周末小金卷5-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（青岛版）

周末小金卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 · 9　 · 周末小金卷五 (考试范围:3. 1~ 3. 3) 　 (时间:45 分钟 满分:100 分) 题序 一 二 三 总分 得分 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(每小题 4 分,共 32 分) 1. 下列条件中,能确定一个圆的是 (　 　 ) A. 经过已知点 M B. 以点 O 为圆心,10 cm 长为半径　 C. 以 10 cm 长为半径　 　 D. 以点 O 为圆心 2. 如图,已知点 O 是△ABC 的外心,∠A= 50°,连接 BO,CO,则∠BOC 的度数为 (　 　 ) A. 90°　 B. 100°　 C. 110° D. 95° 第 2 题图 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 3. 用反证法证明命题:“在△ABC 中,∠B≠∠C,则 AB≠AC” . 应先假设 (　 　 ) A. AB>AC　 B. AB<AC　 C. AB=AC　 D. ∠B= ∠C 4. 如图,已知 AB 是☉O 的直径,CD 是☉O 的弦,AB⊥CD,垂足为 E. 若 AB = 26, CD= 24,则∠OCE 的余弦值为 (　 　 ) A. 7 13 　 B. 12 13 C. 7 12 D. 13 12 5. 如图,AB,CD 是☉O 的弦,延长 AB,CD 相交于点 P. 已知∠P = 30°,∠AOC = 80°, 则 BD ( 的度数为 (　 　 ) A. 30°　 B. 25°　 C. 20°　 D. 10° 6. (新素养·模型观念)如图是一位同学从照片上剪切 下来的海上日出时的画面,“图上”太阳与海平线交于 A,B 两点,他测得“图上” 圆的半径为 10 cm,AB = 16 cm. 若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平 面的时间为 16 min,则“图上”太阳升起的速度为 (　 　 ) A. 1. 0 cm / min B. 0. 8cm / min C. 1. 2 cm / min D. 1. 4 cm / min 7. 如图,在由边长为 1 的小正方形构成的网格中,点 A,B,C 均在格点上,以 AB 为直 径的圆经过点 C,D,则 sin∠ADC 的值为 (　 　 ) A. 2 13 13 B. 3 13 13 C. 2 3 D. 3 2 第 7 题图 　 　 　 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,在☉O 中,AB 是直径,点 C,D,E 在圆上,AC= 2,AD= 6,AE= 8,AB= 10. 有下 列结论:①AD ( =CE ( ;②AE ( =BD ( ;③AD ( +DE ( =AE ( ;④AD ( +AE ( =ADB ( . 其中正确结论有 (　 　 ) A. 4 个　 　 B. 3 个　 C. 2 个　 　 D. 1 个 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 9. 如图,AB 是☉O 的直径,C,D 为半圆的三等分点,CE⊥AB 于点 E,∠ACE 的度 数为　 　 　 　 . 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 　 　 　 第 11 题图 10. 一块圆形玻璃镜面碎成了几块,其中一块如图所示,测得弦 AB 长 20 cm,弓形高 CD 为 2 cm,则镜面半径为　 　 　 　 cm. 11. 如图,CD 是☉O 的直径,弦 AB⊥CD,垂足为 E,AB ( =BF ( ,CE = 1,AB = 6,则弦 AF 的长度为　 　 　 　 . 12. 如图,☉O 的半径为 5,△ABC 是☉O 的内接三角形,连接 OB, OC. 若∠BAC 与∠BOC 互补,则弦 BC 的长为　 　 　 　 . 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 校 学 13. 如图,AB 是☉O 的直径,C 是☉O 上的一点. 若 AC = 4,AB = 5,OD⊥BC 于点 D, 则 CD 的长为　 　 　 　 . 第 13 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 14 题图 14. 如图,A,B,C 是☉O 上的三点,且四边形 OABC 是菱形. 若 D 是圆上异于点 A,B, C 的另一点,则∠ADC 的度数为　 　 　 　 　 　 . 三、解答题(共 44 分) 15. (8 分)如图,点 A,B,C 在☉O 上,AC ( = 2AB ( ,∠ABC= 38°,连接 OA 交 BC 于点 M. 求∠AMC 的度数. 16. (12 分)如图是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面,其为圆弧形,跨度 AB(弧 所对的弦)的长为 3. 2 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为 0. 8 m. (1)求该圆弧所在圆的半径; (2)在距蔬菜棚的一端(点 B)0. 4 m 处竖立支撑杆 EF. 求支撑杆 EF 的高度. 17. (12 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,以 AB 为直径的☉O 交 BC 于点 D,交线段 CA 的延长线于点 E,连接 BE. (1)求证:BD=CD; (2)若 tanC= 1 2 ,BD= 4,求 AE 的长. 18. (12 分)如图,在△ABC 中,AC =BC,D 是 AB 上一点,☉O 经过点 A,C,D,交 BC 于点 E,过点 D 作 DF∥BC,交☉O 于点 F. 求证:(1)四边形 DBCF 是平行四边形; (2)AF=EF. · 10·　 　 　 周末小金卷·数学·QD·九年级全一册 足为 D. 在 Rt△ACD 中,cosC = CD CA ,CA = 4, ∴ CD = CA · cosC = 4× 1 4 = 1. ∴ AD = AC2 -CD2 = 42 -12 = 15 . 在 Rt△ABD 中, BD=CB-CD=4-1=3,AD= 15,∴ tanB=AD BD = 15 3 . 8. 20 5 　 【解析】设 CB= x m. ∵ 坡度 i = 1 ∶ 2, 即 BC AC = 1 2 ,∴ AC = 2BC = 2x m. 在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 BC2 +AC2 = AB2,即 x2 + (2x) 2 = 1002 . 解得 x = 20 5 ,即他在垂直方 向上升的高度 CB 为 20 5 m. 9. 7. 6　 【解析】如图,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D. ∵ 它 是 一 个 轴 对 称 图 形, ∴ AB = AC. ∵ AD⊥BC,BC= 6 m,∴ BD = 1 2 BC = 3 m. 在 Rt△ADB 中,∵ tan∠ABD = AD BD ,∴ AD =BD· tan∠ABD= 3·tan 50°≈3×1. 19 = 3. 57(m) . ∴ 房顶 A 离地面 EF 的高度为 AD+BE= 3. 57+ 4≈7. 6(m) . 10. 90　 【解析】如图所示标注字母. 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D. 由题意,得 CD = 1 000 m, ∠EAC= 60°,∠FBC = 45°. ∴ ∠CAD = 90°- ∠EAC=90°-60°=30°,∠CBD = 90°-∠FBC = 90° - 45° = 45°. ∴ BD = CD = 1 000 m. ∵ tan∠CAD=CD AD ,∴ AD= CD tan∠CAD = CD tan 30° = CD 3 3 = 3CD≈1. 7×1 000≈1 700(m). ∴ AB = AD+BD = 1 700+1 000 = 2 700(m) . ∴ 小莹 步行的速度为 2 700÷30=90(m/ min). 11. 1 116　 【解析】如图. 在比例尺为 1 ∶ 50 000 的该地区等高线地形图上,量得这两点间 的图上距离为 3 cm,则实际距离(即 MC) 为 3 × 50 000 = 150 000( cm) = 1 500(m) . ∵ 从点 M 测得山顶 P 的仰角(即∠CMP) 为 30°,∴ M,P 两点的高度差为 PC = 1 500× tan 30°=500 3 ≈500×1. 732 = 866(m). ∵ 点 M 的海拔高度为 250 m,∴ 山顶 P 的海拔 高度为 250+866 = 1 116(m) . 12. 2 3 3 　 【解析】 如图所示标注字母,连接 DE. 在 △ABC 中,∠ABC = 120°,BA = BC, ∴ ∠α= 30°. 同理得∠CDE = ∠CED = 30° = ∠α. ∵ ∠AEC = 60°, ∴ ∠AED = ∠AEC + ∠CED= 90°. 设等边三角形的边长为 a,则 AE=2a. 在 Rt△BDE 中,BD= 2a,sin∠DBE= DE BD ,∴ DE=BD·sin∠DBE = 2a·sin 60° = 3 a. ∴ tan(α+β)= tan∠ADE = AE DE = 2a 3 a = 2 3 3 . 13.解:在 Rt△ABC 中, ∵ ∠C=90°,AB=10,sinB= 3 5 =AC AB , ∴ AC= 3 5 AB= 3 5 ×10 = 6. ∴ BC= AB2 -AC2 = 102 -62 = 8. ∴ tanA=BC AC = 8 6 = 4 3 . 14.解:在 Rt△ACD 中,sinC=AD AC . ∵ sinC= 3 5 ,AC= 10, ∴ 3 5 =AD 10 . ∴ AD= 6. 在 Rt△ABD 中,cosB= 1 2 , ∴ ∠B= 60°. ∴ sinB= sin 60° =AD AB = 3 2 . ∴ 6 AB = 3 2 . ∴ AB= 4 3 . 15.解:设 CD= x m. 在 Rt△DBC 中,tan∠DBC= tan 53° =DC BC , ∴ BC= DC tan 53° = x tan 53° ≈ 3 4 x m. 在 Rt△ACD 中,tanA= tan 30° =DC AC , ∴ AC= DC tan 30° = x 3 3 = 3 x m. ∴ AB=AC-BC= 3 x- 3 4 x= 28. 8 m. 解得 x=28. 8 ×4 4 3 -3 =28. 8×4×(4 3 +3) 39 ≈29. 3. ∴ 宝岩寺塔的高度约为 29. 3 m. 16.解:如图,过点 A 作 AM⊥BE′于点 M,过点 B′作 B′N⊥AM 于点 N. ∵ AF∥BE,∴ ∠ABM= ∠BAF. ∴ sin∠ABM= sin∠BAF≈0. 8. ∴ AM AB = 4 5 . ∴ 设 AM= 4x cm,AB= 5x cm. ∴ BM= 3x cm. ∵ ∠B′AN+∠MAB = 90°,∠ABM+∠MAB = 90°,∴ ∠B′AN= ∠ABM. 在△B′AN 和△ABM 中, ∠B′NA= ∠AMB, ∠B′AN= ∠ABM, AB′=BA, { ∴ △B′AN≌△ABM(AAS) . ∴ B′N=AM= 4x cm. ∴ E′M=B′N= 4x cm. ∴ 4x+3x=BE′= 105. ∴ x= 15. ∴ B′N= 60 cm,AB= 75 cm. 设 CD=n cm,∴ AC=BD= 75 -n 2 cm. ∴ AD′=AD=AC+CD= 75 -n 2 +n= 75 +n 2 cm. ∵ CD′= 17 3 CD= 17 3 n cm, ∴ 在Rt△ACD′中, ( 75+n2 ) 2 + ( 75-n2 ) 2 = ( 173 n ) 2 . 解得 n= 45. ∴ CD 的长为 45 cm. 周末小金卷五 1. B 2. B　 【解析】∵ 点 O 是△ABC 的外心,∠A = 50°,∴ ∠A = 1 2 ∠BOC. ∴ ∠BOC = 2 ∠A = 100°. 故选 B. 3. C 4. B　 【解析】∵ AB 是☉O 的直径,AB⊥CD, ∴ CE= DE = 1 2 CD = 12. ∵ AB = 26,∴ OC = 13. ∴ cos∠OCE=CE OC = 12 13 . 故选 B. 5. C　 【解析】如图,连接 BC. ∵ ∠AOC = 80°, ∴ ∠ABC = 40°. ∵ ∠P = 30°,∠P+∠BCD = ∠ABC,∴ ∠BCD= 10°. ∴ BD ( 的度数为 20°. 故选 C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 24·　 　 　 周末小金卷·数学·QD·九年级全一册 周末小金卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 · 25　 · 6. A　 【解析】如图,设“图上”圆的圆心为 O, 连接 OA,过点 O 作 OD⊥AB 于点 D. ∵ AB = 16 cm,∴ AD = 1 2 AB = 8 cm. ∵ OA = 10 cm, ∴ OD = OA2 -AD2 = 102 -82 = 6(cm ) . ∴ 海平线以下部分的高度为 OA+OD= 10+6 = 16(cm) . ∵ 太阳从所处位置到完全跳出海 平面的时间为 16 min,∴ “图上”太阳升起的 速度为 16÷16=1.0(m/ min).故选 A. 7. A　 【解析】如图,连接 BC,AC. ∵ ∠ADC 和 ∠ABC 所对的弧都是 AC ( ,根据圆周角定理 的推论,知∠ADC = ∠ABC. 在 Rt △ACB 中, sin∠ABC = AC AB . ∵ AC = 2, BC = 3, ∴ AB = AC2 +BC2 = 13 . ∴ sin ∠ABC = 2 13 = 2 13 13 . ∴ sin∠ADC= 2 13 13 . 故选 A. 8. B　 【解析】如图,连接 CE,BD. 在△ACE 中, ∵ AC = 2,AE = 8,∴ CE>AE-AC,即 CE> 6. ∵ AD= 6,∴ AD<CE. ∴ AD ( <CE ( . 故①错误; ∵ AB 是 ☉O 的 直 径, ∴ ∠ADB = 90°. 在 Rt△ABD 中, AB = 10, AD = 6, ∴ BD = AB2 -AD2 = 102 -62 = 8. ∵ AE = 8,∴ AE = BD. ∴ AE ( =BD ( . 故②正确;AD ( +DE ( =AE ( . 故③ 正确;∵ BD ( =AE ( ,∴ AD ( +AE ( = AD ( +DB ( = ADB ( . 故④正确;∴ 正确结论有 3 个. 故选 B. 9. 30°　 【解析】如图,连接 OC. ∵ C,D 为半圆 的三等分点,∴ AC ( = CD ( = BD ( . ∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠AOC = ∠COD = ∠DOB = 180° × 1 3 = 60°. ∵ OA = OC,∴ △AOC 是等边三角 形. ∴ ∠A = 60°. ∵ CE⊥AB,∴ ∠AEC = 90°. ∴ ∠ACE= 90°-∠A= 90°-60° = 30°. 10. 26　 【解析】如图,延长 DC,在 DC 的延长 线上取一点 O,连接 OA,使 OD = OA. 由题 意,可得点 O 为圆形玻璃镜面的圆心,OC 垂直平分 AB. ∴ AC = 1 2 AB = 10 cm. 设镜面 半径为 x cm. 在 Rt△ACO 中,x2 = 102 +(x- 2) 2 . 解得 x= 26. ∴ 镜面半径为 26 cm. 11. 48 5 　 【解析】如图,连接 OA,OB,OB 交 AF 于点 G. ∵ AB⊥CD,∴ AE = BE = 1 2 AB = 3. 设☉O 的半径为 r,则 OE= r-1,OA= r. 在 Rt △OAE 中,AE2+OE2 =OA2,即 32 +(r-1)2 = r2. 解得 r=5. ∴ OE= 5-1= 4. ∵ AB ( =BF ( ,∴ OB⊥ AF,AG = FG. ∴ 1 2 AG·OB = 1 2 OE·AB. ∴ AG = OE·AB OB = 4×6 5 = 24 5 . ∴ AF = 2AG = 48 5 . 12. 5 3 　 【解析】如图,过点 O 作 OD⊥BC,垂 足为 D. ∴ BD = CD. ∵ ∠BAC 与∠BOC 互 补,∴ ∠BAC + ∠BOC = 180°. ∵ ∠BAC = 1 2 ∠BOC, ∴ ∠BOC = 120°. ∵ OB = OC, ∴ OD 平分∠BOC. ∴ ∠DOC = 1 2 ∠BOC = 60°. 在 Rt△DOC 中,sin∠DOC=DC OC ,∴ DC= OC·sin 60°=5 3 2 . ∴ BC=2DC= 5 3 . 13. 3 2 　 【解析】∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ACB = 90°. 在 Rt△ACB 中,AC = 4,AB = 5,∴ BC = AB2 -AC2 = 52 -42 = 3. ∵ OD ⊥ BC, ∴ CD= 1 2 BC= 1 2 ×3 = 3 2 . 14. 60°或 120° 　 【解析】如图,连接 OB. ∵ 四 边形 OABC 是菱形,∴ AB = OA = OB = BC = OC. ∴ △AOB 和△BOC 都是等边三角形. ∴ ∠AOB = ∠BOC = 60°. ∴ ∠AOC = 120°. ∴ ∠ADC= 60°,∠AD′C= 120°. 15.解:如图,连接 OC,OB. ∵ ∠ABC= 38°, ∴ ∠AOC= 2∠ABC= 76°. ∵ AC ( = 2AB ( , ∴ ∠AOB= 1 2 ∠AOC= 38°. ∴ ∠BOC=∠AOC+∠AOB=76°+38°=114°. ∵ OC=OB, ∴ ∠OCB= 1 2 (180°-∠BOC) = 1 2 ×(180° - 114°)= 33°. ∴ ∠AMC = ∠OCM + ∠COM = 33° + 76° = 109°. 16.解:(1)如图,延长 DC,在 DC 的延长线上 取一点 O,连接 OB,使 OD=OB. 由题意,知点 O 为 AB 所在圆的圆心. ∵ D 为 AB ( 的中点,DC⊥AB, ∴ BC= 1 2 AB= 1. 6 m, 设☉O 的半径为 R m. 在 Rt △OBC 中, 由勾股定理, 得 OB2 = OC2 +CB2, 即 R2 = (R-0. 8) 2 +1. 62 . 解得 R= 2. ∴ 该圆弧所在圆的半径为 2 米. (2)如图,过点 O 作 OH⊥FE 交 FE 的延长 线于点 H,连接 OF. 则 OH=CE=CB-EB = 1. 6-0. 4 = 1. 2( m), OF= 2 m. 在 Rt△OHF 中,HF= OF2-OH2 = 22-1. 22 =1. 6(m). ∵ HE=OC=OD-CD=2-0. 8=1. 2(m), ∴ EF=HF-HE= 1. 6-1. 2 = 0. 4(m) . ∴ 支撑杆 EF 的高度为 0. 4 m. 17. (1)证明:如图,连接 AD. ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ADB= 90°. ∵ AB=AC,∴ BD=CD. (2)解:∵ BD=CD= 4, ∴ BC=BD+CD= 8. 在 Rt△ADC 中,tanC= AD CD = 1 2 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ∴ AD= 1 2 CD= 1 2 ×4 = 2. ∴ AC= AD2 +CD2 = 22 +42 = 2 5 . ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠AEB= 90°. ∵ ∠AEB= ∠ADC= 90°,∠BCE= ∠ACD, ∴ △CEB∽△CDA. ∴ CE CD =BC AC ,即CE 4 = 8 2 5 . ∴ CE= 16 5 5 . ∴ AE=CE-AC= 16 5 5 -2 5 = 6 5 5 . 18.证明:(1)∵ AC=BC, ∴ ∠BAC= ∠B. ∵ DF∥BC,∴ ∠ADF= ∠B. ∴ ∠BAC= ∠ADF. ∵ ∠BAC= ∠CFD,∴ ∠ADF= ∠CFD. ∴ BD∥CF. ∵ DF∥BC, ∴ 四边形 DBCF 是平行四边形. (2)如图,连接 AE. ∵ ∠ADF= ∠B,∠ADF= ∠AEF, ∴ ∠AEF= ∠B. ∵ 四边形 AECF 是☉O 的内接四边形, ∴ ∠ECF+∠EAF= 180°. ∵ BD∥CF,∴ ∠ECF+∠B= 180°. ∴ ∠EAF= ∠B. ∴ ∠AEF= ∠EAF. ∴ AF=EF. 周末小金卷六 1. A　 2. C 3. C 　 【解析】 如 图, 连 接 OB. ∵ OA = OB, ∴ ∠OAB = ∠OBA = 28°. ∴ ∠AOB = 124°. ∵ PA,PB 分别切☉O 于点 A,B,∴ OA⊥PA, OB⊥PB. ∴ ∠OAP+∠OBP = 180°. ∴ ∠APB+ ∠AOB= 180°. ∴ ∠APB= 56°. 故选 C. 4. C　 【解析】∵ △ABC 的内切圆☉O 与 AB, BC,CA 分别相切于点 D,E,F,AD = BD = 2, EC= 3,∴ AF = AD = 2,BE =BD = 2,CF =CE = 3. ∴ △ABC 的周长为 AB+BC+AC =AD+BD+ BE+CE + AF +CF = 2 + 2 + 2 + 3 + 2 + 3 = 14. 故选 C. 5. B　 【解析】各字母标注如图所示,连接 OA, OB,过点 O 作 OC⊥AB.由题意,可知∠AOB= 60°. ∵ OA = OB,∴ △AOB 为等边三角形. ∴ AB = AO = BO = 2. ∴ S扇形AOB = 60π×22 360 = 2 3 π. ∵ OC⊥AB,∴ AC = 1 2 AB = 1. ∴ OC = OA2 -AC2 = 3 . ∴ S△AOB = 1 2 AB·OC = 1 2 × 2× 3 = 3 . ∴ 钟面中阴影部分的面积为 2 3 π- 3 . 故选 B. 6. C　 【解析】☉P 与直线 CD 相切共有两种情 况:①如图 1,当点 P 在点 O 的左侧时,由题 意,得 CD 与☉P1 相切于点 E. ∴ P1E⊥CD. ∵ ∠AOD= 30°,r=P1E = 2 cm,∴ OP1 = 4 cm. 又∵ OP = 6 cm,∴ P1P = OP -OP1 = 6 - 4 = 2(cm) . ∴ ☉P 到达☉P1 需要的时间为 2 ÷ 1 = 2(s) . 图 1 　 图 2 ②如图 2,当点 P 在点 O 的右侧时,P2P = OP+OP2 = 6 + 4 = 10( cm) . ∴ ☉P 到达☉P2 需要的时间为 10÷1 = 10( s) . 综上所述,2 s 或 10 s 后,☉P 与直线 CD 相切. 故选 C. 7. B　 【解析】如图,连接 OA,OB,OD,过点 O 作 OH ⊥ AB 于点 H,则 AH = BH = 1 2 AB. ∵ 等边三角形 ABC 和正方形 ADEF 都内接 于☉O,∴ ∠AOB = 120°,∠AOD = 90°. ∵ OA = OD = OB, ∴ △AOD 是 等 腰 直 角 三 角 形, ∠AOH = ∠BOH = 1 2 × 120° = 60°. ∴ AD = 2OA,AH=OA·sin 60° = 3 2 OA. ∴ AB = 2AH = 2× 3 2 OA= 3OA. ∴ AD AB = 2OA 3OA = 2 ∶ 3 . 故 选 B. 8. A　 【解析】由图可知,扇形 ADC 的面积+半 圆 BC 的面积+S1 -正方形 ABCD 的面积 = S2,∴ S2 -S1 = 扇形 ADC 的面积+半圆 BC 的 面积-正方形 ABCD 的面积 = 90π ×22 360 + 1 2 π× ( 22 ) 2 -22 = 3π 2 -4. 故选 A. 9. 5　 10. 18 m 11. 16 3 π　 【解析】由图可得 AO ( 的长+BO ( 的长 = AB ( 的长. ∵ 半径 OA = 4 cm, ∠AOB = 120°,AB 的弧长 lAB = 120π×22 180 = 8 3 π(cm) . ∴ 周长为 2lAB = 2× 8 3 π = 16 3 π(cm) . 12. 6 3 　 【解析】如图,☉O 切三角尺的斜边 于 C 点,连接 OA,OB,则 ∠ABC = 180° - 60° = 120°. ∵ ☉O 与三角尺和直尺相切, ∴ BO 平 分 ∠ABC, OA ⊥ AB. ∴ ∠ABO = 1 2 ∠ABC= 60°,∠OAB= 90°. 在 Rt△OAB 中, ∵ ∠ABO=60°,∴ OA =AB·tan 60° = 3AB = 3 3(cm). ∴ 该圆木的直径为 6 3 cm. 13. 7　 【解析】如图,设 G,H 分别是☉O 的切点. 由切线长定理,得 BD = BG,CE = CG,MH = MD,NH=NE. ∵ BC = 4 cm,∴ BD+CE =BG+ CG= 4 cm. ∵ △ABC 的周长为 15 cm,即 AD+AE+BD+BG+CG+CE = 15,∴ AD+AE = 15 - (BD +CE) - (BG +CG) = 15 - 4 - 4 = 7(cm) . ∴ △AMN 的周长为 AM+MN+AN = AM+MD+AN+NE=AD+AE= 7 cm. 14. 4 11 5 　 【解析】如图,连接OP,OQ,过点O 作 OP′⊥AB 于点 P′.∵ PQ 是☉O 的切线,∴ OQ⊥ PQ.在 Rt△QOP 中,∵ OQ= 4,PQ2 +OQ2 =OP2, ∴ PQ= OP2-OQ2 = OP2-16. ∴ 当 OP 的长 最小时,PQ 最小. 在 Rt△OAB 中,∠AOB = 90°,OA = 8,AB = 10,OB2 +OA2 = AB2,∴ OB = AB2 -OA2 = 6. ∵ S△AOB = 1 2 OB · OA = 1 2 AB·OP′,∴ 1 2 ×6×8 = 1 2 ×10×OP′. 解得 OP′= 24 5 . 当点 P 运动到点 P′时,OP 最小, 此 时 PQ 最 小, PQ 的 最 小 值 为 (245 ) 2 -16 = 4 11 5 . 15.解:(1)如图,连接 OA. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 26·　 　 　 周末小金卷·数学·QD·九年级全一册