专项突破3 圆中常见的辅助线归类-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（青岛版）

全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 ·39　 · 专项突破三　 圆中常见的辅助线归类 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　类型一　 遇弦作弦心距或连半径 1. 如图,AB 是☉O 的直径,弦 CD 交 AB 于点 P,AP= 2,BP= 6,∠APC= 30°,则 CD 的长为 (　 　 ) A. 15 B. 2 5 C. 2 15 D. 8 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 　 　 　 　 　 　 第 3 题图 2. 如图,在☉O 内有折线 OABC,其中 OA= 8,AB= 12,∠A= ∠B= 60°,则 BC 的长为 (　 　 ) A. 19 B. 16 C. 18 D. 20 3. (新考法·数学文化)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”,即利用 圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算,指出“割之弥细,所失弥少. 割之又割,以至于不可割, 则与圆周合体,而无所失矣” . “割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想得到了圆周率 π 的近似值 为 3. 141 6. 圆的半径为 1,运用“割圆术”,以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积,可得 π 的估 计值为 3. 如图,若用半径为 1 的圆的内接正六边形面积作近似估计,可得 π 的估计值为 (　 　 ) A. 3 B. 3 3 2 C. 2 3 D. 2 2 4. 一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量. 如图,把一个直径为 10 mm 的小钢球 紧贴在孔道边缘,测得小钢球顶端离孔道外端的距离为 8 mm. 求这个孔道的直径 AB. 5. 如图,在☉O 中,CP= 2,PD= 6,AP= 5,弦 CD⊥AB,垂足为 P,连接 OP. 求 OP 的长度. 类型二　 遇直径添加直径所对的圆周角 6. 如图,BC 为☉O 的直径,AD⊥BC 于点 D,连接 AC,P 是 AC ( 上一动点,连接 PB 分别交 AD,AC 于点 E,F. (1)当 PA ( =AB ( 时,求证:AE=BE; (2)当点 P 在什么位置时,AF=EF? 证明你的结论. 7. 如图,AE 为△ABC 外接圆☉O 的直径,AD 为△ABC 的高. 求证:(1)∠BAD= ∠EAC; (2)AB·AC= 2AD·AO. 8. 如图,AB 是半圆O 的直径,C 是半圆上的一点,过点C 作CD⊥AB 于点D,AC=2 10 cm,AD ∶ DB=4 ∶ 1.求 AD 的长. 类型三　 遇切线作过切点的半径 9. 小艺对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编:如图,一座圆形城堡有正 东、正南、正西和正北四个门,出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大 树,向树的方向走 4. 5 km 到达城堡边,再往前走 3 km 到达树下,则该城堡的外围 直径为 km. 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 10. 如图,D 是以 AB 为直径的☉O 上一点,过点 D 的切线 DE 交 AB 的延长线于点 E,过点 B 作 BC⊥DE 交 AD 的延长线于点 C,垂足为 F. (1)求证:AB=CB; (2)若 AB= 18,sinA= 1 3 ,求 EF 的长. 11. 如图,AB 是☉O 的切线,B 为切点,直线 AO 交☉O 于 C,D 两点,连接 BC,BD. 过圆心 O 作 BC 的平 行线,分别交 AB 的延长线、☉O 及 BD 于点 E,F,G. (1)求证:∠D= ∠E; (2)若 F 是 OE 的中点,☉O 的半径为 3,求阴影部分的面积. 12. 如图,AB 为☉O 的直径,C 为☉O 上的一点,AE 和过点 C 的切线 CD 互相垂直,垂足为 E,AE 与☉O 相交于点 F,连接 AC. (1)求证:AC 平分∠EAB; (2)若 AE= 12,tan∠CAB= 3 3 ,求 OB 的长. 类型四　 遇交点证切线连接圆心和交点 13. 如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AC 为直径的☉O 交 BC 于点 D,交 AB 于点 E,过点 D 作 DF⊥AB,垂 足为 F,连接 DE. (1)求证:直线 DF 与☉O 相切; (2)若 AE= 7,BC= 6,求 AC 的长. 14. 如图,BD 为△ABC 外接圆☉O 的直径,且∠BAE= ∠C. (1)求证:AE 与☉O 相切于点 A; (2)若 AE∥BC,BC= 2 7 ,AC= 2 2 ,求 AD 的长. 类型五　 遇求阴影部分面积连半径 15. 如图,扇形纸片 AOB 的半径为 3,沿 AB 折叠扇形纸片,点 O 恰好落在 AB ( 上的点 C 处,图中阴影部 分的面积为 (　 　 ) A. 3π-3 3 B. 3π-9 3 2 C. 2π-3 3 D. 6π-9 3 2 第 15 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 16 题图 16. 如图,半径为 10 的扇形 AOB 中,∠AOB= 90°,C 为 AB ( 上一点,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为 D,E. 若∠CDE 为 36°,则图中阴影部分的面积为 (　 　 ) A. 10π B. 9π C. 8π D. 6π · 40·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册 ∴ 在 Rt△CEF 中,sin 45° =CF CE = 2 2 . ∴ CF CE =CA CB . ∵ ∠FCE= ∠ACB= 45°, ∴ ∠FCE-∠ACE = ∠ACB-∠ACE,即∠FCA = ∠ECB. ∴ △ACF∽△BCE. ∴ AC BC = AF BE = 2 2 . ∴ BE= 2AF 2 = 2AF. ∴ 线段 BE 与 AF 的数量关系无变化. (3)当点 E 在线段 BF 上时,如图 1. ∵ AB=AC= 2,∠BAC= 90°, ∴ BC= AB2 +AC2 = 2 2 . ∵ CDEF 是正方形,∴ CF=EF=CD,∠ADC= 90°. ∴ CD= 1 2 BC= 2 . ∴ CF=EF=CD= 2 . 在 Rt△BCF 中,CF= 2 ,BC= 2 2 , 根据勾股定理,得 BF= 6 . ∴ BE=BF-EF= 6 - 2 . 由(2)知 BE= 2AF. ∴ AF= 6 - 2 2 = 3 -1. 图 1 　 　 图 2 当点 E 在线段 BF 的延长线上时,如图 2. 同理可得 BE=BF+EF= 6 + 2 . 由(2)知 BE= 2AF. ∴ AF= 6 + 2 2 = 3 +1. 综上所述,线段 AF 的长为 3 -1 或 3 +1. 专项突破二　 解直角三角形常见的数学模型 1. C　 【解析】如图,过点 A 作 AE⊥ BC,垂足为 E,则 EC = AD = 1. 5 m, AE = DC = 200 m. 在 Rt△ABE 中, BE=AE·tanα= 200tanα m. ∴ BC= EC+BE=(1. 5+200tanα)m. ∴ 高楼 的高 BC 为(1. 5+200tanα)m. 故选 C. 2.解:(1)∵ 53°≤α≤72°,∴ 当 α= 72°时,AO 取最大值. 在 Rt△AOB 中,sin∠ABO=AO AB , ∴ AO=AB·sin∠ABO= 4×sin 72°≈4×0. 95= 3. 8(m) . ∴ 梯子顶端 A 与地面的距离的最大值约为 3. 8 m. (2)在 Rt△AOB 中,cos∠ABO=BO AB = 1. 64 4 = 0. 41. ∵ cos 66°≈0. 41,∴ ∠ABO= 66°. ∵ 53°≤α≤72°, ∴ 人能安全使用这架梯子. 3.解:如图,过点 C 作 CF⊥AB 于点 F. ∴ ∠CFB= 90°. ∵ 四边形 ABCD 是梯形,高 DE = 4 m, 上底宽 DC = 12. 51 m,下底为 AB, ∴ DC∥AB,DE∥CF. ∴ 四边形 DEFC 为矩形. ∴ CF=DE= 4 m,EF=DC= 12. 51 m. 在 Rt△ADE 中,tan 32° =DE AE ≈0. 62, ∴ AE= 4 0. 62 ≈6. 45(m) . 在 Rt△BCF 中,tan 28° =CF BF ≈0. 53, ∴ BF= 4 0. 53 ≈7. 55(m) . ∴ AB=AE+EF+FB= 6. 45+12. 51+7. 55≈26. 5(m) . ∴ 路基下底的宽 AB 约为 26. 5 m. 4.解:如图,过点 O 作 OE⊥AB 于点 E,则 BE=OD= 3 m. 设 AE= x m,则 AB= (x+3)m,A′E= (x+6)m. ∵ ∠AOE= 45°, ∴ OE=AE= x m. ∵ ∠A′OE= 60°, ∴ tan 60° =A′E OE = 3 ,即x +6 x = 3 . 解得 x= 3+3 3 . ∴ AB= 3+3 3 +3 = (6+3 3 )m. ∴ 小山的高度 AB 为(6+3 3 )m. 5.解:(1)∵ ∠ADC= 84°,∠ABC= 37°, ∴ ∠BAD= ∠ADC-∠ABC= 47°. ∴ ∠BAD 的度数是 47°. (2)在 Rt△ABC 中,tan 37° = AC BC ,∴ BC= AC tan 37° . 在 Rt△ADC 中,tan 84° = AC CD ,∴ DC= AC tan 84° . ∵ DB= 4 m,∴ BC-DC= AC tan 37° - AC tan 84° = 4. ∴ 4 3 AC- 2 19 AC≈4. ∴ AC≈3. 3 m. ∴ 表 AC 的长约是 3. 3 m. 6.解:设 OA= x m,则 OB= (x+10)m. 在 Rt△AOP 中,tan∠OAP=PO OA = tan 56°≈1. 5, ∴ PO= 1. 5OA= 1. 5x(m) . 在 Rt△BOP 中,tan∠OBP=PO OB = tan 39°≈0. 8, ∴ PO= 0. 8OB= 0. 8(x+10)m. ∴ 1. 5x= 0. 8(x+10) . 解得 x= 80 7 . ∴ PO= 1. 5x= 1. 5×80 7 ≈17(m) . ∴ 城门楼 PO 的高度约为 17 m. 7.解:由题意,得 ED⊥CD,EB⊥AC,DC⊥AC,DE= 23 m. ∴ ∠ABE= ∠CBE= ∠C= ∠CDE= 90°. ∴ 四边形 BCDE 是矩形. ∴ BE=CD,BC=DE= 23 m. ∵ ∠AEB= 30°,∴ tan 30° = AB BE . ∴ BE= AB tan 30° = 3AB. 在 Rt△ACD 中,tan∠ADC= AC CD = tan 53°≈ 4 3 , ∴ AC= 4 3 CD. 设 AB= x m,则 CD=BE= 3 x m,AC= 4 3 3 x m. ∵ BC=AC-AB= 23 m, ∴ 4 3 3 x-x= 23. 解得 x= 23(4 3 +3) 13 ≈17. 6. ∴ AC=AB+BC= 17. 6+23≈41(m) . ∴ 塔帽与地面的距离 AC 的高度约为 41 m. 8.解:(1)由题意,得∠CAE= 15°,AB= 30 m. ∵ ∠CBE 是△ABC 的一个外角, ∴ ∠ACB= ∠CBE-∠CAE= 15°. ∴ ∠ACB= ∠CAE= 15°. ∴ AB=BC= 30 m. ∴ 斜坡 BC 的长为 30 m. (2)在 Rt△CBE 中,∠CBE= 30°,BC= 30 m, ∴ CE= 1 2 BC= 15 m,BE=BC·cos 30° = 15 3 m. 在 Rt△DEB 中,∠DBE= 53°,tan∠DBE=DE BE , ∴ DE=BE·tan 53°≈15 3 × 4 3 = 20 3 (m) . ∴ CD=DE-CE= 20 3 -15≈20(m) . ∴ 这棵大树 CD 的高度约为 20 m. 9.解:如图,延长 OC,交 AB 的延长线于点 P. ∵ ∠ABC= 120°, ∴ ∠PBC= 60°. ∵ ∠OCB= 90°, ∴ ∠P= 30°. ∵ AD= 20 m, ∴ OA= 1 2 AD= 10 m. 在 Rt△CPB 中,∵ BC= 2 m,∠P= 30°, ∴ PB= 2BC= 4 m. 在 Rt△OAP 中,∠P= 30°,tan 30° =OA PA , ∴ PA= OA tan 30° = 3OA= 10 3 (m) . ∴ AB=PA-PB= (10 3 -4)m. ∴ 路灯的灯柱 AB 应该设计为(10 3 -4)m. 专项突破三　 圆中常见的辅助线归类 1. C　 【解析】如图,过点 O 作 OH⊥CD 于点 H,连接 OC. ∵ OH⊥CD,∴ CH= DH. ∵ AP = 2, BP = 6, ∴ AB = 8. ∴ OA= 4. ∴ OP = OA - AP = 2. 在 Rt△OPH 中, ∵ ∠OPH = ∠APC = 30°,∴ OH= 1 2 OP = 1. 在 Rt△OHC 中,∵ OC= 4,OH = 1, ∴ CH= OC2 -OH2 = 15 . ∴ CD= 2CH= 2 15 . 故选 C. 2. D　 【解析】如图,延长 AO 交 BC 于点 D, 过点 O 作 OE⊥BC 于点 E,则 BC = 2BE. ∵ ∠A = ∠B = 60°, ∴ ∠ADB = 60°. ∴ △ADB 为等边三角形. ∴ BD=AD=AB= 12. ∴ OD = 4. ∵ ∠ADB = 60°,∠DOE = 30°,∴ DE=OD·cos 60° = 1 2 OD = 2. ∴ BE = 10. ∴ BC = 2BE= 20. 故选 D. 3. B　 【解析】如图,连接 OB,OC,过点 O 作 OG⊥BC 于点 G. ∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形, ∴ ∠BOC = 360° 6 = 60°. ∵ OB=OC,OG⊥BC,∴ ∠BOG = 30°. ∵ OB = OC,∠BOC = 60°, ∴ △BOC 是 等 边 三 角 形. ∴ BC = OB = 1. 在 Rt△BOG 中,cos 30° = OG OB ,∴ OG = OB· cos 30° = 3 2 . ∴ S正六边形ABCDEF =6× 1 2 ×1× 3 2 = 3 3 2 . ∴ π×12 = 3 3 2 . ∴ π = 3 3 2 . 故选 B. 4. 解:如图,连接 OA,过点 O 作 OD⊥ AB 于点 D,则 AB= 2AD. ∵ 小钢球的直径为 10 mm, ∴ 小钢球的半径是 5 mm,即 OA = 5 mm. ∵ 小钢球顶端离孔道外端的距离为 8 mm, ∴ OD= 3 mm. 在 Rt△AOD 中,∵ AD= OA2 -OD2 = 52 -32 = 4(mm), ∴ AB= 2AD= 2×4 = 8(mm) . ∴ 这个孔道的直径 AB 是 8 mm. 5. 解:如图,过点 O 作 OM⊥CD 于点 M,过点 O 作 ON⊥AB 于点 N. 连接 OA,OD. ∴ CM=DM= 1 2 CD,AN=BN= 1 2 AB. ∵ CP= 2,PD= 6,∴ CD= 2+6 = 8. ∴ CM=DM= 4. ∴ PM=CM-CP= 4-2 = 2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 70·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 ·71　 · ∵ CD⊥AB,OM⊥CD,ON⊥AB, ∴ 四边形 OMPN 是矩形. ∴ ON=PM= 2,OM=NP. ∵ AP= 5,∴ AN= 5-NP= 5-OM. 在 Rt△OMD 中,OD2 =OM2 +MD2 =OM2 +42, 在 Rt△ANO 中,OA2 =AN2 +ON2 = (5-OM) 2 +22 . ∵ OD=OA,∴ OM2 +42 = (5-OM) 2 +22 . ∴ OM= 13 10 . ∴ OP= ON2 +PN2 = 22 + ( 1310 ) 2 = 569 10 . 6. (1)证明:如图,连接 AB. ∵ BC 为☉O 的直径,∴ ∠BAC= 90°. 又∵ AD⊥BC, ∴ ∠BAD+∠DAC= ∠C+∠DAC= 90°. ∴ ∠BAD= ∠C. ∵ PA ( =AB ( ,∴ ∠ABE= ∠C. ∴ ∠ABE= ∠BAD. ∴ AE=BE. (2)解:当 PC ( =AB ( 时,AF=EF. 证明:∵ PC ( =AB ( ,∴ ∠PBC= ∠C. ∴ 90°-∠PBC= 90°-∠C,即∠BED= ∠DAC. ∵ ∠BED= ∠AEF,∴ ∠DAC= ∠AEF. ∴ AF=EF. 7.证明:(1)如图,连接 CE. ∵ AD 为△ABC 的高, ∴ ∠ADB= 90°. ∴ ∠BAD+∠B= 90°. ∵ AE 为☉O 的直径, ∴ ∠ACE= 90°. ∴ ∠EAC+∠E= 90°. 又∵ ∠B= ∠E,∴ ∠BAD= ∠EAC. (2)∵ ∠BAD= ∠EAC,∠ADB= ∠ACE= 90°, ∴ △ABD∽△AEC. ∴ AB AE =AD AC . ∴ AB·AC=AD·AE. ∵ AE= 2AO,∴ AB·AC= 2AD·AO. 8.解:如图,连接 BC. ∵ AB 是半圆 O 的直径,∴ ∠ACB= 90°. ∵ CD⊥AB,∴ ∠ADC= 90°. ∴ ∠ADC= ∠ACB. ∵ ∠CAD= ∠BAC,∴ △ACD∽△ABC. ∴ AC AB =AD AC . ∵ AD ∶ DB=4 ∶ 1,∴ 设DB=x cm,则 AD=4x cm,AB=5x cm. ∴ 2 10 5x = 4x 2 10 . 解得 x= 2 (负值舍去) . ∴ AD= 4 2 cm. 9. 4. 5 　 【解析】如图,☉O 表示圆形城 堡,AB 切☉O 于点 D,BC 切☉O 于点 C,连接 OD. ∴ OD⊥AB,OC⊥BC,BD = BC= 4. 5 km. ∵ AD = 3 km,∴ AB = AD+ BD = 7. 5 km. ∴ AC = AB2 -BC2 = 7. 52 -4. 52 = 6(km) . ∵ tanA =OD AD = BC AC ,∴ OD 3 = 4. 5 6 . 解 得 OD= 2. 25. ∴ 该城堡的外围直径为 2OD= 4. 5 km. 10. (1)证明:如图,连接 OD. ∵ DE 是☉O 的切线,∴ OD⊥DE. ∵ BC⊥DE,∴ OD∥BC. ∴ ∠ODA= ∠C. ∵ OA=OD,∴ ∠ODA= ∠A. ∴ ∠A= ∠C. ∴ AB=CB. (2)解:如图,连接 BD. ∵ AB 为☉O 的直径,∴ ∠ADB= 90°. 在 Rt△ABD 中,∵ sinA=BD AB = 1 3 ,AB= 18, ∴ BD= 1 3 AB= 6. ∵ OB=OD,∴ ∠ODB= ∠OBD. ∵ ∠OBD+∠A= ∠FDB+∠ODB= 90°, ∴ ∠A= ∠FDB. ∴ sinA= sin∠FDB. 在 Rt△BDF 中,∵ sin∠FDB=BF BD = 1 3 , ∴ BF= 1 3 BD= 2. ∵ AB= 18,∴ OB=OD= 1 2 AB= 9. 由(1)知,OD∥BF,∴ △EBF∽△EOD. ∴ BE OE = BF OD ,即 BE BE+9 = 2 9 . 解得 BE= 18 7 . ∴ EF= BE2 -BF2 = ( 187 ) 2 -22 = 8 2 7 . 11. (1)证明:如图,连接 OB. ∵ AB 是 ☉O 的切线, B 为 切点, ∴ ∠OBE= 90°. ∴ ∠E+∠BOE= 90°. ∵ CD 为☉O 的直径, ∴ ∠CBD= 90°. ∴ ∠D+∠DCB= 90°. ∵ OE∥BC,∴ ∠BOE= ∠OBC. ∵ OB=OC,∴ ∠OBC= ∠OCB. ∴ ∠BOE= ∠OCB. ∴ ∠D= ∠E. (2)解:∵ F 是 OE 的中点,∴ OF=EF= 3. ∴ OE= 2OF= 6. ∵ OB=OF,∴ BO= 1 2 OE= 3. ∵ ∠OBE= 90°,∴ ∠E= 30°. ∴ ∠BOG= 60°. ∵ OE∥BC,∠CBD= 90°,在 Rt△BOG 中,∠BOG= 60°, ∴ OG= OB·cos 60° = 1 2 OB = 3 2 ,BG = OB·sin 60° = 3 2 OB= 3 2 3 . ∴ S△BOG = 1 2 OG·BG = 1 2 × 3 2 × 3 2 3 = 9 8 3 ,S扇形BOF = 60π×32 360 = 3 2 π. ∴ S阴影部分 =S扇形BOF-S△BOG = 3 2 π- 9 8 3 . 12. (1)证明:如图,连接 OC. ∵ CD 为☉O 的切线,∴ OC⊥DE. ∵ AE⊥DE,∴ OC∥AE. ∴ ∠EAC= ∠OCA. ∵ OA=OC,∴ ∠OAC= ∠OCA. ∴ ∠EAC= ∠OAC,即 AC 平分∠EAB. (2)解:如图,连接 BC. ∵ AB 为☉O 的直径,∴ ∠ACB= 90°. ∵ tan∠CAB= 3 3 ,∴ ∠CAB= 30°. ∴ ∠EAC= 30°. 在 Rt△AEC 中,∠EAC= 30°,AE= 12, ∴ AC= AE cos 30° = 12 3 2 = 8 3 . 在 Rt△ABC 中,AC= 8 3 ,∠CAB= 30°, ∴ AB= AC cos 30° = 8 3 3 2 = 16. ∴ OB= 1 2 AB= 8. 13. (1)证明:如图,连接 OD. ∵ AB=AC,∴ ∠B= ∠C. ∵ OD=OC,∴ ∠ODC= ∠C. ∴ ∠ODC= ∠B. ∴ OD∥AB. ∵ DF⊥AB,∴ OD⊥DF. ∵ OD 是☉O 的半径,∴ 直线 DF 与☉O 相切. (2)解:∵ 四边形 ACDE 是☉O 的内接四边形, ∴ ∠AED+∠C= 180°. ∵ ∠AED+∠BED= 180°,∴ ∠BED= ∠C. ∵ ∠EBD= ∠CBA,∴ △BED∽△BCA. ∴ BD BA =BE BC . ∵ OD∥AB,AO=CO,∴ BD=CD= 1 2 BC= 3. ∵ AE= 7,∴ 3 7+BE =BE 6 . ∴ BE=2(负值已舍去). ∴ AC=AB=AE+BE=7+2=9. 14. (1)证明:如图,连接 OA,交 BC 于点 F,则 OA=OB=OD, ∴ ∠D= ∠DAO. ∵ ∠D= ∠C,∴ ∠C= ∠DAO. ∵ ∠BAE= ∠C,∴ ∠BAE= ∠DAO. ∵ BD 为☉O 的直径, ∴ ∠BAD=90°,即∠DAO+∠BAO=90°. ∴ ∠BAE + ∠BAO = 90°,即 ∠OAE = 90°. ∴ AE⊥OA. ∵ OA 是☉O 的半径,∴ AE 与☉O 相切于点 A. (2)解:∵ AE∥BC,AE⊥OA,∴ OA⊥BC. ∴ AB ( =AC ( ,FB= 1 2 BC. ∴ AB=AC. ∵ BC= 2 7 ,AC= 2 2 , ∴ BF= 7 ,AB= 2 2 . 在 Rt△ABF 中,AF= AB2-BF2 = (2 2)2-( 7)2 =1. 在 Rt△OFB 中,OB2 =BF2 +(OB-AF)2,即 OB2 = ( 7 )2 + (OB-1) 2, ∴ OB= 4. ∴ BD= 8. ∴ 在 Rt △ABD 中, AD = BD2 -AB2 = 82 -(2 2 ) 2 = 2 14 . 15. B　 【解析】沿 AB 折叠扇形纸片, 点 O 恰好落在 AB ( 上的点 C 处, ∴ AC = AO,BC = BO. ∵ AO = BO, ∴ 四边形 AOBC 是菱形. ∴ OC⊥AB,如图,连接 OC 交 AB 于 点 D. ∵ OC = OA, ∴ △AOC 是 等 边 三 角 形. ∴ ∠AOC= 60°. ∴ ∠AOB = 120°. 在 Rt△AOD 中,OA = 3,∴ AD=OA·sin 60° = 3 2 ×3 = 3 3 2 ,OD=OQ·cos 60° = 1 2 OA= 3 2 . ∴ AB= 2AD= 3 3 ,OC = 2OD= 3. ∴ 图中阴影 部分的面积为 S扇形AOB-S菱形AOBC = 120π×32 360 - 1 2 ×3×3 3 = 3π-9 3 2 . 故选 B. 16. A　 【解析】如图,连接 OC. ∵ ∠AOB= 90°,CD⊥OA,CE⊥ OB,∴ 四边形 CDOE 是矩形. ∴ CD∥OE. ∴ ∠DEO = ∠CDE= 36°. 由矩形 CDOE 易得到 △DOE≌ △CEO, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ∴ ∠COB= ∠DEO= 36°,S△DOE =S△CEO . ∴ 图中阴影部分的面积为扇形 OBC 的面积. ∴ 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 S扇形OBC = 36π×102 360 = 10π. 故选 A. 专项突破四　 一元二次方程的应用归类 1. C 2.解:设矩形温室的宽为 x m,则长为 2x m. 根据题意,得(x-2)(2x-4)= 288. 解得 x1 = -10(不符合题意,舍去),x2 = 14. 所以 x= 14,2x= 2×14 = 28. ∴ 当矩形温室的长为 28 m,宽为 14 m 时,蔬菜种植区域 的面积是 288 m2 . 3.解:(1)根据小亮的设计方案列方程,得 (52-x)(48-x)= 2 300. 解得 x1 = 2,x2 = 98(舍去) . ∴ 小亮设计方案中甬路的宽度为 2 m. (2)如图,过点 A 作 AI⊥CD,垂足 为 I. ∵ AB∥CD,∠1 = 60°, ∴ ∠ADI= 60°. ∵ BC∥AD, ∴ 四边形 ADCB 为平行四边形. ∴ BC=AD. 由(1)得,x= 2. ∴ BC=HE=AD= 2 m. 在 Rt△ADI 中,AD= 2 m,sin∠ADI= AI AD , ∴ AI= 2sin 60° = 3 m. ∴ 小颖设计方案中四块绿地的总面积为 52×48-52×2- 48×2+( 3 ) 2 = 2 299(m2) . 4.解:设每件应降价 x 元. 根据题意,得(200-x)(120+1. 5x)= 28 800. 整理,得 x2 -120x+3 200 = 0. 解得 x1 = 40,x2 = 80. ∵ 要尽快减少库存,∴ x= 80. ∴ 每件应降价 80 元. 5.解:∵ 25 人的费用为 25×100 = 2 500(元) <2 800(元), ∴ 参加这次春游活动的人数超过 25 人. 设该班共有 x 人参加这次春游活动. 根据题意,得[100-2(x-25)]x= 2 800. 整理,得 x2 -75x+1 400 = 0. 解得 x1 = 40,x2 = 35. 当 x= 40 时,100-2(x-25)= 70<75,不符合题意,舍去; 当 x= 35 时,100-2(x-25)= 80>75. ∴ 该班共有 35 人参加这次春游活动. 6.解:设南瓜亩产量的增长率为 x,则种植面积的增长率 为 2x. 根据题意,得 10(1+2x) ×2 000(1+x)= 60 000. 解得 x1 = 0. 5,x2 = -2(不符合题意,舍去) . ∴ 南瓜亩产量的增长率为 50% . 7.解:(1)设平均每次下调的百分率为 x. 根据题意,得 10(1-x) 2 = 6. 4. 解得 x1 = 0. 2,x2 = 1. 8(舍去) . ∴ 平均每次下调的百分率为 20% . (2)超市采购员选择方案一更优惠. 理由如下: 方案一:6. 4×0. 8×2 000 = 10 240(元) . 方案二:6. 4×2 000-1 000×2 = 10 800(元) . ∵ 10 240<10 800, ∴ 超市采购员选择方案一更优惠. 8.解:(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为 x. 依题意,得 2 250(1+x) 2 = 3 240. 解得 x1 = 0. 2 = 20% ,x2 = -2. 2(不符合题意,舍去) . ∴ 该品牌头盔销售量的月增长率为 20% . (2) 设应该增加 y 条生产线,则( 900 - 30y) ( y + 1) = 3 900. 解得 y1 = 4,y2 = 25(不符合题意,舍去) . ∴ 应该增加 4 条生产线. 9. 9　 【解析】设共有 x 人,则每人需送出(x-1)张贺卡. 依 题意,得 x(x-1)= 72. 整理,得 x2 -x-72 = 0. 解得 x1 = 9, x2 = -8(不符合题意,舍去) . ∴ 共有 9 人. 10.解:设这次会议到会的人数是 x. 依题意,得 1 2 x(x-1)= 91. 整理,得 x2 -x-182 = 0. 解得 x1 = 14,x2 = -13(不符合题意,舍去) . ∴ 这次会议到会的人数是 14. 11.解:(1)设应该邀请 x 支球队参加比赛. 依题意,得 1 2 x(x-1)= 15. 整理得,x2 -x-30 = 0. 解得 x1 = 6,x2 = -5(不符合题意,舍去) . ∴ 应该邀请 6 支球队参加比赛. (2)3+ 1 2 ×5×4 = 13(场) . ∴ 实际共比赛 13 场. 12.解:设这个两位数的个位数字为 x,则十位数字为(9-x). 依题意,得 x2 +(9-x) 2 = 45. 整理,得 x2 -9x+18 = 0. 解得 x1 = 3,x2 = 6. 当 x= 3 时,这个两位数为 63; 当 x= 6 时,这个两位数为 36. ∴ 这个两位数为 36 或 63. 13.解:(1)20 (2)设运动时间为 t s(0<t≤5) . 由题意,得 BP= 20-4t,BQ= 2t. ∵ △BPQ 的面积是 24, ∴ 1 2 BP·BQ= 1 2 ×(20-4t) ×2t= 24. 整理,得 t2 -5t+6 = 0. 解得 t1 = 2,t2 = 3. ∴ t 的值为 2 或 3. 专项突破五　 反比例函数的综合应用 1. D　 【解析】∵ y = kb x 的图象位于第一、三象限,∴ kb>0. ∴ k,b 同号. D. 图象过第一、二、三象限,则 k>0;图象经 过 y 轴正半轴,则 b>0,此时,k,b 同号,故此选项符合题 意. 故选 D. 2. A　 【解析】∵ 二次函数 y= ax2 +bx+c(a≠0)的图象开口 向上,∴ a>0. ∵ 该抛物线的对称轴为 x = - b 2a >0,∴ b<0. ∵ 抛物线与 y 轴交于负半轴,∴ c<0. ∴ 一次函数 y = ax+ b 的图象经过第一、三、四象限,反比例函数 y= c x (c≠0) 的图象在第二、四象限. 故选 A. 3. D　 【解析】D. 若点 A( x1,y1),B( x2, y2)都在图象上,若 x1 <0<x2,则 y1 >y2 . 故本选项符合题意. 故选 D. 4. y= 2 x 　 【解析】设反比例函数的表达式是 y = k x . ∵ 四边 形 ABCD 是平行四边形,A (1,0),B ( 3,1),C(3,3), ∴ AD=BC= 2. ∴ D(1,2) . ∵ 反比例函数 y = k x 的图象经 过点 D,∴ k= 1×2 = 2. ∴ 反比例函数的表达式是 y= 2 x . 5. y = - 3 x 　 【解析】如图,过点 C 作 CT⊥y 轴于点 T,过点 D 作 DH⊥ CT 交 CT 的延长线于点 H. ∵ tan∠ABO = AO OB = 3,∴ 假设 OB= a,AO=3a. ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB =BC,∠ABC = ∠AOB = ∠BTC = 90°. ∴ ∠ABO + ∠CBT = 90°,∠CBT + ∠BCT = 90°. ∴ ∠ABO = ∠BCT. ∴ △AOB ≌ △BTC (AAS) . ∴ AO=BT= 3a,OB=TC = a. ∴ OT =BT-OB = 2a. ∴ C(a,2a) . ∵ 点 C 在 y= 1 x 的图象上,∴ 2a2 = 1,即 a2 = 1 2 . 同法可证△CHD≌△BTC,∴ HD = TC = a,CH = BT = 3a. ∴ HT= 2a. ∴ D( -2a,3a) . 设图象经过点 D 的反比 例函数的表达式是 y = k x ,则有-2a×3a = k,∴ k = -6a2 = -6× 1 2 = -3. ∴ 图象经过点 D 的反比例函数的表达式是 y= - 3 x . 6.解:(1)在矩形 ABCD 中,DC=AB= 8,∠D= 90°. ∵ E 是 DC 的中点,∴ DE=CE= 4. ∵ 反比例函数 y= m x 的图象经过点 E, ∴ 点 E 的坐标为 ( m4 ,4 ) . 在 Rt△ADE 中,AD= 3,DE= 4, ∴ AE= 32 +42 = 5. (2)∵ AF-AE= 2,∴ AF= 7. ∴ BF=AB-AF= 1. 在矩形 ABCD 中,BC=AD= 3. ∴ 点 F 的坐标为 ( m4 -3,1 ) . ∵ 反比例函数 y= m x 的图象经过点 F, ∴ m 4 -3 =m. 解得 m= -4. ∴ 反比例函数的表达式为 y= - 4 x . 7. B　 【解析】∵ 点 A 在反比例函数 y= 2 x (x>0)的图象上, 点 B 在反比例函数 y = - 8 x (x<0)的图象上,AB⊥y 轴, ∴ S△AOC = 1 2 ×2 = 1,S△BOC = 1 2 × | -8 | = 4. ∴ S△AOB = S△AOC + S△BOC = 1+4 = 5. 故选 B. 8. B　 【解析】如图,过点 B 作 BH⊥y 轴 于点 H,设 BC 交 x 轴于点 D. ∵ BC∥ y 轴,AC⊥BC,∴ 四边形 ACDO 和四边 形 ODBH 都是矩形. ∴ S矩形OACD = | -2 | = 2,S矩形ODBH = | 6 | = 6. ∴ S矩形ACBH = 2+6 = 8. ∴ S△ABC = 1 2 S矩形ACBH = 4. 故选 B. 9. B　 【解析】∵ A,B,C 为反比例函数 y = k x (k>0)图象上 不同的三点,AD⊥y 轴,BE,CF 分别垂直 x 轴于点 E,F, ∴ S1 = 1 2 k,S△BOE = S△COF = 1 2 k. ∵ S△BOE -S△OME = S△COF - S△OME . ∴ S2 =S3 . 故选 B. 10. k-1　 【解析】∵ D 是函数 y2 = 2 x (x>0)的图象上一点, ∠DAO= 90°,∴ 根据反比例函数 k 的几何意义,可知 △AOD 的面积为 1 2 ×2 = 1. ∵ 点 B 在函数 y1 = k x (x>0,k 为常数且 k>2)的图象上,四边形 OABC 为矩形,∴ 根据 反比例函数 k 的几何意义可知,矩形 OABC 的面积为 k. ∴ 阴影部分 ODBC 的面积为矩形 OABC 的面积 - △AOD 的面积= k-1. 11. 7 　 【解析】如图,连接 OC,设 AC 交 y 轴于点 E. ∵ AC⊥y 轴 于点 E,∴ S△AOE = 3 2 ,S△OEC = 2. ∴ S△AOC = 7 2 . ∵ A,B 关于原点 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 72·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册