 总分 得分 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(每小题 4 分,共 24 分) 1. 若 x1,x2 是一元二次方程 x2 -2x-3 = 0 的两个根,则 x1x2 的值是 (　 　 ) A. 2　 　 B. -2　 C. 4　 D. -3 2. 关于 x 的方程(x-1)(x+2)= p2(p 为常数)的根的情况,下列结论中正确的是 (　 　 ) A. 有两个正根　 B. 有两个负根　 C. 有一个正根,一个负根 D. 无实数根 3. 对于实数 a,b 定义运算“􀱋”为 a􀱋b = b2 -ab,例如 3􀱋2 = 22 -3×2 = -2,则关于 x 的方程(k-3)􀱋x= k-1 的根的情况,下列说法正确的是 (　 　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 4. 方程 x2 +3x+6 = 0 与 x2 -6x+3 = 0 所有根的乘积等于 (　 　 ) A. -18　 B. 18　 　 C. -3 D. 3 5. 一个容器盛满纯果汁 5 升,第一次倒出一部分果汁后加满水,第二次又倒出同样 体积稀释过的果汁,再加满水,此时容器中的纯果汁剩下 4 升. 设每次倒出 x 升, 根据题意列出的方程是 (　 　 ) A. (5-x) (1- x5 ) = 4 B. (5-x) 2 = 4 C. 5(1-x) 2 = 4 D. 5-2x= 4 6. 已知方程 x2 -2 024x+1 = 0 的两根分别为 x1,x2,则 x21 - 2 024 x2 的值为 (　 　 ) A. 1　 B. -1　 C. 2 024　 D. -2 024 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 7. 若一元二次方程 x2+4x+c= 0 有两个不相等的实数根,则 c 的值可以是　 　 　 　 (写 出一个即可) . 8. 如图是某地下停车场的平面示意图,停车场的长为 40 m,宽为 22 m. 停车场内车 道的宽都相等,若停车位的占地面积为 544 m2,则车道的宽度为 . 9. 有一个人患了流感,经过两轮传染后,共有 16 个人患了流感,则每轮传染中平均 一个人传染了　 　 　 　 个人. 10. 若关于 x 的方程(k-1)x2 +2kx+k= 0 有两个不相等的实数根,则实数 k 的取值范 围是　 　 　 　 　 　 . 11. 已知 x1,x2 是方程 x2-2x-2= 0 的两个实数根,则代数式 x2 x1 + x1 x2 的值是　 　 　 　 . 12. 若两个不等实数 m,n 满足条件:m2 -2m-1 = 0,n2 -2n-1 = 0,则 m2 +n2 的值是 　 　 　 　 . 三、解答题(共 52 分) 13. (10 分)一个两位数,十位上的数字比个位上的数字的平方小 9. 如果把十位上 的数字与个位上的数字对调,得到的两位数比原来的两位数小 27. 求原来的两 位数. 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 校 学 14. (14 分)已知关于 x 的方程 x2 -(m+1)x+2(m-1)= 0. (1)求证:无论 m 取何值,方程总有实数根; (2)如果方程有两个实数根 x1,x2,当(x1 -x2) 2 = 4 时,求出 m 的值. 15. (14 分)(新素养·模型观念)习近平总书记致信“首届全民阅读大会”指出:阅 读可以让人得到思想启发,树立崇高理想,涵养浩然之气. 某图书馆阅览室一直 在鼓励市民借阅,近几年该图书馆统计每年借阅人数及图书馆借阅量(单位: 本),发现 2021 年图书馆借阅量为 6 000 本,2023 年为 8 640 本. (1)请计算该图书馆借阅量从 2021 年至 2023 年的年平均增长率; (2)图书馆还统计出 2023 年借阅人数为 1 080 人,预计 2024 年将达到 1 152 人. 若 2023 年至 2024 年图书馆借阅量的增长率不低于 2021 年至 2023 年的年平均 增长率,那 2024 年的人均借阅量比 2023 年增长 m% ,则 m 至少为多少? 16. (14 分)(新素养·模型观念)近年来,电商平台直播带货成了一个火热的新兴 职业,某主播带货图书《苏东坡传》,他用双语直播,风趣幽默,点燃了不同年龄 读者的读书热情. 已知这本书的成本价为 10 元,规定销售单价不低于成本价, 且不高于成本价的 3 倍,通过前几天的销售发现,该书每天的销售量 y(本)与销 售单价 x(元 /本)之间近似满足一次函数关系,部分对应数据如下表: x / (元 / 本) … 15 25 … y / 本 … 700 500 … (1)根据表格提供的数据,求出 y 关于 x 的函数表达式,并写出 x 的取值范围; (2)若销售该书每天的利润为 6 000 元,求该书的销售单价; (3)销售该书每天的利润能否达到 9 000 元? 请说明理由. · 16·　 　 　 周末小金卷·数学·QD·九年级全一册 解得 x1 = 5 2 ,x2 = - 1 2 . ①把 x = 5 2 代入 x2 - ( k + 2) x + 9 4 = 0,得 ( 52 ) 2 - 5 2 (k+2) + 9 4 = 0. 解得 k= 7 5 . ②把 x = - 1 2 代入 x2 - ( k+ 2) x+ 9 4 = 0,得 ( - 12 ) 2 + 1 2 (k+2) + 9 4 = 0. 解得 k= -7. 综上所述,k 的值为-7 或 7 5 . 15.解:(1)①2x2 + 5 x+1 = 0 不是“勾系一元二 次方程” . 理由如下: ∵ 2 c= 5 , ∴ c= 10 2 . ∵ a= 2,b= 1,∴ a2 +b2 = 5≠ 5 2 = c2 . ∴ 以 a,b,c 为三边长的三角形不是直角三 角形. ∴ 2x2 + 5 x+ 1 = 0 不是“勾系一元二次方 程” . ②3x2 + 5 2 x + 4 = 0 是“勾系一元二次方 程” . 理由如下: ∵ 2 c= 5 2 , ∴ c= 5. ∵ a= 3,b= 4, ∴ a2 +b2 = 25 = c2 . ∴ 以 a,b,c 为三边长的三角形是直角三角 形,且 c 为斜边的长. ∴ 3x2+5 2x+4=0 是“勾系一元二次方程”. (2)∵ x = -1 是“勾系一元二次方程” ax2 + 2 cx+b= 0 的一个根, ∴ a- 2 c+b= 0. ∴ a+b= 2 c. ∵ 四边形 ACDE 的周长为 12, ∴ 2(a+b) + 2 c= 12. ∴ 2 2 c+ 2 c= 12. ∴ 3 2 c= 12. ∴ c= 2 2 . ∴ a+b= 2 ×2 2 = 4. ∴ (a+b) 2 = 16. ∴ a2 +2ab+b2 = 16. ∵ a2 +b2 = c2 = (2 2 ) 2 = 8, ∴ 2ab+8 = 16. ∴ ab= 4. ∴ S△ABC = 1 2 ab= 1 2 ×4 = 2. 16.解:(1)换元 (2)设 x2 = y,则原方程可化为 y2 -2y-3 = 0. 解得 y1 = 3,y2 = -1(不符合题意,舍去) . 当 y= 3 时,x2 = 3,∴ x1 = 3 ,x2 = - 3 . ∴ 方程 x4 - 2x2 - 3 = 0 的根是 x1 = 3 ,x2 = - 3 . (3)设 x2 +y2 = t,则原方程转化为 2t2 +t = 0. 解得 t1 = 0,t2 = - 1 2 . 当 t= 0 时,x2 +y2 = 0; 当 t= - 1 2 时,x2 +y2 = - 1 2 (舍去) . ∴ x2 +y2 的值为 0. 周末小金卷八 1. D 2. C　 【解析】∵ 关于 x 的方程(x-1)(x+2)= p2 (p 为常数)可化为 x2 +x-2-p2 = 0. ∵ b2 -4ac= 1+8+4p2 = 9+4p2 >0. ∴ 方程有两个不相等的 实数根. 根据根与系数的关系,方程的两个 根的积 x1x2 = c a = -2-p2 <0. ∴ 方程有一个 正根,一个负根. 故选 C. 3. A 　 【解析】 ∵ ( k - 3) 􀱋 x = k - 1, ∴ x2 - x(k-3)= k-1. ∴ x2 -(k-3)x-k+1 = 0. ∵ Δ = [-(k-3)] 2 -4×1×(-k+1)= k2 -2k+5 = (k- 1) 2 +4>0,∴ 关于 x 的方程(k-3)􀱋x = k-1 有两个不相等的实数根. 故选 A. 4. D　 【解析】方程 x2 +3x+6 = 0 没有实数根, 方程 x2 -6x+3 = 0 的两根之积为 3,所以两个 方程所有根的乘积等于 3. 故选 D. 5. A　 【解析】设每次倒出 x 升. 第一次倒出后 还有纯果汁(5-x)升,果汁的浓度为5 -x 5 ;再 倒出 x 升后,倒出纯果汁5 -x 5 ·x,利用 5-x- 5-x 5 ·x 就是剩下的纯果汁 4 升,可得方程 (5-x) (1- x5 ) = 4. 故选 A. 6. B　 【解析】∵ 方程 x2 -2 024x+1 = 0 的两根分 别为 x1,x2,∴ x1 +x2 = 2 024,x21 -2 024x1 +1 = 0, x22 -2 024x2 + 1 = 0,x1x2 = 1. ∵ x2 ≠0,∴ x2 - 2 024+ 1 x2 = 0. ∴ - 1 x2 = x2 -2 024. ∴ -2 024 x2 = 2 024x2 - 2 0242 . ∴ x21 - 2 024 x2 = 2 024x1 - 1 + 2 024x2 -2 0242 = 2 024(x1 +x2) -1-2 0242 = 2 0242 -1-2 0242 = -1. 故选 B. 7. 1(答案不唯一) 8. 6 m　 【解析】设车道的宽度为 x m. 根据题 意,得(40-x)(22-x)= 544. 解得 x1 = 6,x2 = 56(不符合题意,舍去) . ∴ 车道的宽度为 6 m. 9. 3　 【解析】设每轮传染中平均一个人传染 了 x 个人,则 1+x+x(1+x)= 16,即(1+x) 2 = 16. 则 1+x= ±4. 解得 x1 = 3,x2 = -5(不符合 题意,舍去) . 10. k>0 且 k≠1　 【解析】根据题意,得 k-1≠ 0,∴ k≠1. Δ = (2k) 2 -4(k-1)·k>0. 解得 k>0. ∴ 实数 k 的取值范围是 k≠1 且 k>0. 11. -4　 【解析】∵ x1,x2 是方程 x2 -2x-2 = 0 的 两个实数根,∴ x1 +x2 = 2,x1x2 = - 2. ∴ x2 x1 + x1 x2 = (x1 +x2) 2 x1x2 -2 = 4-2 -2 = -4. 12. 6　 【解析】由题意知,m,n 是关于 x 的方程 x2 - 2x- 1 = 0 的两个根,则 m+n = 2,mn = -1. ∴ m2 +n2 = (m+n) 2 -2mn = 22 -2×(-1) = 6. 13.解:设原来的两位数个位上的数字为 x,则 十位上的数字为(x2 -9) . ∴ 10(x2 -9) +x-10x-(x2 -9)= 27. 解得 x1 = 4,x2 = -3(不符合题意,舍去) . ∴ x2 -9 = 7. ∴ 原来的两位数为 74. 14. (1)证明:∵ Δ = [ -(m+1)] 2 -4×2(m-1)= m2 -6m+9 = (m-3) 2≥0, ∴ 无论 m 取何值,方程总有实数根. (2)解:∵ x1,x2 是方程 x2 -(m+1)x+2(m- 1)= 0 的两个实数根, ∴ x1 +x2 =m+1,x1x2 = 2(m-1) . ∵ (x1 -x2) 2 = 4, ∴ (x1 +x2) 2 -4x1x2 = 4. ∴ (m+1) 2 -8(m-1)= 4. ∴ m2 -6m+5 = 0. 解得 m= 1 或 5. ∴ m 的值为 1 或 5. 15. 解:(1)设该图书馆借阅总量从 2021 年至 2023 年的年平均增长率为 x. 根据题意,得 6 000(1+x) 2 = 8 640. 解得 x1 = 0. 2 = 20% ,x2 = -2. 2(舍去) . ∴ 该图书馆借阅总量从 2021 年至 2023 年 的年平均增长率为 20% . (2)8 640×(1+0. 2)= 10 368(本) 8 640÷1 080 = 8(本) 10 368÷1 152 = 9(本) ∵ 9 -8 8 = 0. 125 = 12. 5% , ∴ m 至少为 12. 5. 16.解:(1)∵ y 与 x 之间近似满足一次函数关 系,∴ 设 y 关于 x 的函数表达式为 y=kx+b. 将( 15, 700), ( 25, 500) 代入表达式, 得 15k+b= 700, 25k+b= 500.{ 解得 k= -20, b= 1 000.{ ∴ y 关于 x 的函数表达式为 y= -20x+1 000 (10≤x≤30) . (2)根据题意,得(x-10) ( -20x+1 000) = 6 000. 解得 x1 = 20,x2 = 40. ∵ 10≤x≤30,∴ x= 20. ∴ 该书的销售单价为 20 元. (3)销售该书每天的利润不能达到 9 000 元. 理由如下: 根据题意, 得 ( x - 10) ( - 20x + 1 000) = 9 000. 整理,得 x2 -60x+950 = 0. ∵ Δ = 602 -4×1×950<0, ∴ 该方程没有实数根. ∴ 销售该书每天的利润不能达到 9 000 元. 周末小金卷九 1. C　 2. C　 3. C 4. B　 【解析】分两种情况:①当 a>0 时,一次 函数 y=ax+1 的图象在第一、二、三象限,反 比例函数 y = - a x 的图象在第二、四象限,无 选项符合;②当 a<0 时,一次函数 y = ax+1 的图象在第一、二、四象限,反比例函数 y = - a x 的图象在第一、三象限,观察选项,B 选 项符合题意. 故选 B. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 28·　 　 　 周末小金卷·数学·QD·九年级全一册